TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = {M / IM = R} Dạng : Phương trình tắc Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > I R A B Dạng : Phương trình tổng quát ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ⇒ Điều kiện để phương trình (2) phương trình ( S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 mặt cầu: = R2 a + b2 + c2 − d > • (S) có tâm I ( a; b; c ) • (S) có bán kính: R= a + b2 + c2 − d 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) ⇒ d = IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) Khi : + Nếu d > R : Mặt cầu mặt + Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp xúc + Nếu d < R : Mặt phẳng ( P ) phẳng khơng có điểm chung mặt cầu Lúc đó: ( P ) mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn có tâm I' bán tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm kính= r R − IH M1 R P I I M2 R P H I d R r H I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường tròn lớn 4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : Cho mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu I lên ∆ Khi : + IH > R : ∆ khơng cắt mặt + IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu + IH < R : ∆ cắt mặt cầu cầu ∆ tiếp tuyến (S) H tiếp hai điểm phân biệt điểm ∆ ∆ H H R I I R I R Δ H B A Trang 1/51 * Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d ( I ; ∆ ) =IH + Lúc đó: R=  AB  IH +     2 IH + AH = ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ * Đường tròn (C) khơng gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng (α ) (S ) : (α ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Ax + By + Cz + D = * Xác định tâm I’ bán kính R’ (C) + Tâm I =' d ∩ (α ) Trong d đường thẳng qua I vng góc với mp (α ) + Bán kính R ' = R − ( II ') = R −  d ( I ; (α ) )  2 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) d ( I ; ∆ ) =R ⇔ d ( I ; (α ) ) = R * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )   IM ⊥ ad  IM ⊥ d Sử dụng tính chất :  ⇔     IM ⊥ nα  IM ⊥ (α ) Trang 2/51 B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R (S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = R2 * Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Phương trình (S) hồn tồn xác định biết a, b, c, d ( a + b + c − d > ) Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau: a) ( S ) có tâm I ( 2; 2; −3) bán kính R = b) ( S ) có tâm I (1; 2;0 ) (S) qua P ( 2; −2;1) c) ( S ) có đường kính AB với A (1;3;1) , B ( −2;0;1) Bài giải: a) Mặt cầu tâm I ( 2; 2; −3) bán kính R = , có phương trình: (S): ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) =  b) Ta có: IP = (1; −4;1) ⇒ IP = 2 Mặt cầu tâm I (1; 2;0 ) bán kính = R IP = , có phương trình: (S): ( x − 1) + ( y − ) + z = 18  c) Ta có: AB =( −3; −3;0 ) ⇒ AB =3 2   Gọi I trung điểm AB ⇒ I  − ; ;1  2  AB   , có phương trình: Mặt cầu tâm I  − ; ;1 bán kính= R = 2  2  2 1  3  (S):  x +  +  y −  + ( z − 1) = 2  2  Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: a) (S) qua A ( 3;1;0 ) , B ( 5;5;0 ) tâm I thuộc trục Ox b) (S) có tâm O tiếp xúc mặt phẳng (α ) : 16 x − 15 y − 12 z + 75 = c) (S) có tâm I ( −1; 2;0 ) có tiếp tuyến đường thẳng ∆ : x +1 y −1 z = = −1 −3 Bài giải:   a) Gọi I ( a;0;0 ) ∈ Ox Ta có : IA = ( − a;1;0 ) , IB = ( − a;5;0 ) Do (S) qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ (3 − a ) +1 = (5 − a ) + 25 ⇔ 4a =40 ⇔ a =10 ⇒ I (10;0;0 ) IA = Mặt cầu tâm I (10;0;0 ) bán kính R = , có phương trình (S) : ( x − 10 ) + y + z = 50 Trang 3/51 75 = 25 Mặt cầu tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R = , có phương trình (S) : x + y + z =  c) Chọn A ( −1;1;0 ) ∈ ∆ ⇒ IA = ( 0; −1;0 )    Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ = u∆  ( 3;0; −1) ( −1;1; −3) Ta có:  IA, =   IA, u∆  10   Do (S) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ )= R ⇔ R= =  u∆ 11 b) Do (S) tiếp xúc với (α ) ⇔ d ( O, (α ) ) = R ⇔ R = 10 10 2 , có phương trình (S) : ( x + 1) + ( y − ) + z = 121 11 Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A (1; 2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2; 2;3) , D (1;0; ) Mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) bán kính R = b) (S) qua A ( 0;8;0 ) , B ( 4;6; ) , C ( 0;12; ) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải: a) Cách 1: Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu (S) cần tìm  IA2 = IB  IA =IB − y + z =−1  x =−2     Theo giả thiết:  IA =IC ⇔  IA =IC ⇔  x + z =−2 ⇔  y =1  IA ID   − 4z =  =   y= z  IA = ID Do đó: I ( −2;1;0 ) R = IA = 26 26 Vậy (S) : ( x + ) + ( y − 1) + z = 2 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , ( a + b2 + c2 − d > ) Do A (1; 2; −4 ) ∈ ( S ) ⇔ −2a − 4b + 8c + d = −21 (1) Tương tự: B (1; −3;1) ∈ ( S ) ⇔ −2a + 6b − 2c + d = −11 (2) −17 C ( 2; 2;3) ∈ ( S ) ⇔ −4a − 4b − 6c + d = (3) D (1;0; ) ∈ ( S ) ⇔ −2a − 8c + d = −17 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy