bai giang mat cau khoi cau

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm trường hợp giao mặt cầu với mặt phẳng, giao mặt cầu với đường thẳng, vị trí điểm với mặt cầu + Nắm vững cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu  Kĩ + Biết vẽ hình tốn cụ thể + Biết tính bán kính, diện tích mặt cầu thể tích khối cầu + Giải toán liên quan đến khối cầu toán tương giao với đường thẳng hay mặt phẳng, toán cực trị, tốn thực tế TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt cầu - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định hay khối cầu hình sau: khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R   M OM  R - Khối cầu hay hình cầu S  O; R  tập hợp tất điểm M cho OM  R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Cho mặt cầu S  O; R  điểm A Nếu: +) OA  R điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  hay d  I ;    IH Nếu: +) IH  R :  không cắt mặt cầu hay mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  khơng có điểm chung +) IH  R  với mặt cầu S  I ; R  có điểm chung H Ta nói  tiếp tuyến mặt cầu S  I ; R  H tiếp điểm +) IH  R :  cắt mặt cầu S  I ; R  hai điểm phân biệt Nhận xét: +) IAB cân I, điểm H trung điểm AB  AB  R  IH  AH  IH      Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng TOANMATH.com Trang Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên P hay d  I ;  P    IH Nếu: +) IH  R : Mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  khơng có điểm chung +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P  tiếp xúc mặt cầu S  I ; R  Lúc ta nói mặt phẳng  P  mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm Lưu ý: IH   P  +) Nếu IH  R : Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I   I   H  bán kính r  R  IH  R  I I Nhận xét: Đường trịn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng  P  qua tâm I mặt cầu S  I ; R  Đường tròn ta gọi đường trịn lớn Cơng thức cần nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R - Thể tích khối cầu V   R SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT CẦU Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R Kí hiệu: S  O; R   M OM  R TOANMATH.com Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối cầu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu Phương pháp giải Cần nắm vững phần kiến thức trọng tâm Ví dụ: Cho hình cầu có bán kính R Khi thể tích khối cầu A  R3 B  R3 C  R3 D 4 R Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính thể tích khối cầu V   R ta suy đáp án Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Diện tích mặt cầu có bán kính R A 4 R B 4 R C  R2 D  R3 Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính diện tích mặt cầu S  4 R ta suy đáp án Chọn A Ví dụ Từ điểm M nằm mặt cầu S  O; R  kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? A Vô số B C D Hướng dẫn giải Từ điểm M nằm ngồi mặt cầu S  O; R  kẻ vô số tiếp tuyến với mặt cầu Chọn A Chú ý: Nếu M nằm mặt cầu đáp án vơ số tiếp tuyến lúc tiếp tuyến nằm mặt phẳng tiếp diện mặt cầu M TOANMATH.com Trang Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình lăng trụ ln có mặt cầu ngoại tiếp C Hình hộp đứng ln có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp tam giác ln có mặt cầu ngoại tiếp Hướng dẫn giải Đáy hình hộp đứng khơng nội tiếp đường trịn đáy hình bình hành (khơng phải trường hợp đặc biệt hình chữ nhật hay hình vng) hình hộp đứng khơng có mặt cầu ngoại tiếp Chọn C Ví dụ Cho mặt cầu có tâm, bán kính Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có bán kính Kết luận sau sai? A R  r  d  O,    B d  O,     r C Diện tích mặt cầu S  4 r D Đường trịn lớn mặt cầu có bán kính bán kính mặt cầu Hướng dẫn giải Đáp án A sai r  R  d  O,    Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau sai? A Mọi hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Mọi tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp C Mọi hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp D Mọi hình hộp chữ nhật ln có mặt cầu ngoại tiếp Câu 2: Số mặt cầu chứa đường tròn cho