CD49 MAX MIN MODULE số PHỨC

Chuyên đề ㊾ Ⓐ CỰC TRỊ SỐ PHỨC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ➊ Phương pháp đại số: Bất đẳng thức tam giác:  z1  z2  z1  z2 ,  z1  z  z1  z2 , dấu "=" dấu "="  z1  kz2 với k ≥  z1  kz2 với k ≤ Đẳng thức hình bình hành: Bất đẳng thức khác: A B  BĐT Cauchy:  2 z1  z2  z1  z2  z1  z2  A  B   Dấu = xảy A  B a x   Ax  By    A  B   x  y  Dấu = xảy b y  BĐT Bunhiacôpxki:  BĐT Mincôpxki: 2 2  a  b   x  y  a2  x2  b2  y  a x  b y Dấu = xảy ❷ Phương pháp hình học: M1, M2  Nếu điểm biểu diễn hai số phức  Nếu số phức z z  a  bi  R  thỏa mãn z1, z2 z1  z2  M1M2 tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tâm I (a; b), bán kính R  Khi z  OI  R  z0  R   Nếu số phức z thỏa mãn đường trung trực  Khi đó,  Nếu số phức z max z  OI  R  z0  R  a  b  R z  a  bi  z  c  di tập hợp điểm biểu diễn z AB, với A(a; b), B(c; d ) z  d (O,  )   a2  b2  R a  b2  c  d 2 (a  c )  (b  d )2 thỏa mãn z  c  z  c  2a,(a  c  0) tập hợp điểm biểu diễn x y  2  max z  a z  b  a  c a c z elip a Khi đó, (nửa độ dài trục bé) (nửa độ dài trục lớn) ❸ Một số dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z  a  bi  z z  Cho số phức z thỏa mãn , tìm Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b   1   z Min  z0  a  b  z  a  b i  2 Cho số phức thỏa mãn điều kiện  M  x; y   Quỹ tích điểm z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d  z Min  d  O, AB   a2  b2  c2  d 2  a  c bd  Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn  Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  Quỹ tích điểm M  x; y  z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có I  a; b  biểu diễn số phức z đường trịn tâm bán kính R z  OI  R  a  b  R  z0  R  Max  2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R   Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip z  c  z  c  2a ,  a  c   Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khi ta có x2 y2  2 1 M  x; y  a c  Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip: a   z Max  a  z Min  a  c    z  z1  z  z2  2a  (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Thỏa mãn Khi đề 2a  z1  z2 cho dạng z1 , z  c, ci z0   Nếu Elip khơng ) Tìm Max, Min P  z  z0 z1  z2 0  tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a    z1  z2  2c  2 b  a  c Đặt   PMax  a   PMin  b (dạng tắc)  Nếu  z1  z2 a  z0   z  z  k  z  z    z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min   Nếu  Nếu  z1  z2 a  z0   z  z  k  z  z   PMax  z0  z1  z2 a PMin  z0  z1  z2 b  z0  z1  z0  z2  Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN z 1 i  Câu 1: Với số phức z thỏa mãn , ta ln có A C z 1  B 2z 1 i  D 2z 1  i  z i  Lời giải Chọn B Ta có Vì z  z 1 i  1 i  z 1 i  1 i  2 2z 1 i  z 1 i  z  z 1 i  z  z Câu 2: Cho số phức A m 1 ,  m  Z  m  2i  1 Tìm giá trị m để | z  i | B C D vô số Lời giải Chọn A z m     m  i  2m m 1 3m     m  i  z i    m  2i  1  m  mi    m  2mi | z  i |  Ta có: 3m     m  i   m   2mi 1   3m  1    m     m    2m  2 1    m   1;    m  1  