phương trình mặt cầu (S) : ( x + ) + ( y − 1) 2 + z2 = 26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz) ⇒ I ( 0; b; c ) 2 = = b  IA IB IB = IC ⇔  ⇔ Ta có: IA = c =  IA = IC Vậy I ( 0;7;5 ) R = 26 Vậy (S): x + ( y − ) + ( z − ) = 26 2 x = t  Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y = −1 (S) tiếp xúc với hai  z = −t  mặt phẳng (α ) : x + y + z + = ( β ) : x + y + z + = Bài giải: Gọi I ( t ; −1; −t ) ∈ ∆ tâm mặt cầu (S) cần tìm Trang 4/51 1− t 5−t 1 − t = − t t = ⇔ ⇒ = 3 1 − t = t − Suy ra: I ( 3; −1; −= 3) R d= ( I , (α ) ) 32 Vậy (S) : ( x − 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 3)2 = Theo giả thiết: d ( I , (α= )) d ( I , ( β )) ⇔ Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A ( 2;6;0 ) , B ( 4;0;8 ) có tâm thuộc d: x −1 y z + = = −1 Bài giải: x= 1− t  Gọi I (1 − t ; 2t ; −5 + t ) ∈ d tâm mặt cầu (S) cần tìm Ta có d :  y = 2t  z =−5 + t    Ta có: IA = (1 + t ;6 − 2t ;5 − t ) , IB = ( + t ; −2t ;13 − t ) Theo giả thiết, (S) qua A, B ⇔ AI = BI ⇔ (1 + t ) + ( − 2t ) + ( − t ) 2 (3 + t ) = + 4t + (13 − t ) 29 ⇔ 62 − 32t = 178 − 20t ⇔ 12t = −116 ⇔ t = −  32 58 44  ⇒ I  ; − ; −  R = IA = 233 Vậy (S): 3   2 Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2;3; −1) cắt đường thẳng ∆ : hai điểm A, B với AB = 16 Bài giải:  Chọn M ( −1;1;0 ) ∈ ∆ ⇒ IM =   Ta có:  IM= , u∆  ( −3; −2;1) Đường thẳng ( 2; 4;14 ) ⇒ d= ( I, ∆) x +1 y −1 z = = −4  ∆ có vectơ phương u= ∆   IM , u∆    = u∆ Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : = R 32   58   44   932 x−  + y+  +z +  =       (1; −4;1) AB d ( I , ∆ )  + = 19 Vậy (S): ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 76 2 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng y+ z −6 ( P ) : x − 4= 0, ( Q ) : x −= y + z + đường thẳng x −1 y z −1 == Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) ∆ cho (Q) cắt (S) −2 theo hình tròn có diện tích 20π Bài giải: (1)  x = + 7t  x = + 7t  y = 3t (2)   Ta có ∆ :  y = Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:  3t (3)  z = − 2t  z = − 2t  5 x − y + z − = (4) ∆: Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: (1 + 7t ) − ( 3t ) + (1 − 2t ) − = ⇔ t = ⇒ I (1;0;1) Ta có : d ( I , ( Q ) ) = Trang 5/51 Gọi r bán kính đường tròn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: 20π= π r ⇔ r= R bán kính mặt cầu (S) cần tìm Theo giả thiết: R = d ( I , (Q = ) ) + r  110 330 2 Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 1) = 3  x = −t  Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P) : x − y − z − = đường thẳng d :  y= 2t − z = t +  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Bài giải: Gọi I ( −t ; 2t − 1; t + ) ∈ d : tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) Theo giả thiết : R = d ( I ; ( P ) ) + r =   4+9 = 13  t = −2t − 2t + − 2t − − Mặt khác: d ( I ; ( P ) ) = ⇔ = ⇔ 6t + = ⇔  +1+ t = − 11  2 1    13   13   * Với t = : Tâm I1  − ; − ;  , suy ( S1 ) :  x +  +  y +  +  z −  = 13 6  3  6  6  * Với t = − 2 11   2  1 11  11   13 : Tâm I  ; − ;  , suy ( S ) :  x −  +  y +  +  z −  = 6  3  6  6  x −1 y +1 z −1 Bài tập 9: Cho điểm I (1;0;3) đường thẳng d : = = Viết phương trình mặt cầu (S) tâm 2 I cắt d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I Bài giải :  Đường thẳng d có vectơ phương u = ( 2;1; ) P (1; −1;1) ∈ d  u, IP     20    Ta có: IP = ( 0; −1; −2 ) ⇒ u , IP  = ( 0; −4; −2 ) Suy ra: = d (I;d ) =  u Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, ∆IAB vuông I 1 = + 2= ⇔R= 2 IH IA IB R2 40 2 Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 3) = ⇒ IH = 2d ( I , d ) = 40 Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = điểm A ( 4; 4;0 ) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài giải : (S) có tâm I ( 2; 2; ) , bán kính R = Nhận xét: điểm O A thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp = R/ Khoảng cách : d ( I ; ( P ) ) = R − ( R / ) = OA = 3 Trang 6/51 Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax + by + cz = ( a + b + c > ) ( *) Do (P) qua A, suy ra: 4a + 4b = ⇔ b =−a Lúc đó: d ( I ; ( P ) ) = 2(a + b + c) 2 = 2c 2 ⇒ 2c 2 = 2a + c 2a + c a +b +c c = a Theo (*), suy ( P ) : x − y + z = ⇒ 2a + c = 3c ⇒  x − y − z = c = −1 Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường tròn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): = r R −  d ( I ; ( P ) )  cắt mặt phẳng (P): x − = Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − = theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C) Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm I (1;0;0 ) bán kính R = Ta có : d ( I , ( P ) ) =1 < = R ⇔ mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m)  * Đường thẳng d qua I (1;0;0 ) vng góc với (P) nên nhận nP = (1;0;0 ) làm vectơ phương, có x= 1+ t  phương trình d :  y = z =  x= 1+ t x = y =   / + Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ :  ⇔  y =0 ⇒ I / ( 2;0;0 ) z =  z =  x − = + Ta có: d ( I , ( P ) ) = Gọi r bán kính (C), ta có : r = R −  d ( I , ( P ) )  = Dạng : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) =R + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) ⇔ d ( I ; (α ) ) = R * Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao x y −1 z − Bài tập 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : = và mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = = Số −1 điểm chung ( ∆ ) ( S ) : A 0.B.1.C.2.D.3 Bài giải:  Đường thẳng ( ∆ ) qua M ( 0;1; ) có vectơ phương là= u ( 2;1; − 1) Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;0; − ) bán kính R = Trang 7/51  Ta có MI =   (1; −1; −4 ) u, MI  = ( −5;7; −3) ⇒ d= ( I, ∆)   u , MI    =  u 498 Vì d ( I , ∆ ) > R nên ( ∆ ) không cắt mặt cầu ( S ) Lựa chọn đáp án A Bài tập 2: Cho điểm I (1; −2;3) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: A ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) =10 B ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 10 C ( x + 1) + ( y − ) ( z + 3) = 10 D ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Gọi M hình chiếu I (1; −2;3) lên Oy, ta có : M ( 0; −2;0 )  IM =( −1;0; −3) ⇒ R =d ( I , Oy ) =IM = 10 bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 10 2 Lựa chọn đáp án B x +1 y − z + Phương trình mặt Bài tập 3: Cho điểm I (1; −2;3) đường thẳng d có phương trình = = −1 cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 2 2 2 2 2 Bài giải:  Đường thẳng ( d ) qua I ( −1; 2; −3) có VTCP= u   u , AM    =  u ( 2;1; − 1) ⇒ d ( A, d )= Phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 50 2 Lựa chọn đáp án D Bài tập 4: Mặt cầu ( S ) tâm I 2; 3; 1 cắt đường thẳng d : x − 11 y z + 25 điểm A, B cho = = −2 AB = 16 có phương trình là: A ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 17 B ( x + ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 289 C ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 D ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Đường thẳng ( d ) qua M (11; 0; −25 ) có vectơ  phương= u ( 2;1; − ) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:   u , MI   AB    ⇒ = R IH + = = IH d= I , AB = 15  ( )   17   u Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 2 I R A H B d Lựa chọn đáp án C x+5 y−7 z Bài tập 5: Cho đường thẳng d : = = điểm I (4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có −2 Trang 8/51 tâm I, hai điểm A, B cho AB = Phương trình mặt cầu ( S ) là: A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 B ( x + ) + ( y + 1) + ( z + ) = 18 C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 16 2 2 2 2 Bài giải : Đường thẳng d qua M (−5;7;0) có vectơ phương  = u (2; −2;1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   u , MI   AB    = ⇒= IH d= R IH +   ( I , AB ) = = 18   u Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 2 2 2 I R A H B d Lựa chọn đáp án A x −1 y −1 z + Bài tập 8: Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = 3 16 2 C ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = Bài giải: Đường thẳng ( ∆ ) qua = M (1;1; − ) có vectơ  phương u = (1; 2;1)    Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI  = ( 5; −2; −1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   I u , MI    = IH d=  ( I , AB ) = R u B d A IH 15 H Xét tam giác IAB, có IH= R ⇒ R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z + = Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) qua A ( 0;0;5 ) biết:  a) Tiếp tuyến có vectơ phương u = (1; 2; ) b) Vng góc với mặt phẳng (P) : x − y + z + = Bài giải: x = t   a) Đường thẳng d qua A ( 0;0;5 ) có vectơ phương u = (1; 2; ) , có phương trình d:  y = 2t  z= + 2t   b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n= ( 3; −2; ) P Trang 9/51 Đường thẳng d qua A ( 0;0;5 ) vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ phương  n= P  x = 3t ( 3; −2; ) , có phương trình d:  y = −2t =  z 2t + Bài tập 10: Cho ( S ) : x + y + z − x − y + z + = hai đường thẳng ∆1 : ∆2 : x +1 y +1 z −1 = = ; 2 x y −1 z − Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 ∆ đồng thời tiếp xúc với = = 2 (S) Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( 3;3; −1) , R =  Ta có: ∆1 có vectơ phương u1 = ( 3; 2; )  ∆ có vectơ phương u2 = ( 2; 2;1)  Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P)   ( P) / / ∆1 n ⊥ u1    Do:  ⇔    ⇒ chọn n =[u1 , u2 ] =( −2; −1; ) ( P ) / / ∆  n ⊥ u2 Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : −2 x − y + z + m = Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ;( P) ) = R⇔ 5+ m = m = ⇔ + m = 12 ⇔  m = − 17  Kết luận: Vậy tồn mặt phẳng : −2 x − y + z + 7= 0, − x − y + z − 17= Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = , biết tiếp diện: a) qua M (1;1;1) b) song song với mặt phẳng (P) : x + y − z − =0 x − y +1 z − b) vng góc với đường thẳng d : = = −2 Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( −1; 2;3) , bán kính R =  a) Để ý rằng, M ∈ ( S ) Tiếp diện M có vectơ pháp tuyến IM = ( 2; −1; −2 ) , có phương trình : (α ) : ( x − 1) − ( y − 1) − ( z − 1) = ⇔ x − y − z + = 0 b) Do mặt phẳng (α ) / / ( P ) nên (α ) có dạng : x + y − z + m =  m = −6 =3 ⇔ m − =9 ⇔   m = 12 * Với m = −6 suy mặt phẳng có phương trình : x + y − z − = Do (α ) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I , (α ) ) = R ⇔ m−3 * Với m = 12 suy mặt phẳng có phương trình : x + y − z + 12 =  c) Đường thẳng d có vectơ phương là= ud ( 2;1; −2 )  Do mặt phẳng (α ) ⊥ d nên (α ) nhận= ud ( 2;1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến Suy mặt phẳng (α ) có dạng : x + y − z + m = Trang 10/51 2 19   16   15   D ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 17   17   17  289  Hướng dẫn giải:  I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3) 2 d ( I ; ( P2 ) )  Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I ; ( P1 ) ) = t = 8t + = 9t + ⇔ 8t + = 9t + ⇔  ⇔  −18 t = t t − = − − 9  17  t= ⇒ I (1; 2;3) ; R =⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 18 19   16   15   19 16 15   − ⇒ I  − ; ; ; R = ⇒ (S ) :  x +  +  y −  +  z −  = t= 17 17 17   17   17  289  17 17 17   Lựa chọn đáp án D x +1 y − z Câu 44 Cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng d : = = mặt phẳng ( P) : x − y + z − = −1 −2 Phương trình mặt cầu ( S ) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( P) là: A ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 2 2 2 83   87   70  13456  B ( S ) : ( x + 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 16 ( S ) :  x −  +  y +  +  z +  = 13   13   13  169  2 83   87   70  13456  16 ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = C ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 13   13   13  169  2 D ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 16 2 Hướng dẫn giải:  x =−1 + 2t   d có phương trình tham số  y= − t  z = −2t   Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I ( −1 + 2t ; − t ; −2t ) Theo đề bài, (S) có bán kính R = IA = d ( I ; ( P )) ⇒ ( − 2t ) + ( t − 1) + ( + 2t ) 2 2 ( −1 + 2t ) − ( − t ) − 2t − = 22 + 22 + 12 t = 4t − 16 2 ⇔ ( 9t − 2t + ) =( 4t − 16 ) ⇔ 65t + 110t − 175 =0 ⇔  ⇔ 9t − 2t + = t = − 35 13   Với t =1 ⇒ I (1;3; −2 ) , R =4 ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) =16 2 35 116  83 87 70   Với t = − ⇒ I  − ; ; ; R = 13 13  13 13 13  2 83   87   70  13456  ⇒ (S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 13   13   13  169  Lựa chọn đáp án C Trang 35/51 Câu 45 Cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z + 10 = hai đường thẳng ∆1 : x − y z −1 = =, 1 −1 x−2 y z +3 = = Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ mặt phẳng ( P ) , có 1 phương trình: ∆2 : 2 2 2 11   7   81  A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) =  x −  +  y −  +  z +  = 2  2  2  11   7   81  B ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) =  x +  +  y +  +  z −  = 2  2  2  2 C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = D ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = Hướng dẫn giải:  x= + t    ∆1 :  y = ; ∆ qua điểm A(2;0; −3) có vectơ phương a2 = (1;1; 4) t z = 1− t   Giả sử I (2 + t ; t ;1 − t ) ∈ ∆1 tâm R bán kính mặt cầu ( S )    AI (t ; t ; − t ) ⇒  AI , a2  = (5t − 4; − 5t ;0) ⇒ d (=  Ta có:= I ; ∆2 )    AI , a2  5t − =  a2 + t − 2t − 2(1 − t ) + 10 t + 10 = 1+ + = d ( I , ( P))  t=  ( S ) tiếp xúc với ∆ ( P ) ⇔ d ( I , ∆ ) = d ( I , ( P)) ⇔ 5t − = t + 10 ⇔   t = −1 • Với t = 2 11   7   81  11   ⇒ I  ; ;−  , R = ⇒(S ) :  x −  +  y −  +  z +  = 2 2  2  2  2 2  • Với t = −1 ⇒ I (1; −1; 2), R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = Lựa chọn đáp án A Câu 46 Cho mặt phẳng ( P ) m−5 ( P ) : x + y + z − m2 + 4= ( P ) tiếp xúc ( S ) là: mặt (S ) cầu có phương trình z − Giá trị m để 0; ( S ) : x + y + z − x + y − 2= A m = −1 m = C m = −1 B m = m = −5 D m = Hướng dẫn giải: có tâm I (1; −1;1) bán kính R =  (S ) : x2 + y + z − x + y − z − = R  ( P ) tiếp xúc ( S ) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = 2.1 + 2.(−1) + 1.1 − m + 4m − ⇔ 2 2 + +1 =3 ⇔ m − 4m + =9  m − 4m + =9 ⇔ ⇔ m − 4m − = ⇔  m − 4m + =−9 Lựa chọn đáp án A  m =−1 m =  Trang 36/51 ( S ) : x + y + z − x + y + z − =0 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A ( 3; −1;1) song song với mặt phẳng ( P ) là: Câu 47 Cho mặt cầu  x = + 4t  B  y =−2 − 6t  z =−1 − t   x= − 4t  A  y =−1 + 6t z = 1+ t   x= + 4t  C  y =−1 − 6t z = 1− t   x= + 2t  D  y =−1 + t  z = + 2t  Hướng dẫn giải:   Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2; −1) ⇒ IA = ( 2;1; )  t=  Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S )  song song với mặt phẳng ( P ) nên  t = −1    đường thẳng d có vettơ phương ad =  n( P ) , IA = ( 4; −6; −1)    x= + 4t   Vậy phương trình đường thẳng d :  y =−1 − 6t z = 1− t  Lựa chọn đáp án A Câu 48 Cho điểm A ( 2;5;1) mặt phẳng ( P) : x + y − z + 24 = , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng ( P) H, cho điểm A nằm mặt cầu là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 B ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 196 C ( x + 16 ) + ( y + ) + ( z − ) = 196 D ( x − 16 ) + ( y − ) + ( z + ) = 196 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  x= + 6t   Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P ) Suy d :  y= + 3t  z = − 2t   Vì H hình chiếu vng góc A ( P ) nên H= d ∩ ( P) Vì H ∈ d nên H ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t )  Mặt khác, H ∈ ( P ) nên ta có: ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24 = 0⇔t = −1 Do đó, H ( −4; 2;3)  Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784π , suy 4π R= 784π ⇒ = R 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) H nên IH ⊥ ( P) ⇒ I ∈ d Do tọa độ điểm I có dạng I ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) , với t ≠ −1  Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:  ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24  t = = 14  d ( I , ( P)) = 14 2   + + (−2) ⇔ ⇔  t = −3 ⇔ t =   AI < 14   2 −2 < t <  ( 6t ) + ( 3t ) + ( −2t ) < 14 Trang 37/51 Do đó: I ( 8;8; − 1)  Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 2 Lựa chọn đáp án A Câu 49 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 0;0; ) , B ( 2;0;0 ) Phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Gọi ( S ) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R  Phương mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d =  (S) qua điểm O, A, B , ta có hệ phương trình : d = d = d = a = −8c + d = 16 −   b =  c = c =  ⇔ ⇔ ⇔ −4a+d=-4 a =1  2a + b − c +  a = c = 2  ( + b − + )= 5b − 10b + = (12 + b + 22 − ) =R d =   +1+1  Vậy (S): ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 2 Câu 50 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 2; −3;0 ) Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có bán kính Tọa độ điểm B là: A ( 0;1;0 ) B ( 0; −4;0 ) C ( 0; 2;0 ) ( 0; −4;0 ) D ( 0; 2;0 ) Hướng dẫn giải  Vì B thuộc tia Oy nên B ( 0; b;0 ) (với b > )  Bán kính mặt cầu tâm B , tiếp xúc với (= P ) R d= ( B, ( P ) ) 2b + b+2 = 2b +  2= b  Theo giả thiết R = ⇔ = ⇔ 2b + = ⇔  ⇔  2b + =−6 b =−4 Do b > ⇒ b =  Vậy B ( 0; 2;0 ) Lựa chọn đáp án D Câu 51 Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, (Q) : x − y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1; −1;1 ) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là: A ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 B ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 56 C ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 14 D ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 14 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  x = + 2t   Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P) , ta có : d :  y =−1 + 3t z = 1− t   Tâm I ∈ d ⇒ I ( + 2t ; −1 + 3t ;1 − t ) Trang 38/51 I ∈ ( Q ) ⇒ (1 + 2t ) − ( −1 + 3t ) − (1 − t ) + = 0⇔t = −2 ⇒ I ( −3; −7;3)  Bán kính mặt cầu R = IA = 14  Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 2 Lựa chọn đáp án A  x =−1 + t  Câu 52 Cho điểm I (0;0;3) đường thẳng d :  y = 2t Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt  z= + t  đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: 2 A x + y + ( z − 3) = B x + y + ( z − 3) = 2 D x + y + ( z − 3) = C x + y + ( z − 3) = 3 Hướng dẫn giải:  Gọi H ( −1 + t ; 2t ; + t ) ∈ d hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d  ⇒ IH = ( −1 + t ; 2t ; −1 + t )   Ta có vectơ phương d : ad = (1; 2;1) IH ⊥ d    2 7 ⇒ IH ad = ⇔ −1 + t + 4t − + t = ⇔ −2 + 6t = ⇔ t = ⇒ H − ; ;   3 3 2 2 2 2 2 ⇒ IH =   +   +  = 3 3 3 = IB = R Suy tam giác IAB vuông cân I ,  Vì tam giác IAB vng I IA bán kính: R = IA = AB cos 45= IH = 2 = 3  Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 3) = Lựa chọn đáp án B x + y z −3 Câu 53 Cho đường thẳng ∆ : = = và mặt cầu (S): x + y + z + x − y − 21 = Số −1 −1 giao điểm ( ∆ ) ( S ) là: A Hướng dẫn giải: IH= B.1 C.0 D.3  ( −2;0;3) có VTCP u =( −1;1; − 1) (1; 2; − 3) bán kính R=9 Đường thẳng ( ∆ ) qua M = Mặt cầu ( S ) có tâm= I    Ta có = MI ( 3; 2; −6 ) u , MI  =( −4; −9; −5 )   u , MI  366  ⇒ d=  ( I; ∆)  = u Vì d ( I , ∆ ) < R nên ( ∆ ) cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Lựa chọn đáp án A Trang 39/51 x+2 y−2 z +3 Câu 54 Cho đường thẳng d : = = mặt cầu (S) : x + y + ( z + ) = Tọa độ giao điểm ( ∆ ) ( S ) là: A A ( 0;0; ) , B ( −2; 2; −3) B A ( 2;3; ) C A ( −2; 2; −3) D ( ∆ ) (S) không cắt Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:  x =−2 + 2t  y= + 3t  ⇒ t = ⇒ A ( −2; 2; −3)  z =−3 + 2t   x + y + ( z + )2 =  Lựa chọn đáp án C x= 1+ t  mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z − 67 = Câu 55 Cho đường thẳng ( ∆ ) :  y = Giao  z =−4 + 7t  điểm ( ∆ ) ( S ) điểm có tọa độ: A ( ∆ ) (S) không cắt B A (1; 2;5 ) , B ( −2;0; ) C A ( 2; −2;5 ) , B ( 4;0;3) D A (1; 2; −4 ) , B ( 2; 2;3) Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: x= 1+ t y = t = ⇒ A (1; 2; −4 )  ⇒   z =−4 + 7t t = ⇒ B ( 2; 2;3) 2  x + y + z − x − y + z − 67 = Lựa chọn đáp án D x −1 y −1 z + Câu 56 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: A ( x − 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = D ( x + 1) + y + z = 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng ( d ) qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I (d) Ta= có: IH d=  ( I ; AB ) = u  AB  ⇒ R = IH +   =   2 Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A Trang 40/51 x +1 y − z − Câu 57 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 27 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng ( d ) qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I (d) Ta = có : IH d= 18  ( I ; AB ) = u  AB  ⇒ R = IH +   = 27   Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y −1 z + Câu 58 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − 1) + y + z = 12 B ( x − 1) + y + z = 10 C ( x + 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = 16 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng d qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d=  ( I ; AB ) = u  AB  ⇒ R = IH +   = 10   2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + y + z = 10 Lựa chọn đáp án B x= 1+ t  Câu 59 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d :  y = + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt  z =−2 + t  đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = 3 16 2 C ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = Hướng dẫn giải:  Đường thẳng ∆ qua = M (1;1; − ) có vectơ phương u = (1; 2;1)    Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI  = ( 5; −2; −1) Trang 41/51   u , MI    =  u Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= ( I ; AB ) IH 15 ⇒ R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án B  x =−1 + t  Câu 60 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d :  y= + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I  z= + t  Xét tam giác IAB, có IH= R cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   18 Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d=  ( I ; AB ) = u  AB  ⇒ R = IH +   = 36   2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 Lựa chọn đáp án D x +1 y − z − Câu 61 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 24 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 18 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 18 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= 18  ( I ; AB ) = u ⇒ IH= R IH ⇒ R= = Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 2 Lựa chọn đáp án A x +1 y − z − Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I Câu 62 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = =  = 30o là: cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho IAB A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 2 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 36 2 Trang 42/51 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 46 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 66 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I D Ta= có: IH d= 18  ( I ; AB ) = u ⇒ R = IA = 18 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 Lựa chọn đáp án A ( ) Câu 63 Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; −7 tiếp xúc trục tung là: ( ) + ( y + 3) ( ) + ( z + 7) + ( y − ) + ( z + 7) A ( x − 3) + y − 61 + ( z + 7) = B ( x − 3) + y − 2 = 58 C ( x + 3) + ( z − 7) = 58 D ( x − 3) 2 = 12 2 2 Hướng dẫn giải: ( ) ( ) Gọi H hình chiếu I 3; 3; −7 Oy ⇒ H 0; 3;0 ⇒ R = IH = ( Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 3) + y − Lựa chọn đáp án B Câu 64 Phương trình mặt cầu có tâm I ( ) C ( x − ) A x + ( + ( y − 3) + ( z − ) = 90 B x − Gọi H hình chiếu I ( 14 ( ) + ( y − 3) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y + 3) + ( z + ) = 90 Hướng dẫn giải: + ( z + 7) = 58 ) + ( y + 3) + ( z + ) = 86 2 5;3;9 tiếp xúc trục hoành là: 2 ) ) ( 5;3;9 Ox ⇒ H ( Vậy phương trình mặt cầu là: x − Lựa chọn đáp án C 58 ) 2 2 2 ) 5;0;0 ⇒ R = IH = 90 + ( y − 3) + ( z − ) = 90 ( ) Câu 65 Phương trình mặt cầu có tâm I − 6; − 3; − tiếp xúc trục Oz là: ( ) + ( y + 3) + (z − C ( x + ) + ( y + ) + ( z − A x + 2 2 Hướng dẫn giải: ) − 1) 2 ( ( ) + ( y + ) + ( z − − 1) = D ( x + ) + ( y + ) + ( z − + 1) = B x + +1 = = 2 ( ) 2 ) Gọi H hình chiếu I − 6; − 3; − Oz ⇒ H 0;0; − ⇒ R = IH = ( Vậy phương trình mặt cầu là: x + ) + ( y + 3) + (z − ) 2 +1 = Lựa chọn đáp án A Câu 66 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 4;6; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 26 B ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 C ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 34 D ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 104 2 2 2 2 2 2 Trang 43/51 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 4;6; −1) Ox ⇒ H ( 4;0;0 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) 37  AB  ⇒ R = IH +   = 37 + 37 = 74   2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 Lựa chọn đáp án B Câu 67 Phương trình mặt cầu có tâm I ( ) 3; − 3;0 cắt trục Oz hai điểm A, B cho tam giác IAB là: ) + ( y + 3) + z = ( D ( x − ) + ( y + ) + z = 8 ( ) + ( y − 3) + z = C ( x + ) + ( y − ) + z = A x + 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ⇒ IH= R 2 B x − 2 2 ( 2 2 ) 3; − 3;0 Oz ⇒ H ( 0;0;0 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) IH ⇒ R= = 2 ( Vậy phương trình mặt cầu : x − ) + ( y + 3) 2 + z2 = Lựa chọn đáp án D Câu 68 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 3;6; −4 ) cắt trục Oz hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB là: A ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 B ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 45 C ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 36 D ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 3;6; −4 ) Oz ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) 45 2 S ∆AIB IH AB  AB  S ∆AIB= ⇒ AB= = ⇒ R = IH +   = 49 IH   Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 2 Lựa chọn đáp án A Câu 69 Mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S): A ( 2;1;1) B ( 2;1;0 ) C ( 2;0;0 ) D (1;0;0 ) Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 2;1; −1) Ox ⇒ H ( 2;0;0 ) ⇒= IH d ( I , Ox = ) 2  AB  ⇒ R = IH +   =   Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 ⇒ ( 2;1;1) ∈ ( S ) Lựa chọn đáp án A Trang 44/51 Câu 70 Gọi (S) mặt cầu có tâm I (1; −3;0 ) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB Điểm sau không thuộc mặt cầu (S): ( ) ( A −1; −3; ) ( B 3; −3; 2 ) D ( 2; −1;1) C 3; −3; −2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1; −3;0 ) Ox ⇒ H (1;0;0 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) ⇒ IH= R IH ⇒ R= = 3 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 3) + z = 12 ⇒ ( 2; −1;1) ∉ ( S ) 2 Lựa chọn đáp án D x − y −1 z −1 Phương trình mặt cầu ( S ) Câu 71 Cho điểm I ( −1;0;0 ) đường thẳng d : = = có tâm I tiếp xúc d là: A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = 10 D ( x − 1) + y + z = 10 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua I ( 2;1;1) có vectơ phương :   u , MI     = u = (1; 2;1) ⇒ d ( I ; d ) =  u Phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A x −1 y − z Câu 72 Cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu có tâm I cắt −1 đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2018 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2016 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2019 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1;7;5 ) d ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒ IH = d ( I ; d= ) S ∆AIB IH AB S ∆AIB= ⇒ AB= = IH  AB  8020 ⇒ R = IH +   = 2017   2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 2 Lựa chọn đáp án B Câu 73 Cho điểm A (1;3;1) B ( 3; 2; ) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oz có đường kính là: A 14 B 14 C 10 Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0;0; t ) Oz IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0;0;3) D ⇒ R = IA = 14 ⇒ đường kính là: 14 Lựa chọn đáp án B Trang 45/51 Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2;1) B ( 0;1;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục hoành có đường kính là: A B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( t ;0;0 ) Ox Vì IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 2;0;0 ) D 12 ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A Câu 75 Cho điểm A ( 2;1; −1) B (1;0;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A 2 B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0; t ;0 ) Oy IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0; 2;0 ) D ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A x −1 y − z − Câu 76 Cho điểm A ( 0;1;3) B ( 2; 2;1) đường thẳng d : = = Mặt cầu qua −1 −2 hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm là:  13 17 12  3  4 7  13  B  ; ;  C  ; ;  D  ; ;  A  ; ;   10 10  2  3 3 5 5  Hướng dẫn giải:  13 17 12  ⇒ I  ; ;  Gọi I (1 + t ; − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒ t = 10  10 10  Lựa chọn đáp án A x y −3 z Câu 77 Cho điểm A (1;3;0 ) B ( 2;1;1) đường thẳng d= Mặt cầu S qua hai : = 1 điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm S là: A ( 4;5; ) B ( 6;6;3) C ( 8;7; ) D ( −4;1; −2 ) Hướng dẫn giải: Gọi I ( 2t ;3 + t ; t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 8;7; ) Lựa chọn đáp án C x y −2 z −3 Mặt cầu S Câu 78 Cho điểm A (1;1;3) B ( 2; 2;0 ) đường thẳng d= : = −1 qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm S là:  −11 23  ; ;  A   6 6 Hướng dẫn giải:  23  B  ; ;  6 6  Gọi I ( t ; − t ;3 + t ) d IA = IB ⇒ t =−  25  C  ; ;  6 6   19  D  ; ;  6 6  11  −11 23  ⇒I ; ;   6 6 Lựa chọn đáp án A Trang 46/51 x = t  Câu 79 Cho đường thẳng d :  y =−1 + 3t Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng z =  góc chung đường thẳng d trục Ox là: 2 A ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 2 1 1   D  x −  + y +  z −  = 3 2   C ( x − 1) + y + z = Hướng dẫn giải: 2 B ( x + 1) + y + ( z + ) =    Gọi A ( t ; −1 + 3t ;1) ∈ d ; B ( t ';0;0 ) ∈ Ox ⇒ AB = ( t '− t ;1 − 3t ;= −1) , ud (1;3;0 = ), i   2  AB.ud =  1 1 1  Ta có:    R = ⇒  x −  + y +  z −  = ⇒t = t'=  3 2   AB.i = (1;0;0 ) Lựa chọn đáp án C x = t'  x = 2t   Câu 80 Cho hai đường thẳng d :  y = t d ' :  y= − t ' Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn z = z =   thẳng vuông góc chung đường thẳng d d’ là: A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x − ) + y + z = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y + 1) + z = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  Gọi A ( 2t ; t ; ) ∈ d ; B ( t ';3 − t ';0 ) ∈ d ' ⇒ AB =    AB.ud = t = ⇒ A ( 2;1; ) Ta có:    ⇒  AB.ud ' = t '= ⇒ B ( 2;1;0 )  ( t '− 2t;3 − t '− t; −4 ) , u= ( 2;1;0 ) , d  ud=' (1; −1;0 ) ⇒ I ( 2;1; ) R =2 ⇒ ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) =4 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y + z − Câu 81 Cho điểm A ( −2; 4;1) B ( 2;0;3) đường thẳng d : = = Gọi ( S ) −1 −2 mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng: 1169 Hướng dẫn giải: A B 873 C Gọi I (1 + 2t ; −2 − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒= t Lựa chọn đáp án A 1169 16 −11 ⇒ IA = D 967 1169  x = + 2t  Câu 82 Cho điểm A ( 2; 4; −1) B ( 0; −2;1) đường thẳng d :  y= − t Gọi ( S ) mặt cầu z = 1+ t  qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu ( S ) bằng: A 19 Hướng dẫn giải: B 17 C 19 D 17 Trang 47/51 Gọi I (1 + 2t ; − t ;1 + t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ R = IA = 19 đường kính 19 Lựa chọn đáp án A Câu 83 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = ⇔ R = d ( I ; ( Oxy ) ) ⇔R= = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 2 Lựa chọn đáp án B Câu 84 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y = ⇔ R = d ( I ; ( Oxz ) ) ⇔R= = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 2 Lựa chọn đáp án A Câu 85 Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) sau tiếp xúc với trục Ox: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Ox ) ⇔ R= yI2 + z I2 = 52 52 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án C Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 86 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải : Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Oz ) ⇔ R= xI2 + yI2 = 20 20 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 87 Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương trình mặt cầu sau 2 phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): Trang 48/51 A ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = C ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ') đối xứng với ( S ) qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' ( S ') đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R=' R= Ta có : I ' (1; 2; −3) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 Lựa chọn đáp án D  Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II ′ thuộc mặt phẳng ( Oxy ) II ′ ⊥ ( Oxy ) Cả đáp án dễ dàng tìm tọa độ I ′ nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian việc tìm đáp án Câu 88 Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − ) 2 = Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz: A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I ( −1;1; ) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ') đối xứng với ( S ) qua trục Oz nên tâm I' ( S ') đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R=' R= Ta có : I ' (1; −1; ) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh khơng nhớ tính chất đối xứng, tọa độ điểm đối xứng qua trục tọa độ Câu 89 Đường tròn giao tuyến ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 cắt mặt phẳng (Oxy) 2 có chu vi : A 7π Hướng dẫn giải: B 7π C 7π D 14π Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Ta có : d ( I ; ( Oxy= ) ) z= I Gọi r bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt cầu ( S ) mặt phẳng (Oxy), ta suy : r= R −  d ( I ; ( Oxy ) )  = Vậy chu vi (C) : 7π Lựa chọn đáp án B Lưu ý: Để hiểu làm nhanh học sinh nên vẽ minh họa hình học từ rút cơng thức tổng qt xác định bán kính đường tròn giao tuyến hướng dẫn giải Trang 49/51 ... Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1; −1;1 ) va có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là: A ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 B ( S ) : (