trước A Vô số B C D Câu 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thuộc mặt cầu  ACB  90o Khẳng định sau khẳng định sai? A Ln có đường tròn nằm mặt cầu cho đường tròn ngoại tiếp ABC B Đường tròn qua ba điểm A; B; C nằm mặt cầu C AB đường kính đường trịn giao tuyến tạo mặt cầu mặt phẳng (ABC) TOANMATH.com Trang D AB đường kính mặt cầu cho Câu 4: Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định Xét điểm M di động nhìn đoạn AB góc vng Hỏi điểm M thuộc mặt mặt sau? A Mặt cầu B Mặt nón C Mặt trụ D Mặt phẳng Câu 5: Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A B Tập hợp tâm mặt cầu qua A B A mặt phẳng B đường thẳng C đường tròn D mặt cầu Dạng Tính bán kính, diện tích mặt, thể tích khối cầu Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng Phương pháp giải Nắm vững cơng thức tính diện tích thể tích Nắm vững trường hợp tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng để vận dụng kiến thức phần quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác để giải tập Ví dụ: Thể tích V khối cầu có bán kính R  a A V  4 a 3 C V  B V  12 a 3 4 a 3 D V  4 a Hướng dẫn giải  4 Ta có V   R   a 3   4 a 3 Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Một mặt cầu có diện tích xung quanh  có bán kính A B C D Hướng dẫn giải S mc  4 R  4 R    R  Chọn C Ví dụ Diện tích S mặt cầu có bán kính R  a A S  6 a B S  24 a C S  8 a D S   a Hướng dẫn giải Diện tích mặt cầu có bán kính R  a  S  4 R  4 a   24 a Chọn B Ví dụ Khối cầu  S1  tích 54 cm3 có bán kính gấp lần bán kính khối cầu  S  Thể tích V khối cầu  S  TOANMATH.com Trang A 2cm3 B 18cm3 C 4cm3 D 6cm3 Hướng dẫn giải Khối cầu  S1  có bán kính R Khi khối cầu  S  có bán kính Từ giả thiết ta có R  R3  54 Do đó, thể tích khối cầu  S2  R V       R  54   cm3    27 27 Chọn A Ví dụ 4: Cắt mặt cầu (S) mặt phẳng cách tâm khoảng 4cm ta thiết diện đường trịn có bán kính 3cm Bán kính mặt cầu (S) A 10cm B 7cm C 12cm D 5cm Hướng dẫn giải Bán kính mặt cầu (S) R  32    cm  Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA  6, AB  Diện tích mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) A 108 B 54 C 60 D 18 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC  2a Mặt bên (SAB) vng góc với đáy,  ASB  60o , SB  a Gọi (S) mặt cầu tâm B tiếp xúc với (SAC) Bán kính r mặt cầu (S) A r  2a B r  2a 19 C r  2a D r  a 19 Câu 3: Cho điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Biết qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Tập hợp tiếp điểm đường trịn nằm đường trịn có bán kính R Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R A B 3R R C R D R 3R Hai mặt phẳng (P), (Q) qua M tiếp xúc với (S) A B Biết góc (P) (Q) 60° Độ dài đoạn thẳng AB Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R M điểm thỏa mãn IM  A AB  R C AB  3R TOANMATH.com B AB  R D AB  R AB  R Trang Câu 5: Cho mặt cầu (S) tâm O điểm A, B, C nằm mặt cầu (S) cho AB  3, AC  4, BC  khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Thể tích khối cầu (S) A 21 B 29 C 20 5 D 29 29 Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trục cách đỉnh đa giác ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai điểm mút đoạn thẳng ngược lại Phương pháp giải Đối với tốn mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mấu chốt vấn đề phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp ta tính yếu tố cịn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2a, 4a, 4a, với  a  R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O trung điểm AC’ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R  OA R   1 AC   2  AA   AC   AA   AD   DC   2  a    4a    a  2 2  3a Chọn C Ví dụ mẫu Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD điểm I với A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC C I trung điểm đoạn thẳng SC D I trung điểm đoạn thẳng SB Hướng dẫn giải  BC  AB Từ giả thiết ta có   BC  SA  BC   SAB   BC  SB   90o  SBC 1 Chứng minh tương tự ta có   90o CD  SD  SDC  2   90o Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  3 Từ (1), (2) (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I đoạn thẳng SC Chọn C Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp A V  3 a B V   a C V   a3 D V  3 a Hướng dẫn giải Vì S.ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có OD  1 a BD  a  , 2 SO  SD  OD  a Vậy OS  OA  OD  OB  OC , nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Vậy thể tích khối cầu cần tìm V   SO   a3 (đvtt) Chọn B Lưu ý: Cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R a2 2h với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp TOANMATH.com Trang Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD  SA  AB  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chứng minh tương tự ví dụ ta kết  Ba đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vng  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm SC SC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  Ta có ABCD hình vuông cạnh a  AC  a Xét tam giác SAC vng A có SC  a  2a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  a Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có ABC, BCD cạnh nên AC  CD   ACD cân C Gọi I trung điểm AD  CI  AD  ACD    ADB   Lại có  ACD    ADB   AD  CI   ABD   IC  AD   CI  IB  IB   ABD   1 Ta có ACD  ABD  c.c.c   CI  IB  2 Từ vuông (1) (2) I  CB  IB  IB  ta có ACB cân CB    IC 2 DIB vuông I  ID  BD  IB   AD  ID  2 Xét ADB có AB  DB  2; AD  2  ABD vuông B  ABD  90o   ACD  90o Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính AD nên bán kính R  ID  Chọn B TOANMATH.com Trang 10 Gọi O tâm hình vuông ABCD  SO   ABCD  Vậy SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong (SAC) gọi (d) trung trực SA I giao điểm (d) với SO  I   SO   IA  IB  IC  ID    IA  IS  I   d   IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu R  SA2 SA2   SO SA2  AO a2 a 2 a2       a Chọn C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S mc  25 a B S mc  32 a C S mc  8 a D S mc  a2 12 Hướng dẫn giải Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO Mặt phẳng trung trực SB cắt SO I, cắt SB K I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp   60o Gọi H trung điểm BC SHO Xét tam giác vng SHO, ta có tan 60o  SO  SO  a OH Từ suy SB  SO  OB  3a  2a  a Ta có SKI ∽ SOB  g g  SK SI SK SB    SI   SI  SO SB SO a  5a  5a a 3 a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc  4 R  4 75a 25 a  36 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R  a B R  a C R  a D R  a 10 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 15 Ta có  ABCD  / /  MNPQ  Gọi O  AC  BD Mà S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  Nên SO trục hai đáy (ABCD) (MNPQ) Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng AM cắt SA, SO H, I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ bán kính IA Ta có SA  SB  SC  SD  2a AB  BC  CD  DA  a Lại có SH  3 3a a SA  2a   HA  SA  4  AC  AB  2a  AO  a  SO  SA2  AO  a 3a a HI SH OA.SH 3a Mặt khác SHI ∽ SOA  g g     HI    OA SO SO a  a   a 2 Bán kính mặt cầu cần tìm R  AI  HI  HA         a   2 Chọn B Cách Dựa vào trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy trục đường trịn ngoại tiếp mặt bên Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD, SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? A 16 a B 16 a C 4 a D 4 a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AC BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH  d   ABCD  Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vng góc với mp(SAD), d' cắt d O  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính R  OS  MO  MS Với OM  IH  AB  a, MS  r (r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB) Lại có, SAD cân A, cạnh AD  a, đường cao SH  tam giác SAD TOANMATH.com a suy 2 a 4a 2 (R bán kính r  AM  SH  R  3 Trang 16 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 R  16 a Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Biết    , BC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN BAC A  cos  a2 B  sin  a2 C 4 a2 cos  D 4 a2 sin  Hướng dẫn giải +) Gọi K, P trung điểm