BÀI 3. MẶT CẦU - KHỐI CẦU-tuần 10

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 môn Vật Lý trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 1 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 6 MẶT NÓN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ BÀI 3 MẶT CẦU – KHỐI CẦU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được các trường hợp giao củ[.]

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm trường hợp giao mặt cầu với mặt phẳng, giao mặt cầu với đường thẳng, vị trí điểm với mặt cầu + Nắm vững cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu  Kĩ + Biết vẽ hình tốn cụ thể + Biết tính bán kính, diện tích mặt cầu thể tích khối cầu + Giải toán liên quan đến khối cầu toán tương giao với đường thẳng hay mặt phẳng, toán cực trị, tốn thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt cầu - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định hay khối cầu hình sau: khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí Định nghĩa hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R   M OM  R - Khối cầu hay hình cầu S  O; R  tập hợp tất điểm M cho OM  R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Cho mặt cầu S  O; R  điểm A Nếu: +) OA  R điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  hay d  I ;    IH Nếu: +) IH  R :  không cắt mặt cầu hay mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  khơng có điểm chung +) IH  R  với mặt cầu S  I ; R  có điểm chung H Ta nói  tiếp tuyến mặt cầu S  I ; R  H tiếp điểm +) IH  R :  cắt mặt cầu S  I ; R  hai điểm phân biệt Nhận xét: +) IAB cân I, điểm H trung điểm AB  AB  R  IH  AH  IH      2 2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Trang Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P hay d  I ;  P    IH Nếu: +) IH  R : Mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  khơng có điểm chung +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P  tiếp xúc mặt cầu S  I ; R  Lúc ta nói mặt phẳng  P  mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm Lưu ý: IH   P  +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I   I   H  bán kính r  R  IH  R  I I Nhận xét: Đường trịn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng  P  qua tâm I mặt cầu S  I ; R  Đường tròn ta gọi đường trịn lớn Cơng thức cần nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R2 - Thể tích khối cầu V   R SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT CẦU Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R Kí hiệu: S  O; R   M OM  R Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R2 Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối cầu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu Phương pháp giải Cần nắm vững phần kiến thức trọng tâm Ví dụ: Cho hình cầu có bán kính R Khi thể tích khối cầu A  R3 B  R3 C R D 4 R3 Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính thể tích khối cầu V   R3 ta suy đáp án Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Diện tích mặt cầu có bán kính R A 4 R B 4 R3 C  R2 D  R3 Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính diện tích mặt cầu S  4 R2 ta suy đáp án Chọn A Ví dụ Từ điểm M nằm mặt cầu S  O; R  kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? A Vô số B C D Hướng dẫn giải Từ điểm M nằm mặt cầu S  O; R  kẻ vô số tiếp tuyến với mặt cầu Chọn A Chú ý: Nếu M nằm mặt cầu đáp án vô số tiếp tuyến lúc tiếp tuyến nằm mặt phẳng tiếp diện mặt cầu M Trang Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình lăng trụ ln có mặt cầu ngoại tiếp C Hình hộp đứng ln có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp tam giác ln có mặt cầu ngoại tiếp Hướng dẫn giải Đáy hình hộp đứng khơng nội tiếp đường trịn đáy hình bình hành (khơng phải trường hợp đặc biệt hình chữ nhật hay hình vng) hình hộp đứng khơng có mặt cầu ngoại tiếp Chọn C Ví dụ Cho mặt cầu có tâm, bán kính Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có bán kính Kết luận sau sai? A R  r  d  O,    B d  O,     r C Diện tích mặt cầu S  4 r D Đường tròn lớn mặt cầu có bán kính bán kính mặt cầu Hướng dẫn giải Đáp án A sai r  R  d  O,    Chọn A Dạng Tính bán kính, diện tích mặt, thể tích khối cầu Bài tốn tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng Phương pháp giải Nắm vững