5m  1    Vậy không tồn m  Z thỏa mãn điều kiện đề 2 Câu 3: Gọi z1 z2 , môđun số phức A w 6 z 2i  hai số phức thỏa mãn w  z1  z2   2i B w 5 z1  z2  Tính C w 4 D w 4 Lời giải Chọn D z Gọi A điểm biểu diễn số phức , B điểm biểu diễn số phức z2 Theo giả thiết z1 , z2 hai số phức thỏa mãn thuộc đường tròn tâm Mặt khác I  2; 1 z1  z2   AB  z 2i  nên A B bán kính r  z1  z2 Gọi C trung điểm AB suy C điểm biểu diễn số phức IC  32  12  2 Ta có Câu 4: Giả sử w  z1  z2   2i  z1 , z2 z1  z2  hai nghiệm phức phương trình Tính A M  19 z1  z2   i  IC  2   i z z    2i  z   3i M  z1  z2 B M  25 C M  Lời giải Chọn D D M  19 Từ giả thiết, ta có  z  1   z   i z   z  z  10   z  Gọi z1  x1  y1i Mặt khác, Khi (vì z2  x2  y2i z1  z2  nên M  z1  3z2  z 0 Ta có  x1  x2   x1  3x2  2 2   10   z  1   z    z  10 ) z1  z2    y1  y2   2 2 nên x1  y1  x2  y2    y1  y2  Suy x1 x2  y1 y2  2   x12  y12    y12  y22   12  x1 x2  y1 y2  Vậy M  19 1 m  i M Câu 5: Gọi giá trị lớn với m số thực Mệnh đề sau đúng? 3 9 M  ;   5 A  3 M   0;   5 B 3 2 M  ;  5 3 C 2 3 M  ;   2 D Lời giải Chọn A +) Đặt A 1 m  i 1  , mi mi  A    A m  i   m  i  A m   (1  m)   A2  m  1  (1  m)2    A2  1 m2  2m  A2   (*) +) Ta tìm A để phương trình (*) ẩn m có nghiệm 2m    m   TH1: Nếu A  PT (*) trở thành phương trình có nghiệm    A2  A  TH2: Nếu A  PT (*) phương trình bậc ẩn m có PT (*) có nghiệm  3 3 3 3   A 2      A  3A 1   A   2 2 A    Từ TH suy   3 3 3  A M 2 PT (*) có nghiệm Suy z Câu 6: Cho số phức z  a  bi với a, b hai số thực thỏa mãn a  2b  Tính biểu z   4i  z   5i thức A đạt giá trị nhỏ B C D Lời giải Chọn C Gọi Để M  a, b  điểm biểu diễn số phức z Theo đề có M   : x  y   z   4i  z   5i đạt giá trị nhỏ MA  MB đạt giá trị nhỏ B  2;5 Vì A, B nằm khác phía với  nên MA  MB đạt giá trị nhỏ M , A, B thẳng hàng với A  1; 4  Ta có phương trình đường thẳng AB : 3x  y   x  x  y      3 x  y  y    Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: Vậy z  i z  5 z  x  yi,  x, y  ¡ Câu 7: Xét số phức nhỏ Tìm P  x  y A  thỏa mãn B C z   4i  z  2i z đạt giá trị D Lời giải Chọn A Ta có: z   4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4) i  x   y   i  ( x  2)  ( y  4)  x  ( y  2)  x  y   Vậy tập hợp điểm đường thẳng z M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi,  x, y  ¡   d : x  y   = OH = OH với H hình chiếu điểm O lên  d Vì OH  d : x  y   nên OH : x  y  m  Do O  0,   OH  m   OH : x  y  x  y  x    H   d   OH y  Tọa độ điểm thỏa mãn hệ  x  y  P  3x  y  Câu 8: Nếu z số phức thỏa A B z  z  2i giá trị nhỏ z i  z 4 D C Lời giải Chọn D z  z  2i  y  1  d  Đặt z  x  yi với x , y  ¡ theo giả thiết  d Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng A  0;1 B  4;  z i  z 4  P M  x;  1 Gọi , suy tổng khoảng cách từ điểm đến hai điểm A , B A  0;1 B  4;   d  Lấy điểm đối xứng với Thấy nằm phía với A  0;1  d  ta điểm A  0;  3 qua đường thẳng 2 Do khoảng cách ngắn AB    Câu 9: Trong số phức thỏa mãn: có phần ảo z   i  z   2i , số phức z có mơđun nhỏ A 10 B C  D  10 Lời giải Chọn D + Gọi số phức cần tìm z  a  bi, (a, b  ¡ )  z  a  bi +  z   i  z   2i  a  bi   i  a  bi   2i  a    b  1 i  a    b   i  a  1   b  1   a  1 2   b    4a  2b    b   4a  3  2 a  2 3 9    z  a  b  a   2a    5a  6a   a  a   25 20     + 3 9   5 a       20 20 10  z 3 a b 10 nhỏ 10 z   3i  iw   2i  Cho số phức z , w thỏa mãn , Tìm giá trị lớn Câu 10: biểu thức A 554  T  3iz  2w B 578  13 C 578  D 554  13 Lời giải Chọn D z   3i   3iz  15i   đường trịn có tâm iw   2i   2w  8i   T  3iz  2w Câu 11: đường tròn có tâm I  9;15  R  J  4; 8  R   đạt giá trị lớn T  IJ  R  R   554  13 z   2i  2 z   5i Xét số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ A C B Lời giải Chọn B D I 3;  Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm  , bán kính R    P  z   5i  P   x     y  5 2 2 5  P    x  3   y      2    5  P J  3;   r  , bán kính  2 Suy M thuộc đường tròn tâm  P IJ  R  r     P  2 Từ     , ta z   4i  10 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M m giá trị lớn Câu 12: giá trị nhỏ A z Khi M  m B 15 C 10 D 20 Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi 3   z   2i    x     y    25 z   4i  10 2  Ta có: 3  I  ; 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề đường trịn tâm   , bán kính R  m  IO  R  Khi đó:  M  IO  R  M  m  R  10 Câu 13: Cho số phức 2 z  z1  z  z2  16 z z1  2  i , z2   i số phức z thay đổi thỏa mãn Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2 Giá trị biểu thức M  m A 15 B D C 11 Lời giải Chọn D z  x  yi  x, y  ¡  Giả sử z  z1  z  z2  16  x  yi   i  x  yi   i  16  x   y  1  Ta có: 2 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  Do m  , M  2 Vậy M  m  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn thức P  z   i  z   3i A B   i  z   3i 3 Giá trị lớn biểu  15   C D 10  15 Lời giải Chọn C Ta có   i  z   3i   z   2i  nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  Đặt a  z   2i, b   i   z   i  a  3b  a  b  a.b  a.b   2 2  z   3i  a  b  a  b  a.b  a.b Ta có  2   2  z   i  z   3i  a  3b  a  b  a  12 b  60 Khi Câu 15: P  a  3b  a  b      a  3b 3 a b  6 z   4i  Cho số phức z thoả mãn Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức phức w  M  mi A w  1258 B w  1258 P  z   z i C 10 w  314 Tính mơđun số D w  309 Lời giải Chọn B Giả sử z  a  bi ( a, b  ¡ ) z   4i    a  3   b    2 (1) 2 2 P  z   z  i   a    b  a   b  1   4a  2b    (2) Từ (1) (2) ta có 20a   64  P  a  P  22 P  137  (*) Phương trình (*) có nghiệm   4 P  184 P  1716   13  P  33  w  1258 Câu 16: Cho hai số phức z1 , z2 z1   i  thỏa mãn z2  iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1  z2 A m  2  B m   C m  2 D m  Lời giải Chọn A Gọi z1  x  yi x y  ¡ z   y  xi ( , ), theo giả thiết đề ta có z1   i    x  1   y  1  Khi Vì tồn t  ¡ để x  1  2sin t y   cos t 2 z1  z2   x  y    y  x    x  y  Do 2    12  sin t    6   sin t  cos t      12  Do m  12   2  z2  z2 5 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính M  m Câu 17: A B C Lời giải Chọn D 11 D N x; y  Giả sử z  x  iy, x, y  ¡ , ta có điểm biểu diễn số phức  Đặt F1  2;0  ; F2  2;0  ta có F1F2   2c  c   NF  NF   a  a  z2  z2 5 Mặt khác Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z2  z2 5 Elip 25 x2 y b  a2  c2  4  a  1 F  2; F 2;0  ;   2, a b , với tiêu điểm  M  a  ;m  b  2 Từ M  m  Suy Câu 18: z   3i  z   i  Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ m z   2i A m  B m  D m  39 C m  Lời giải Chọn D Giả sử AB  M  x; y  A  1; 3 B  2;1 biểu diễn số phức z  x  iy ( x , y  ¡ ), , , z   3i  z   i   AM  BM  , tập hợp điểm M Elip có phương trình 2 x 4y  P  z  i  1 P  z   2i 16 39 Đặt , gọi I trung điểm AB   I   ; 1    P2 z  i  IM  IM  E  cho IM có độ dài nhỏ Ta tìm điểm M IM nhỏ IM độ dài nửa trục bé, 12 IM  39  Pmin  39 z2  z2 5 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn Câu 19: nhất, giá trị nhỏ A M m 17 z Tính M  m B M  m  C M  m  D M  m  Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  Mà F1  2;0  , MF1  MF2   Ta có 2b  , F1  2;0  M biểu diễn cho số phức z , 2 , chạy Elip có trục lớn 2a  , trục nhỏ 25 4 3 z  OM Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z M m 2; Suy M  m  Câu 20:  a, b  ¡  thỏa z   z   10 z  lớn Tính Cho số phức z  a  bi S  ab A S  3 B S  C S  5 D S  11 Lời giải Chọn C Gọi M  a; b   a, b  ¡  , A  4;  , B  4;  , điểm biểu diễn số phức z  a  bi C  6;0  z  4 z2  z3  điểm biểu diễn số phức , , z   z   10  MA  MB  10  E  nhận Khi ta có suy tập hợp điểm M A , B tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a  10  a  , tiêu cự 2c   c  , b3 x2 y2   E  25   : 13 Ta tìm giá trị lớn z   MC MCmax  EF  FC  11 , , M  E với E  5;0  , F  5;0   z  5 Vậy S  a  b  5 Câu 21: zz 2 zz 2 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ A  10 B T  z  2i  10 Tổng M  n C D Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , x, y  ¡  x   x    yi   y  Ta có  M  x; y  Gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Khi tập hợp điểm M hình vng ABCD (hình vẽ) N  0; 2  T  z  2i  MN biểu diễn số phức, MN  d  M , AB   Dựa vào hình vẽ ta có nên m  T  , MN  NC  10 nên Điểm M  max T  10 , M  m   10 Câu 22: Cho hai số phức 2 z  w  w 1 i  4 A z w thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10  20 20 B C 1   T  z2 2w  w  10  5 D Lời giải Chọn B O 0;0  Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm  , bán kính R  14 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng có phương trình 2x  y    T  z 2w  w   z 2w  w   2w  w   x2  y2  4 10    2a  2b      a  9b2   a  9b2  9 20  Ta có: T  10  20 20 - HẾT - 15 ... Cho số phức z thỏa mãn , tìm Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b   1   z Min  z0  a  b  z  a  b i  2 Cho số phức. .. diễn số phức Elip z  c  z  c  2a ,  a  c   Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khi ta có x2 y2  2 1 M  x; y  a c  Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip: a   z Max  a  z Min ... , môđun số phức A w 6 z 2i  hai số phức thỏa mãn w  z1  z2   2i B w 5 z1  z2  Tính C w 4 D w 4 Lời giải Chọn D z Gọi A điểm biểu diễn số phức , B điểm biểu diễn số phức z2