AC AB ACN vuông N  K tâm đường trịn ngoại tiếp ACN ABM vng M  P tâm đường tròn ngoại tiếp ABM +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vng góc cắt theo giao tuyến AB nên gọi d1 trục đường trịn ngoại tiếp ABM d1 qua P, d1   ABC  d1  AB Tương tự, gọi d2 trục đường tròn ngoại tiếp ACN d2 qua K , d   ABC  d  AC +) Rõ ràng, mặt phẳng (ABC) d1d2 đường trung trực cạch AB, AC nên hai đường cắt tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta R  BC a  sin A sin  Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Chọn B Lưu ý: Cách 2: Vẽ đường kính AE đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi A, M, N, B, C nhìn AE góc 90° Áp dụng định lí sin cho ABC ta TOANMATH.com Trang 17 R BC a  2sin A sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a, (S) mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện ABCD M điểm thay đổi (S) Tổng T  MA2  MB  MC  MD A 3a B a C 4a D 2a Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB  a, AC  2a Mặt bên  SAB  ,  SCA  tam giác vuông B, C Biết thể tích khối chóp S.ABC a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bao nhiêu? A R  a B R  a C R  3a D R  3a Câu 3: Cho lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy tứ giác ABCD với A, B, C, D di động Gọi I giao hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC  IB.ID  h Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h B h C h D h Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD A 21 a 54 B 21 a 162 C 21 a 216 D 49 21 a 36 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  3a, AD  a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A S  5 a B S  10 a C S  4 a D S  2 a Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác chung cạnh BC  Gọi I trung điểm BC ,  AID  2 với cos    Hãy xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A O trung điểm AD B O trung điểm BD C O thuộc mặt phẳng (ADB) D O trung điểm AB Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB  BC  a, AD  2a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC A 6a2 TOANMATH.com B 10a2 C 3a2 D 5a2 Trang 18 Câu 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB  BC  a, AD  2a, SA   ABCD  SA  a Gọi E trung điểm AD Kẻ EK  SD K Bán kính mặt cầu qua sáu điểm S, A, B, C, E, K A R  a B R  a a C R  D R  a   60o , SA   ABC  Gọi Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác với AB  2cm, AC  3cm, BAC B1, C1 hình chiếu vng góc A lên SB, SC Thể tích khối cầu qua năm điểm A, B, C, B1, C1 A 28 21 cm3 27 Câu 10: Cho B 76 57 cm3 27 hình chóp C S.ABCD 7 cm3 có đáy D hình 27 cm3 thang vuông A, B, AB  BC  a, SA  AD  2a, SA   ABCD  , gọi E trung điểm AD Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE theo a A R  3a B R  a 10 C R  a 11 D R  a Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm BC CD Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN A 3 a 12 B 31 a 12 C  a2 12 D 5 a 12 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC, SAB tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R  a a B R  C R  a 21 D R  a 15 Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, D AB  AD  a, DC  2a tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc D AC M trung điểm HC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BDM theo a A 7 a B 13 a C 13 a D 7 a Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh A  12 B  C 2 D  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 19 Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm hình vng mặt hình lập phương Suy bán kính R  4 1  Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V   R      3 2 Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương 64 a A V  8 a B V  32 a C V  16 a D V  Hướng dẫn giải Hình lập phương tích 64a3, suy cạnh hình lập phương 4a Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính cạnh hình lập phương  R  2a 32 a Vậy V   R  3 Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB  8, BC  Biết SA  SA vng góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC A 16  B 625  81 C 256  81 D 25  Hướng