cơng thức tính diện tích thể tích Nắm vững trường hợp tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng để vận dụng kiến thức phần quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác để giải tập Ví dụ: Thể tích V khối cầu có bán kính R  a A V  4 a 3 C V  B V  12 a 3 4 a3 D V  4 a Hướng dẫn giải  4 Ta có V   R3   a 3   4 a3 Trang Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Một mặt cầu có diện tích xung quanh  có bán kính A B C D Hướng dẫn giải Smc  4 R  4 R    R  Chọn C Ví dụ Diện tích S mặt cầu có bán kính R  a B S  24 a A S  6 a D S   a2 C S  8 a Hướng dẫn giải Diện tích mặt cầu có bán kính R  a  S  4 R  4 a   24 a Chọn B Ví dụ Khối cầu  S1  tích 54 cm3 có bán kính gấp lần bán kính khối cầu  S2  Thể tích V khối cầu  S2  A 2cm3 B 18cm3 C 4cm3 D 6cm3 Hướng dẫn giải Khối cầu  S1  có bán kính R Khi khối cầu  S2  có bán kính Từ giả thiết ta có R  R  54 3 R Do đó, thể tích khối cầu  S2  V       R  54   cm3    27 27 Chọn A Ví dụ 4: Cắt mặt cầu (S) mặt phẳng cách tâm khoảng 4cm ta thiết diện đường trịn có bán kính 3cm Bán kính mặt cầu (S) A 10cm B 7cm C 12cm D 5cm Hướng dẫn giải Bán kính mặt cầu (S) R  32  42   cm  Chọn D Bài tập tự luyện dạng Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: Trang - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trục cách đỉnh đa giác ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai điểm mút đoạn thẳng ngược lại Phương pháp giải Đối với toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mấu chốt vấn đề phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp ta tính yếu tố cịn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2a, 4a, 4a, với  a  R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O trung điểm AC’ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R  OA R   1 AC   2  AA   AC   AA   AD    DC   2  2a    4a    4a  2 2  3a Chọn C Ví dụ mẫu Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD điểm I với A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC C I trung điểm đoạn thẳng SC D I trung điểm đoạn thẳng SB Hướng dẫn giải Trang  BC  AB Từ giả thiết ta có   BC  SA  BC   SAB   BC  SB  SBC  90o 1 Chứng minh tương tự ta có CD  SD  SDC  90o  2 Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  90o  3 Từ (1), (2) (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I đoạn thẳng SC Chọn C Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp A V  3 a B V   a C V   a3 D V  3 a Hướng dẫn giải Vì S.ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có OD  1 a BD  a  , 2 SO  SD  OD  a Vậy OS  OA  OD OB OC , nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Vậy thể tích khối cầu cần tìm V   SO3   a3 (đvtt) Chọn B Lưu ý: Cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R a2 2h với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD  SA  AB  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Trang A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chứng minh tương tự ví dụ ta kết  Ba đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vng  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm SC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SC chóp S.ABCD R  Ta có ABCD hình vng cạnh a  AC  a Xét tam giác SAC vng A có SC  a  2a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  a Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có ABC, BCD cạnh nên AC  CD   ACD cân C Gọi I trung điểm AD  CI  AD  ACD    ADB   Lại có  ACD    ADB   AD  CI   ABD   IC  AD   CI  IB  IB   ABD   1 Ta có ACD  ABD  c.c.c   CI  IB Từ (1) (2)  2 ta có ACB vuông CB I  CB  IB  IB     IC 2 cân DIB vuông I  ID  BD  IB   AD  2ID  2 Xét ADB có AB  DB  2; AD  2  ABD vuông B  ABD  90o  ACD  90o Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính AD nên bán kính R  ID  Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B Biết SA  a, AB  a, BC  a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 3a B 2a C a D 6a Trang Hướng dẫn giải  BC  AB  BC   SAB   BC  SB Ta có   BC  SA  SA   ABC   SA   ABC   SA  AC Suy hai điểm A, B nhìn SC góc vng Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC S.ABC trung điểm SC, bán kính mặt cầu R  Ta có AC  AB2  BC  4a  16a  20a  SC  SA2  AC  16a  20a  6a   / / BD  BD / / EF Vậy R  3a   SBD      EF Chọn A Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B, AC  a 3, ACB  30o Góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) 60° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC A a 21 B a 21 C 3a D a 21 Hướng dẫn giải Trong tam giác vng ABC có AB  AC.sin 30o  a Vì AB   ABC    A hình chiếu B lên mặt phẳng (ABC) B nên góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) góc hai đường thẳng AB' AB, góc BAB (vì tam giác AB'B vng B) Do BAB  60o Trong tam giác vng AB'B có BB  AB.tan 60o  a 3a tan 60o  2 Trong tam giác vng AA'C có  3a  AC  AA  AC       2  3a   21 a Ta có BC  AB BC  AA nên BC   ABBA  , suy BC  AB hay ABC  90o Mà AAC  90o , suy hai điểm A, B nhìn A'C góc vng Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC R  AC 21  a Chọn A Trang 10 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy hình vng cạnh a, SA  a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng () qua A M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AM SO Dễ thấy I trọng tâm tam giác SAC I, E, F thẳng hàng Lại có SF SI 2    SF  SD SD SO 3 2 SD   SA2  AD   2a 3  SF SD  SA  SF SD  Xét tam giác vng SAD có SF SD  SA2  AF đường cao tam giác AF  SF Chứng minh tương tự ta có AE  SB Tam giác SA  AC  a nên AM vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác AM  SC  AM  SM  Ta có  AF  SF nên mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F có tâm trung điểm SA bán kính  AE  SE  SA a  2 Chọn C Chú ý: Ta làm sau Do EF      SBD    / /BD nên EF / / BD Ta có BD  AC, BD  SA  BD   SAC   EF   SAC   EF  SC Tam giác SAC có SA  AC  a nên AM  SC Do SC   AMEF   SC  AE 1 Lại có BC  AB, BC  SA nên BC   SAB   BC  AE  2 Từ (1) (2) suy AE   SBC   AE  SB Trang 11 Chứng minh tương tự, ta AF  SD Từ đây, suy kết cách bên Cách Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Chú ý: Trong khuôn khổ tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến đáy hình chóp hay hình lăng trụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) A 32 a 81 B 32 a 77 C 64 a 77 D 72 a 39 Hướng dẫn giải Gọi H tâm tam giác ABC, SH trục đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực SA qua E trung điểm SA cắt SH I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét tam giác SAH ta có SH  AH.tan 60o  a SH 2a tan 60o  a; SA   o sin 60 Xét hai tam giác đồng dạng SEI SHA 2a 2a SI SE SA.SE 3  2a Ta có   SI   SA SH SH a R 2a Suy thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S)  2a  32 a      81 Chọn A Ví dụ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a A 7 a B 7 a C 7 a D 3 a Hướng dẫn giải Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I trung điểm O1O2  IA  IB  IC  IA  IB  IC  Suy trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Bán kính 2  a   a 2  O1O2  R  IA  AO  IO  AO        a    12   3  2 2 2 2 Do diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a Trang 12   7 a S  4 R  4  a   12   Chọn B Lưu ý: Mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt O1O2 I trung điểm O1O2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) AB  2, AC  4, SA  Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính A R  25 B R  C R  D R  10 Hướng dẫn giải Gọi M, H trung điểm BC, SA Ta có tam giác ABC vuông A suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng d cho d   ABC   d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực  đoạn SA, cắt d I  IA  IB  IC   IA  IB  IC  IS  IA  IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Dễ thấy tứ giác HAMI hình chữ nhật Ta có 1 BC   42  5, 2 IM  SA  2 AM  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R  AI  AM  IM   5  Chọn B Lưu ý: thay mặt phẳng trung trực SA đường trung trực SA xét mặt phẳng (SAM) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải Trang 13 Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Vậy SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong (SAC) gọi (d) trung trực SA I giao điểm (d) với SO  I   SO   IA  IB  IC  ID    IA  IS  I   d   IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD SA2 SA2   Bán kính mặt cầu R  SO SA2  AO a2 a 2 a2       a Chọn C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S mc  25 a B S mc  32 a C S mc  8 a D Smc  a2 12 Hướng dẫn giải Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO Mặt phẳng trung trực SB cắt SO I, cắt SB