LÝ-THUYẾT-CHUNG-MẶT-CẦU-KHỐI-CẦU

ST&BS Th S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón Trụ Cầu Hình Học 12 File Word liên hệ 0978064165 Email dangvietdong bacgiang vn@gmail com Trang 1 Facebook https //www facebook com/dongpay MẶT CẦU[.]

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 MẶT CẦU, KHỐI CẦU A – KIẾN THỨC CHUNG 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R   M | OM  R 2/ Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  điểm A bất kì, đó:  Nếu OA  R  A  S  O; R  Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán   B kính cho OA  OB đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu O  Nếu OA  R  A nằm mặt cầu A A  Nếu OA  R  A nằm mặt cầu  Khối cầu S  O; R  tập hợp tất điểm M cho OM  R A 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  mp  P  Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp  P  H hình chiếu O mp  P   d  OH  Nếu d  R  mp  P  cắt mặt cầu S  O; R  theo giao tuyến đường tròn nằm mp  P  có 2 2 tâm H bán kính r  HM  R  d  R  OH (hình a)  Nếu d  R  mp  P  không cắt mặt cầu S  O; R  (hình b)  Nếu d  R  mp  P  có điểm chung Ta nói mặt cầu S  O; R  tiếp xúc mp  P  Do đó, điều kiện cần đủ để mp  P  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  d  O ,  P    R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu O đường thẳng  d  OH khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng  Khi đó:  Nếu d  R   không cắt mặt cầu S  O; R  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12  Nếu d  R   cắt mặt cầu S  O; R  hai điểm phân biệt  Nếu d  R   mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu d  d  O ,    R Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S  O; R  thì:  Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S  O; R   Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm  Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt cầu S  O; R  5/ Diện tích thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC  4 R • Thể tích mặt cầu: VC   R *MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 1/ Các khái niệm  Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy  Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác  Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng  Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp  Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp A B 3/ Cách xác định tâm bán kính mặt cầu số hình đa diện D C a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương I - Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) A’ B’  Tâm I , trung điểm AC ' - Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp C’ D’ A chữ nhật (hình lập phương) AC ' An  Bán kính: R  A I O A2 A3 C’ b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trịn I Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A1' A2' A3' An' , có đáy A1 A2 A3 An A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn  O   O '  Lúc đó, A’n A’1 mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: - Tâm: I với I trung điểm OO ' File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A’2 O’ A’3 Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 - Bán kính: R  IA1  IA2   IAn' c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại góc vng   SBC   900 - Hình chóp S ABC có SAC S S SC + Tâm: I trung điểm SC  IA  IB  IC + Bán kính: R  I - Hình chóp S ABCD có A   SBC   SDC   900 SAC A C + Tâm: I trung điểm SC B SC  IA  IB  IC  ID + Bán kính: R  d/ Hình chóp Cho hình chóp S ABC - Gọi O tâm đáy  SO trục đáy - Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, SM SA SA2 R  IS    IA  IB  IC  SO SO e/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy D C B S ∆ M chẳng hạn mp  SAO  , ta vẽ đường trung trực cạnh SA  cắt SA M cắt SO I  I tâm mặt cầu - Bán kính: SM SI   Bán kính là: Ta có: SMI  SOA  SO SA I I A D O B C Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA  đáy  ABC  đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp đường trịn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mp  ABC  O - Trong mp  d , SA , ta dựng đường trung trực  cạnh SA , cắt SA M , cắt d I  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R  IA  IB  IC  IS  - Tìm bán kính: Ta có: MIOB hình chữ nhật Xét MAI vng M có: S d R  AI  MI  MA2   SA  AO      f/ Hình chóp khác - Dựng trục  đáy - Dựng mặt phẳng trung trực   cạnh bên M I O A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ∆ B C Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A -      I  I Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường trịn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng tốn O O Hình vng: O giao điểm đường chéo O Hình chữ nhật: O giao điểm hai đường chéo O O ∆ vuông: O trung điểm cạnh huyền ∆ đều: O giao điểm đường trung tuyến (trọng tâm) ∆ thường: O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh ∆ KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa S giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) cạnh bên  Lúc : I - Tâm O mặt cầu:   mp( )  O O - Bán kính: R  SA   SO  Tuỳ vào trường hợp D A Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: M   : MA  MB  MC Suy ra: MA  MB  MC  M   C H B  M A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay H B Trang 4C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng  vng góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt A Tam giác vuông B Tam giác  B C Tam giác  H C  B B C H A H A A S Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng SMO đồng dạng với SIA  C M SO SM  SA SI O I A Nhận xét quan trọng:  MA  MB  MC M , S :   SM trục đường tròn ngoại tiếp ABC  SA  SB  SC Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng  SA   ABC  Ví dụ: Cho S ABC :  Theo đề bài:  ABC  B  BC  AB  gt    BC  SA  SA   ABC    BC  (SAB)  BC  SB Ta có B A nhìn SC góc vng  nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC  I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R  SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG   ABC  G tâm đường tròn ngoại tiếp ABC + Trên mặt phẳng  SGC  , vẽ đường trung trực SC , đường cắt SG I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R  IS + Ta có SGC  SKI  g  g   SG SC SC.SK SC   R  SK SI SG SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Mặt bên  SAB    ABC  SAB Gọi H , M trung điểm AB, AC Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA  MB  MC ) Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ABC ( d1 qua M song song SH ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp SAB d trục đường tròn ngoại tiếp SAB , d cắt d1 I  I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC 2  Bán kính R  SI Xét SGI  SI  GI  SG B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH BÁN KÍNH KHỐI CẦU Câu 1.Cho hình chóp S ABC có SA  a , SB  b , SC  c cạnh SA , SB , SC đơi vng góc Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A a  b2  c2 B Câu Một khối cầu tích a  b2  c2 C a  b2  c2 D a  b2  c2 32 Bán kính R khối cầu 2 B R  C R  32 D R  Câu Cho bốn điểm A, B, C , D thuộc mặt cầu DA , DB , DC đơi vng góc, G   trọng tâm tam giác ABC , D điểm thỏa mãn DD  3DG Một đường kính mặt cầu A DD B BC C AB D AC Câu Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  a Đáy ABC nội tiếp A R  đường trịn tâm I có bán kính 2a (tham khảo hình vẽ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC A a B a C a D a 17 AOB  120 Trên đường thẳng Câu Trong mặt phẳng  P  cho tam giác OAB cân O , OA  OB  2a,  vuông góc với  P  O lấy hai điểm C , D nằm hai phía mặt phẳng  P  cho tam giác ABC vuông C tam giác ABD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 5a a 5a 3a A B C D 3 2 Câu 6.Cho hình chóp S ABC , có SA vng góc mặt phẳng ( ABC ) ; tam giác ABC vuông B Biết SA  2a , AB  a , BC  a Khi bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 2a B 2a C a D a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6