dẫn giải Gọi I r tâm bán kính hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Khi r.S VS ABC  VI ABC  VI SBC  VI SAB  VI SAC  r  SABC  S SAB  S SBC  S SAC   TP 3 3V  r  S ABC STP 1 VS ABC  SA.S ABC  .8.6  48; 3 S ABC  S SAB  24; S SBC  S SAC  30  STP  108 Vậy r  3VS ABC 3.48 4 256    Vmc   r   STP 108 3 81 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính thể tích V khối chóp tứ giác có chiều cao h bán kính mặt cầu nội tiếp r  h  2r   Giá trị V TOANMATH.com Trang 20 A V  4r h  h  2r  B V  4r h  h  2r  C V  4r h  h  2r  D V  3r h  h  2r  Câu 2: Trong tất khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính a, thể tích V khối chóp tích nhỏ A V  8a B V  10a C V  2a D V  32a Câu 3: Cho hình cầu (S) tâm I, bán kính R khơng đổi Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu Chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h  R C h  B h  R R D h  R Câu 4: Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước A h  3R B h  5R C h  5R D h  4R Câu 5: Cho hình chóp đa giác có cạnh bên a tạo với mặt đáy góc 30° Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A 4 a B 4 a C 4 a 3 D 4 a 3 Dạng Bài toán cực trị Phương pháp giải Tương tự toán cực trị hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào yếu tố sau đánh giá tìm đáp án Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R  5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc  S   D   C   tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu D mặt phẳng (P) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có chu vi 8cm Suy bán kính đường tròn R  8   cm  2 Suy cạnh tam giác ABC  cm  Suy S ABC 4 3   12  cm  khơng đổi Do thể tích khối tứ diện ABCD lớn d  D,  ABC   lớn  D O nằm phía SO với mặt phẳng (P) D, O, H thẳng hàng  DH  DO  OH  DO  OA2  AH   25  16  TOANMATH.com Trang 21 Khi Vmax  12 3.8  32  cm3  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có tâm I bán kính 10 Các điểm A, B thay đổi thuộc  S1  C, D thay đổi thuộc  S  cho có tứ diện ABCD Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB CD A 10 B C D Hướng dẫn giải Để có tứ diện ABCD AB CD không đồng phẳng Gọi R1, R2 bán kính mặt cầu  S1   S   R1  2; R2  10 Gọi K trung điểm CD h khoảng cách hai đường thẳng AB CD Ta CD  2CK , AB  R1  4,sin  AB, CD   Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD  1 AB.CD.sin  AB, CD  d  AB, CD   4.CD.h 6 Co  si  4 h  CK  IK  CK 3 Xét ICK vng K có IK  CK  CI  R22 Khi VABCD  4 R2  10 3  AB  CD  Dấu “=” xảy   AB   h  IK  CK  Chọn C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S điểm thay đổi đường thẳng d, H trực tâm tam giác SBC Biết S thay đổi đường thẳng d điểm H nằm đường (C) Trong số mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ A a B a C a 12 D a Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm BC suy AM  BC ; SM  BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC, tam giác ABC cạnh a nên AM  suy MG.MA  a a ; MG  MA  a2 Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH tam giác SMC hai tam giác đồng dạng nên TOANMATH.com Trang 22 BM MH a2   MH MS  BM MC  SM MC MH MA  nên tam giác MHG tam MG MS giác MAS đồng dạng suy GH  SM Do MH MS  MG.MA hay Vì H thuộc (SAM) cố định S thay đổi d GH  SM nên (C) phần đường trịn đường kính GM mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R  GM a  12 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình chóp SABC có SA  3, AB  1, AC  SA   ABC  Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt cầu tâm O qua A cắt tia SB, SC D Khi độ dài đoạn BC thay đổi, giá trị lớn thể tích khối chóp S.ADE A 81 130 B C 21 D 87 130 Câu 2: Ba bóng dạng hình cầu có bán kính đơi tiếp xúc tiếp xúc với mặt phẳng (P) Mặt cầu (S) bán kính tiếp xúc với ba bóng Gọi M điểm (S), MH khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Giá trị lớn MH A  30 B  69 C  123 D 52 Câu 3: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Thể tích V khối chóp có giá trị lớn A 144 B 144 D 576 C 576 Câu 4: Cho mặt cầu đường kính AB  R Mặt phẳng (P) vng góc AB I (I thuộc