K I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi H trung điểm BC SHO  60o Xét tam giác vng SHO, ta có tan 60o  SO  SO  a OH Từ suy SB  SO2  OB2  3a  2a  a Ta có SKI ∽ SOB  g.g   SK SI SK SB   SI   SI  SO SB SO a  5a  5a a 3 a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc  4 R  4 75a 25 a  36 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R  a B R  a C R  a D R  a 10 Hướng dẫn giải Trang 14 Ta có  ABCD  / /  MNPQ  Gọi O  AC  BD Mà S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  Nên SO trục hai đáy (ABCD) (MNPQ) Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng AM cắt SA, SO H, I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ bán kính IA Ta có SA  SB  SC  SD  2a AB  BC  CD  DA  a Lại có SH  3 3a a SA  2a   HA  SA  4  AC  AB  2a  AO  a  SO  SA2  AO2  a 3a HI SH OA.SH 3a Mặt khác SHI ∽ SOA  g.g     HI    OA SO SO a a  a   a 2 Bán kính mặt cầu cần tìm R  AI  HI  HA        a   2 2 Chọn B Cách Dựa vào trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy trục đường tròn ngoại tiếp mặt bên Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD, SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? 16 a A 16 a B 4 a C 4 a D Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AC BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH  d   ABCD  Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vng góc với mp(SAD), d' cắt d O  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính R  OS  MO2  MS Với OM  IH  AB  a, MS  r (r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB) Lại có, SAD cân A, cạnh AD  a, đường cao SH  tam giác SAD r  AM  a suy 2 a 4a SH   R2  (R bán kính 3 Trang 15 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 R  16 a Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Biết BAC   , BC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN A  cos  a2 B  sin  a2 C 4 a2 cos  D 4 a2 sin  Hướng dẫn giải +) Gọi K, P trung điểm AC AB ACN vng N  K tâm đường trịn ngoại tiếp ACN ABM vuông M  P tâm đường tròn ngoại tiếp ABM +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vng góc cắt theo giao tuyến AB nên gọi d1 trục đường tròn ngoại tiếp ABM d1 qua P, d1   ABC  d1  AB Tương tự, gọi d2 trục đường trịn ngoại tiếp ACN d2 qua K , d2   ABC  d  AC +) Rõ ràng, mặt phẳng (ABC) d1d2 đường trung trực cạch AB, AC nên hai đường cắt tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN tâm đường trịn ngoại tiếp ABC, bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta R  BC a  2sin A 2sin  Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Chọn B Lưu ý: Cách 2: Vẽ đường kính AE đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi A, M, N, B, C nhìn AE góc 90° Áp dụng định lí sin cho ABC ta Trang 16 R BC a  2sin A 2sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh A  12 B  C 2 D  Hướng dẫn giải Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm hình vng mặt hình lập phương Suy bán kính R  4 1  Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V   R      3 2 Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V  64 a B V  8 a C V  32 a D V  16 a Hướng dẫn giải Hình lập phương tích 64a3, suy cạnh hình lập phương 4a Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính cạnh hình lập phương  R  2a 32  a Vậy V   R  3 Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB  8, BC  Biết SA  SA vng góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC A 16  B 625  81 C 256  81 D 25  Hướng dẫn giải Trang 17 Gọi I r tâm bán kính hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Khi r.S VS ABC  VI ABC  VI SBC  VI SAB  VI SAC  r  S ABC  S SAB  S SBC  S SAC   TP 3 3V  r  S ABC STP 1 VS ABC  SA.S ABC  .8.6  48; 3 SABC  SSAB  24; SSBC  S SAC  30  STP  108 Vậy r  3VS ABC 3.48 4 256    Vmc   r   STP 108 3 81 Chọn C Trang 18 ... R   M OM  R Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R2 Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối cầu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu Phương pháp giải Cần... 2sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương... nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R2 - Thể tích khối cầu V   R SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT CẦU Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm