Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ I Phương pháp tổng quát xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐỊNH LÝ Một hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy đa giác nội tiếp đường tròn HỆ QUẢ Mọi tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp Mọi hình chóp đều có mặt cầu ngoại tiếp PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM BÁN KÍNH • Bước 1: Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy • Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực ( P ) cạnh • bên Bước 3: Xác định giao điểm I d ( P ) Điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp II Khối chóp có cạnh bên CÔNG THỨC Xét khối chóp có tất cạnh bên nhau, ta gọi: • a độ dài cạnh bên • h chiều cao khối chóp • r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Khi đó: a r + h2 R= = 2h 2h III Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy CƠNG THỨC Xét khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy, ta gọi • r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy • h chiều cao khối chóp Khi đó: h2 R= r + Hệ 1: Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác nội tiếp đường trịn bán kính r , chiều cao h có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R = r + h2 Hệ 2: Tứ diện SABC tứ diện vng đỉnh S R = SA2 + SB + SC _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 125 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ IV Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy CƠNG THỨC Xét khối chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy, ta gọi • rb bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng góc • rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy • GT cạnh chung mặt bên vng góc mặt đáy Khi đó: GT R = rb2 + rd2 − V Khối chóp tổng qt CƠNG THỨC (TỔNG QUÁT) Giả sử khối chóp có đáy đa giác nội tiếp đường tròn tâm O , chiều cao SH Ta gọi: • r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy • h chiều cao khối chóp ( h = SH ) • d khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy tới chân đường vng góc từ đỉnh xuống đáy ( ( d = OH ) Khi 2 h2 + d − r h2 + r − d R = r + R = d + 2h 2h VI Một số định lý cần ý CHÚ Ý • Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông nửa cạnh huyền a • Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác cạnh a • Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật nửa đường chéo CHÚ Ý Cho tam giác ABC , cạnh AB = c; BC = a; CA = b, diện tích S , nửa chu vi p, bán kính đường trịn ngoại tiếp R , bán kính đường trịn nội tiếp r Khi a b c • R= = = 2sin A 2sin B 2sin C abc • R= 4S • S = pr • Cơng thức Herong: S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) CHÚ Ý (Tứ diện gần đều) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c; AC = BD = b; BC = DA = a Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: R = a + b2 + c2 _ 126 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA = a Đáp số: _ Lời giải Tính thể tích tứ diện có tất mặt tiếp xúc với mặt cầu bán kính a Đáp số: _ Lời giải Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp bát diện cạnh a ? Đáp số: _ Lời giải Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA ⊥ ( ABC ) AB = 2, AC = 4, SA = Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S ABC có bán kính Đáp số: _ Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 127 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Đáp số: _ Lời giải Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD tam giác cạnh ( ABC ) ⊥ ( ABD ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số: _ Lời giải Cho hình chóp S ABCD có đường cao SA = 4a; ABCD hình thang với đáy lớn AD, biết AD = 4a, AB = BC = CD = 2a Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Đáp số: _ Lời giải Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = BC, DB = 4, DC = 11 mặt phẳng ( BCD ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Đáp số: _ Lời giải _ 128 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD = cạnh cịn lại 22 Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số: _ Lời giải 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có AB = AA = 2a, AC = a, BAC = 120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC B Đáp số: _ Lời giải 11 Lăng trụ lục giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Đáp số: _ Lời giải 12 Cho tứ diện ABCD có AB = a cạnh cịn lại a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bao nhiêu? Đáp số: _ Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 129 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 13 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 3, AD = 2, mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho Đáp số: _ Lời giải 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Đáp số: _ Lời giải 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C với BC = a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy biết SA = a, ASB = 120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Đáp số: _ Lời giải 16 Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , AB = 3, AC = BAC = 30 Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM là: Đáp số: _ Lời giải _ 130 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 17 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A có BC = 2a; ( SAC ) vng góc với ( ABC ) ; ASC = 30 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Đáp số: _ Lời giải 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2, AB = Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, SB, SC Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP theo a Đáp số: _ Lời giải 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = 1, AD = Cạnh bên SA = SA vng góc với đáy Gọi E trung điểm AD Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE Đáp số: _ Lời giải 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = 3a, AC = 2a, đường thẳng BC tạo với mặt phẳng ( ACC A ) góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho bao nhiêu? Đáp số: _ Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 131 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 21 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Gọi E trung điểm cạnh AB Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCE Đáp số: _ Lời giải 22 Cho hình chóp có SA ⊥ ( ABC ) , AB = 3, AC = BAC = 60 Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM Đáp số: _ Lời giải 23 Trong mặt phẳng ( P ) cho đường tròn ( C ) tâm O , đường kính AB = Gọi H điểm đối xứng O qua A Lấy điểm S cho SH ⊥ ( P ) SH = Tính diện tích mặt cầu qua đường tròn ( C ) điểm S Đáp số: _ Lời giải _ 132 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 24 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = Mặt phẳng ( ) qua A, vng góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP bao nhiêu? Đáp số: _ Lời giải 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với AD = DC = CB = 1, AB = Gọi O giao điểm AC BD, hình chiếu S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm OA Đường thẳng SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 60 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Đáp số: _ Lời giải 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm CD, AD Gọi E giao điểm AM BN , mặt bên SCD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECM Đáp số: _ Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 133 ... Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Đáp số: _ Lời giải 15 ... http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 3, AD = 2, mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho Đáp số:... http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a