đoạn AB), cắt mặt cầu theo đường tròn (C) Tính h  AI theo R để hình nón đỉnh A, đáy hình trịn (C) tích lớn A h  R B h  R C h  4R D h  2R Dạng Bài toán thực tế Phương pháp giải Nắm vững kiến thức dạng toán để giải toán thực tế liên quan đến mặt cầu EV0   33  36  cm3  Ví dụ: Người ta thả viên bi có dạng hình cầu với bán kính 3cm vào ly dạng hình trụ chứa nước Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly chiều cao mực nước dâng lên thêm 1cm Biết chiều cao mực nước ban đầu ly 7,5cm Tính thể tích V khối nước ban đầu ly (kết lấy xấp xỉ) A V  282, 74cm3 B V  848, 23cm3 C V  636,17cm3 D V  1272,35cm3 TOANMATH.com Trang 23 Hướng dẫn giải Gọi V0 thể tích viên bi Gọi R bán kính ly (khơng tính vỏ) Theo ta tích cột nước dâng lên 1cm thể tích viên bi nên ta có  R  36  R   cm  Suy thể tích V khối nước ban đầu ly  R h   36.7,  848, 23  cm3  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi với đôi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh 4, Tích bán kính ba hình cầu A 12 B C D Hướng dẫn giải Gọi  O , r1  ,  O2 , r2  ,  O3 , r3  hình cầu thỏa mãn Gọi A, B, C hình chiếu O1; O2; O3 mặt phẳng Giả sử AB  4, BC  2, AC  Ta có O1 A  r1 ; O2 B  r2 ; O3C  r3 ; O1O2  r1  r2 ; O2O3  r2  r3 ; O3O1  r3  r1 Kẻ O1 H  BO2  H  BO2   BH  r1 ; O2 H  r2  r1 Theo định lý Py-ta-go ta có O1O2  O1H  O2 H   r1  r2   AB   r2  r1  2 2 2 AB  r1r2  BC AC Tương tự ta có r2 r3  ; r3 r1  4 Vậy r1r2 r3  AB BC 2CA2  64 Chọn B Ví dụ Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đơng 40cm (tham khảo hình vẽ) TOANMATH.com Trang 24 Độ dài đường xích đạo là: A 40 3 cm B 40 cm C 80 cm D 80 cm Hướng dẫn giải Đường xích đạo đường vĩ tuyến lớn Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đơng Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40  80  cm  Chọn C Ví dụ Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5cm Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A  40 (miếng da) B  20 (miếng da) C  35 (miếng da) D  30 (miếng da) Hướng dẫn giải Vì thiết diện qua tâm đường trịn có chu vi 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu R ta có 2 R  68,5  R  68,5 2  68,  Diện tích mặt cầu: S xq  4 R  4    1493, 59  cm   2  Vì miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín mặt bóng số miếng da cần 1493,59  29, 97 Vậy phải cần  30 miếng da 49,83 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Bạn An có cốc giấy hình nón có đường kính đáy 10cm độ dài đường sinh 8cm Bạn dự định đựng viên kẹo hình cầu cho tồn viên kẹo nằm cốc (không phần viên kẹo cao miệng cốc) Hỏi bạn An đựng viên kẹo có đường kính lớn bao nhiêu? A 64 cm 39 TOANMATH.com B 39 cm 13 Trang 25 C 32 cm 39 D 10 39 cm 13 Câu 2: Có viên bi hình cầu có bán kính 1cm Người ta đặt viên bi tiếp xúc tiếp xúc với mặt bàn Sau đai chặt viên bi lại đặt viên bi thứ tiếp xúc với viên bi hình vẽ Gọi O điểm thuộc bề mặt viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn lớn Khoảng cách từ O đến mặt bàn A 62 B C 3 D Câu 3: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R  10cm Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chõm cầu có chiều cao h  4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi Bán kính viên bi (kết làm tròn đến chữ số thập phân) A 3,24cm B 2,09cm C 4,28cm D 4,03cm Câu 4: Một người dùng ca hình bán cầu có bán kính cm để múc nước đổ vào thùng hình trụ chiều cao 3cm bán kính đáy 12 cm Hỏi người sau lần đổ nước đầy thùng? (Biết lần đổ, nước ca đầy) A 10 lần B 20 lần C 24 lần D 30 lần Dạng Dạng toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình nón, hình trụ, hình cầu dạng toán để giải toán tổng hợp Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I đường kính AA', M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta khối V nón khối cầu tích V1 V2 Tỷ số V2 A B 49 C 27 32 D 32 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 26 Gọi a cạnh ABC đều, suy BM  a a a ; AM  ; IA  2 a a  BM AM V 2 Ta có      V2 a 3 32  IA3     Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình cầu có V đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi tỉ số thể tích bao nhiêu? V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a 3  I  2a, R  a, h  a  V1  a 3 a  a ; 3 a 3 3 V2    a     Vậy V1  V2 Chọn B Ví dụ Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước 128 m Tính diện tích xung quanh bồn chứa nước theo đơn vị m TOANMATH.com Trang 27 A 48 m2 B 50 m2 C 40 m2 D 64 m2 Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình cầu Ta có lt  2d c  Rc  Rt  x Thể tích bể nước 4 128 V  Vt  Vc   Rt2lt   Rc3   x x   x  3 3  x   x  Diện tích xung quanh bể nước S  2 Rt lt  4 Rc2  2.2  4 22  48  m  Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy 6cm, chiều cao 15cm Giả sử mức nước cốc cao 7cm so với đáy bên cốc Người ta thả viên bi hình cầu có bán kính 2cm vào cốc nước Hỏi mức nước dâng lên cốc cm? A 22 B C D 32 27 Câu 2: Một cốc hình trụ có bán kính đáy 2cm, chiều cao 20cm Trong cốc có nước, khoảng cách đáy cốc mặt nước 12cm Một quạ muốn uống nước cốc mặt nước phải cách miệng cốc không 6cm Con quạ thông minh mổ viên bi đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc nước để mực nước dâng lên Để uống nước quạ cần thả vào cốc viên đá? A 29 B 30 C 28 D 27 Câu 3: Người ta xếp bảy viên bi khối cầu có bán kính R vào lọ hình trụ Biết viên bi tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau xếp bi A 6 R B 26 R C 18 R D 28 R Câu 4: Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R khơng đổi Một khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn A h  R B h  R C h  R D h  2R Câu 5: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA  a Đáy ABC nội tiếp đường trịn có đường kính AC  4a Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC nội tiếp hình trụ T Thể tích khối trụ T A 17 a TOANMATH.com B 17 17 a C 17 a D 17 17 a Trang 28 Câu 6: Cho đường trịn tâm O có đường kính AB  2a nằm mặt phẳng (P) Gọi I điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S cho SI   P  SI  2a Bán kính R mặt cầu qua đường trịn cho điểm S có độ dài A R  a 65 B R  a 65 16 C R  a 65 D R  7a Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng, SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84 cm2 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD A 21 cm B 21 cm C 21 cm D 21 cm Câu 8: Có bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước Người ta cho ba khối nón giống có thiết diện qua trục tam giác vuông cân vào bể cho ba đường tròn đáy ba khối nón tiếp xúc với nhau, khối nón có đường tròn đáy tiếp xúc với cạnh đáy bể hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy tiếp xúc với hai cạnh đáy bể Sau người ta đặt lên đỉnh ba khối nón khối cầu có bán kính lần bán kính đáy khối nón Biết khối cầu vừa đủ ngập nước lượng nước trào 337 cm3 Tính thể tích nước ban đầu bể (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) A 885,2 cm3 B 1209,2 cm3 C 1106,2 cm3 D 1174,2 cm3 Dạng 1: Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu 1- C 2- A 3- D 4- A 5- A Dạng Bài tốn tính bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu Bài tốn tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng 1- A 2- B 3- B 4- A 5- D Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện 1- D 2- C 3- B 11- B 12- D 13- D 4- A 5- A 6- A 7- D 8- D 6- A 7- D 8- B 9- A 10- C Dạng 4: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện 1- C 2- D 3- A 4- D 5- A Dạng Bài toán cực trị 1- A 2- B 3- C 4- C Dạng 6: Bài toán thực tế 1- D 2- A 3- B 4- C Dạng 7: Dạng toán tổng hợp 1- D 2- C TOANMATH.com 3- B 4- D 5- D Trang 29 ... điểm H trung điểm AB  AB  R  IH  AH  IH      Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng TOANMATH.com Trang Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên P hay d... O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R Kí hiệu: S  O; R   M OM  R TOANMATH.com Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối... Nếu M nằm mặt cầu đáp án vơ số tiếp tuyến lúc tiếp tuyến nằm mặt phẳng tiếp diện mặt cầu M TOANMATH.com Trang Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình