CD45 PT mặt PHẲNG

Chuyên đề  Ⓐ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Ghi nhớ ➊  Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa:  Phương trình có dạng khơng đồng thời gọi phương trình tổng quát mặt phẳng  Chú ý  Nếu mặt phẳng có phương trình tổng qt có vectơ pháp tuyến  Phương trình mặt phẳng qua điểm nhận vectơ khác làm vectơ pháp tuyến  Ghi nhớ ➋  Hai vectơ không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm  Chú ý: Nếu vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến Nếu cặp vectơ phương vectơ pháp tuyến Ⓑ Câu 1: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm mặt phẳng trung trực đoạn AB A x  y   B  x  y   A  1; 0; 1 C x  y   Lời giải Chọn A   I   ; ; 1 Gọi  2  trung điểm AB uuu r AB   1; 1;  Ta có: , B  2; 1; 1 Phương trình D x  y     uuu r I   ; ; 1 AB   1; 1;  2  nhận Ta thấy mặt phẳng trung trực đoạn AB qua  làm vectơ pháp tuyến Nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  y   x  1   y    z  12 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua tâm mặt cầu  song Câu 2: song với mặt phẳng  Oxz  có phương trình là: A y   B y   C y   D x  z   Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I  1;  2;  Mặt phẳng song song mặt phẳng  Oxz  nên có dạng y  D  , qua I  1;  2;  nên D  Vậy mặt phẳng cần tìm y   Câu 3:  P  qua hai điểm A  1; 2;  , B  2; 3; 1 song song Trong không gian Oxyz, mặt phẳng với trục Oz có phương trình A x  y   B x  y   C x  z   D x  y   Lời giải Chọn A  P  // Oz   P  : ax  by  d  a  2b  d  a  2b  d    A, B   P  2a  3b  d  a  b  Chọn b  1 ta suy a  , d   P : x  y 1  Vậy Cách Thay tọa độ điểm A , B vào phương án cho Chỉ có phương án A thỏa mãn Câu 4:   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ? A 4; 0;1 A 3x  y  z   B x  y  z   C 3x  y  z   D 3x  y  z  B 2; 2; 3 Phương trình Lời giải Chọn D  Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB    qua I  1;1;  nhận uuu r AB   6; 2;  làm VTPT     : 6  x  1   y  1   z        : 3x  y  z  Câu 5: M  1;  1;5  N  0;0;1   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Mặt phẳng chứa M , N song song với trục Oy có phương trình A    :2 x  z   B    :4 x  z   C    : x  4z   D    : x  z 1  Lời giải Chọn B uuuu r r r MN   1;1; 4  k   0;1;  Ta có véc tơ đơn vị trục Oy Gọi n véctơ pháp tuyến r uuuu r n  MN r r   nk   M , N Oy Mặt phẳng chứa song song với trục nên  , chọn r uuuu r r n   MN , k    4;0; 1   Mặt phẳng trình là: Câu 6: qua M  1;  1;5  nhận  x  1   y  1  1 z     x  z   Điểm sau thuộc hai mặt phẳng A M  1;1;  B Chọn D Vì điểm thuộc mặt phẳng N  0; 2;1 Câu 7: véc tơ pháp tuyến nên có phương  Oxy  mặt phẳng  P  : x  y  z   ? P  0;0;3 C Lời giải  Oxy  nên cao độ điểm  P  nên có điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n   4;0; 1 D Q  2;1;  suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt  P  P  : x  y  z   qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C  2;0;0  B B  0;1;1 C D  0;1;0  Lời giải Chọn D Xét đáp án A ta có      1   L  Xét đáp án B ta có      1   L  D A  1;1;1 Xét đáp án C ta có      2   L  Xét đáp án D ta có       (Đúng) Câu 8: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C  0;0;3 B  : A  1;0;0  x y z   1 không qua điểm sau đây? C B  0;2;0  D O  0;0;0  Lời giải Chọn D Dễ thấy điểm Câu 9: O  thay tọa độ điểm O 0    1 ta có  vào Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :  y  z   Hỏi mặt phẳng có đặc biệt? A  P qua gốc tọa độ C  P vuông góc với  Oyz  B  P vng góc với  Oxy  D  P vng góc với  Oyz  Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng trục Ox Mặt khác: O   P   P Vậy mặt phẳng  P  P r rr n   0; 1;5   n.i    P song song chứa song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng  Oyz  Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  y  mz    Q  : x  ny  z   song song với Giá trị m n A B C D Lời giải Chọn B  P   Q  song song với Để hai mặt phẳng m 2    n n  m  x y z  P  có phương trình a  b  c   , Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng abc  , xét điểm M  a; b; c  Mệnh đề sau đúng?  P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng  P  qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M mặt phẳng  Oxz  Lời giải Chọn D  P  ta   nên M   P  + Thay M vào phương trình mặt phẳng a b c I ; ;  P   ta   nên I   P  + Trung điểm OM điểm  2  thay vào M  a;0;0  + Hình chiếu M lên trục Ox điểm thay vào M1   P   P  ta   nên  Oxz  điểm M  a;0; c  thuộc  P  + Hình chiếu M lên mặt phẳng  P  : x   m  1 y  z  m  Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q  :2 x  y   , với m tham số thực Để  P   Q  vuông góc với giá trị thực A m  5 B m  m bao nhiêu? C m  Lời giải Chọn B  P Mặt phẳng  Q Mặt phẳng  P Để  Q có véc tơ pháp tuyến ur n1   1; m  1;   có véc tơ pháp tuyến uu r n2   2;  1;  vng góc với ta có  1.2   m  1  1   2    1 m   m  ur uu r ur uu r n1  n2  n1.n2  D m  1 C  2; 0;  A  0; 1;   B  3; 1; 1 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Mặt phẳng  ABC  A qua điểm ? N  2; 1;  B Q  2; 1;  C M  2;  1;  D M  2;  1;  Lời giải Chọn A uuu r uuur uuu r uuur AB   3; 0; 3 AC   2;  1;  AB  AC   3;  21;   Ta có , r uuur r uuu n  AB  ABC  qua điểm B  3; 1; 1 , có vecto pháp tuyến  AC   1;  7;  1 Mặt phẳng nên có phương trình là: x  y  z   N  2; 1;    ABC  Vì  7.1    nên Câu 14: Cho mặt cầu  S1  có tâm I1  3; 2;  I  1;0;1 S  bán kính R1  , mặt cầu có tâm bán kính R2  Phương trình mặt phẳng  P  đồng thời tiếp xúc với  S1   S2  cắt đoạn I1I có dạng x  by  cz  d  Tính T  b  c  d B 1 A 5 C 3 D Lời giải Chọn C uuur I I   2; 2; 1  I1 I   R1  R2 S S Ta có nên hai mặt cầu     tiếp xúc với uuur uuuu r MI   MI MI  R  2; MI  R   1   I I 1 2 M nằm đoạn thoả mãn uuur uuuu r MI1    x;  y;  z  MI    x;  y;1  z  M  x; y; z  Gọi Ta có  x    3  x  2  x   y    2  y  y 5 4  z M ; ;     1 ta có hệ 2  z  2  z  3 3 Từ Mặt phẳng  P cần tìm tiếp xúc với  S1   S2  đồng thời cắt đoạn I1 I N  I1 N  I N  I1I mà NI1  R1  2; NI  R2  nên N  M Khi ấy, I1I   P  nên  P  nhận uuur I1 I   2; 2; 1 5 4 M ; ;   P  qua  3  Vậy  P  có làm vectơ pháp tuyến 5  2  4  2  x    y   z    2 x  y  z   3  3  3  phương trình:  x  y  z    b  2; c  1; d  6  T  b  c  d  3  S  : x  y  z  x  y  z  Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A  2; 2;0  Viết phương trình mặt phẳng có hồnh độ dương tam giác OAB A x  y  z  B x  y  z   OAB  , biết điểm B C x  y  z  thuộc mặt cầu  S , D x  y  z  Lời giải Chọn A B  S  , với x  Ta có (1)  S Ta thấy O A nằm mặt cầu    mặt phẳng trung trực đoạn OA Suy    : x  y   Gọi B  Do OAB tam giác nên (2) 2 Mà OA  OB  x  y  z  (3) Gọi điểm B  x; y; z  Từ (1), (2) (3) ta có hệ 8   x  y   z   x2  y  z  2x  y  z     x  y  x  y    x2  y  z   x2  y  z    z  z     x  y   x   x2  y   y   B 2; 0;   (do x  )   uuu r uuu r OA, OB    1; 1; 1  Suy  r n   1; 1; 1 OAB   Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên có phương trình x  y  z   S  :  x     y  3   z    điểm A  1; 2;3 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Xét điểm M thuộc mặt cầu phẳng có phương trình  S  cho đường thẳng AM A x  y  z  15  B x  y  z  15  2 tiếp xúc với  S  , M thuộc mặt C x  y  z   D x  y  z   Lời giải Chọn D  S  có tâm I  2;3;  ; bán kính R  uur A  1; 2;3  IA   1; 1; 1 , tính IA  Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận làm vectơ pháp tuyến uur IA   1; 1; 1 IM 2 IM  IH IA  IH   IA , từ Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính uuur uur  10  H ; ;  IH  IA tính tìm  3  4    10     x    y   z    x  y  z   3       Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: Câu 17: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu M  2; 0;0  , N  0;1;  tâm I  1; 2;3 bán kính R  hai điểm    : x  by  cz  d  mặt phẳng qua MN cắt tuyến đường trịn có bán kính r lớn Tính T  b  c  d A 1  S B C  S theo giao D Lời giải Chọn A + Nhận xét: uuur uur IM  1; 2; 3 ; IN  1; 1; 3 nên điểm I,M,N không thẳng hàng Mặt phẳng qua MN cắt  S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn mặt phẳng qua tâm I    : x  by  cz  d  ta có hệ + Thế tọa độ điểm M , N , I vào phương trình phương trình 2  d  d  2    b  b  d  1  2b  3c  d  c  1    T  b  c  d  1 Câu 18: Trong không Oxyz , gian cho hai A(1; 2; 4), B(0;0;1) điểm mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  1)  z  Mặt phẳng ( P) : ax  by  cz   qua A, B cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T  a  b  c A T 2 27 B T 31 C T  D T 33 Lời giải Chọn C  Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;0) bán kính R  x  t uuu r  BA  (1; 2;3)  AB :  y  2t (t  ¡ )  z   3t   Đường thẳng AB qua điểm B , có VTCP uur IB  (1;1;1)  IB   ¡  ( P) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) (C ) có bán kính nhỏ  d ( I , ( P )) lớn Gọi H , K hình chiếu vng góc I lên ( P ) AB , ta có: d ( I , ( P ))  IH  IK Do d ( I , ( P )) lớn  H  K hay mặt phẳng ( P ) vng góc với IK uur K : K  AB  K ( t ;2 t ;1  t )  IK  (t  1; 2t  1;1  3t ) Tìm uur uuur uur   IK  AB  IK AB   t    IK  ;  ;   (6; 9; 4) 7 7 Ta có r n ( P ) B (0;0;1) Mặt phẳng qua , có VTPT  (6; 9; 4) 27  ( P) : x  y  z     x  y  3z   T  4 Vậy Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu :  S  :  x  1   y     z  3  2 đường thẳng x6 y 2 z 2   3 2 Phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M  4;3;  , song song với  S  là: đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu A x  y  z  10  B x  y  z  19  C x  y  z   D x  y  z  18  Lời giải Chọn B Mặt cầu  S có tâm I  1; 2;3 bán kính R  r n   a; b; c  , a  b  c  r  P  qua điểm M  4;3;  có VTPT n   a; b; c  nên có phương trình Mặt phẳng  P Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng a  x    b  y  3  c  z    Do  P / / nên  P 3a  2b  2c   3a   b  c   S  nên tiếp xúc với 3a  b  c d  I, P   R  3   a  b  c    3a  b  c  a  b2  c 3a   b  c   * ta được: Thay vào  b c 2 2 2   b  c   9b  9c   b  c   2b  5bc  2c    b  2c Mặt phẳng  * c , chọn c   b   a   Phương trình x  y  z  19  (thỏa)  TH1:  TH2: b  2c , chọn c   b   a   Phương trình x  y  z  18  (loại b    P Câu 20: Cho đường thẳng : x 1 y 1 z    1 hai điểm A(1;1;0), B(1;0;1) Biết điểm M (a; b; c) thuộc  cho biểu thức T  MA  MB đạt giá trị lớn Khi tổng a  b  c bằng: B  33 A C 8 33 D Lời giải Chọn D r u C(  1;1;  2),  qua có vectơ phương  (1; 1; 2) uuur uuur AB  (2;  1;1); AC  (2;0;  2) uuu r r uuur  AB; u  AC    nên AB;  khơng đồng phẳng Vì điểm M thuộc  nên ta có M (1  t ;1  t ;   2t ), t  R Lúc P  MA  MB    t  2  t   2t     t    t  1   2t  3 6t  12t   6t  14t  10 P  t  1  2   11  t     6 r   r  11  r r r r u   t  1;  , v   t  ;   | u |  | v |  u v     Ta có Đặt 2 11  1  P         6   Tức 10 8 33 hai mặt cầu  S1  ;  S2  Đặt M , m giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng  P  Giá trị M  m cách từ O đến A B D 15 C Lời giải Chọn C  P  để đạt min, max  P  vng góc với  OIJ  Mặt phẳng uuur  2;1;1  uuur nOIJ      4; 8;0    1; 2;0  n   2a; a; b  2;1;5       Ta có nên  P  P : ax  ay  bz  c    Gọi mặt Ta có  | 5a  b  c | 4   d  I ;  P     5a  b    d  J ;  P     | 5a  5b  c |   5a  b 5a  b  c  10a  10b  2c  c  5a  9b  5a  b  c  10a  10b  2c  c   15a  11b   | 8b | c  5a  9b    80a  16b  64b2  80a  48b  5a  3b 2 5a  b TH1: 2 3b  5a , ta chọn b  5; a  15; b  5; a   15  P1  : 15  x    15  y  1   z     P2  : 2 15  x    15  y  1   z    d  O;  P1    | 5 15  45 | 45  15  10 10 d  O;  P2    | 15  45 | 45  15  10 10 Suy M  m  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A  1; 0;   P , B  1; 2;  với mặt cầu Gọi  S  P  S  :  x  1   y     z    16 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết diện có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c A điểm B 3 C Lời giải Chọn B 18 D 2 dạng I  1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R  Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S   r    R  IH  Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH  IK suy  P  qua A, B vng góc với IK uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3  Oxyz  , cho hai điểm A  0;8;  , B  9; 7; 23 Câu 36: Trong khơng gian trình  S  :  x  5   y  3   z    72 tiếp xúc với mặt cầu b  c  d A b  c  d   S Mặt phẳng mặt cầu  P  : x  by  cz  d   S có phương qua điểm A  P  lớn Giá trị cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng B b  c  d  C b  c  d  Lời giải D b  c  d  Chọn C A   P   P  : x  by  cz   8b  2c   Vì nên ta 8b  2c  d   d  8b  2c  11b  5c  6 2 P S d  I; P   R    b  c Do tiếp xúc với mặt cầu nên  7b  23c  8b  2c   11b  5c     b  4c  d  B;  P      b2  c  b2  c Ta có:  11b  5c  b  4c  b  4c  d  B;  P    4  d  B;  P      b2  c  b2  c  b2  c Cosi  Svac  d  B;  P     Dấu “=” xảy    16    b2  c   d  B;  P    18  b2  c2 c  b  1 1  b     c    11b  5c   6 d    b  c Vậy Pmax  18 b  c  d  19  S  :  x  1   y     z  3  16 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A  1;0;  diện  P , B  1; 2;  với mặt cầu  S Gọi  P 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P dạng  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c B 3 A D 2 C Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm I  1; 2;3 bán kính R  Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S   r    R  IH  Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH  IK suy  P  qua A, B vng góc với IK uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3 Câu 38: Trong không gian  P  : x  y  z   Oxyz, cho đường thẳng Gọi  x  y 1 z 1   2 B 7  ax  by  z  d  Khi giá trị C Lời giải: Chọn D  VTPT mặt phẳng Do đường thẳng  d mặt phẳng  P  góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng qt a  b  d bằng: A d: uuur n     a; b;1 nằm mặt phẳng  20  1 suy a  2b   D 3  Góc tạo  1 Từ  P uuur uuur  cos n( P ) ; n( )    suy a   2b vào:   1 b   a  b  1 lớn uuur uuur cos n( P ) ; n( )  uuur uuur  cos n( P ) ; n( )  a  b 1    5b  8b   1 b  5b  8b    2b  b 15b  24b  15  đạt GTNN uuur uuur  cos n( P ) ; n( )   b  1   Suy mặt phẳng  a  b  d  3 Câu 39: Cho điểm    : x  y  z  d  Vì A  0;8;  mặt cầu  S M  2;1; 1   d   d  6 ( S ) :  x     y  3   z    72 có phương trình 2  P  qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng Viết phương trình mặt phẳng r P n   1; m; n  P cách từ B đến   lớn Giả sử vectơ pháp tuyến   Lúc điểm B  9; 7; 23 A m.n  B m.n  4 C m.n  D m.n  2 Lời giải: Chọn B ( S ) :  x     y     z    72 I  5;  3;7  có tâm , bán kính R  72  a  x    b  y    c  z     ax  by  cz  8b  2c  Mặt phẳng ( P ) qua A có dạng ( P ) tiếp xúc với ( S ) Mặt cầu  d  I; P    d  B;  P    5a  3b  7c  8b  2c a b c 2 9a  7b  23c  8b  2c a2  b2  c  5a  11b  5c a  b2  c2 4 a  b  4c 5a  11b  5c a  b2  c 6 (*) 9a  15b  21c Mà 5a  11b  5c  4(a  b  4c )   a  b2  c2  6  6 24 a  b2  c 12  (1)  42 a  b  c a  b2  c a  b2  c a b c   Dấu xảy 1 Chọn a  1; b  1; c  thỏa mãn (*) Khi ( P ) : x  y  z  Suy m  1; n  Suy ra: m.n  4  18 A  0;0;1 B  m;0;0  C  0; n;  Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm , , , D  1;1;1 với m  0, n  m  n  Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D Tính bán kính R mặt cầu đó? 21 A R  B 2 R C R D R Lời giải Chọn A I a; b; c  R  ID  d  I ,  ABC   Gọi  tâm mặt cầu Khi đó, bán kính x y z  ABC  m  n   Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng d  I ,  ABC    Khi đó, a b c   1 m n 2   1      1 ID  m n 2  1 a   1 b   1 c 2 2 2   1  1     1   1   1       1       m n  mn  mn  mn  mn  Từ m  n  suy  m   n  an  bm  cmn  mn an  bm  cmn  mn  mn d  I ,  ABC     mn      mn  mn   ) Như (vì Nếu an  bm  cmn  mn  an  bm  cmn  mn R  mn  a   m   bm  cm   m   m   m   R 1  m   m   d  I ,  ABC    R   m2   c  R   m  b  c  a   R   a  R  Vì đẳng thức  1 với  1 m   0;1 nên 1  c  R  a  R   b  c  a   R   b  R a  R  c   R   Mặt khác ID  R   1 a   1 b   1 c   R 2   1 R  R2  R  2 1 R   R 1 Tương tự, an  bm  cmn  mn  ta tìm R  1 (khơng thỏa mãn R  ) Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R  Câu 41: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D (0; a;0) , A(0; 0; b) (a  0, b  0) Gọi M trung điểm cạnh a CC  Giá trị tỉ số b để hai mặt phẳng ( ABD)  MBD  vuông góc với 22 A B C 1 D Lời giải Chọn D uuu r uuur  C  a; a;  Ta có ABCD hình bình hành nên AB  DC uuuu r uuur  C   a; a; b  Và ACC A hình bình hành nên CC   AA b  M  a; a;  2 CC  có trung điểm  uuur uuur uuur uuur  BA; BD    ab;  ab;  a   BA    a;0; b  BD   a; a;0    ABD   có vtpt  vtpt ur  a n1  1;1;   ABD  b  (vì b  )  khác uuuu r  uuuu r uuur b  ab ab   BM ; BD    BM   0; a;     ; ;a   MBD     MBD  có vtpt    vtpt khác uu r  2a  n2  1;1;   b  (vì b  )  a b 1   a  a  1 l  ur uu r ur uu r   2   MBD     b n  n  n n   b 2 Theo giả thiết ( A BD)  Câu 42: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O , bán kính R  góc đỉnh 2 Một mặt phẳng  P  vng góc với SO H cắt hình nón theo đường với trịn tâm H Gọi V thể tích khối nón đỉnh O đáy đường trịn tâm H Biết V đạt sin   giá trị lớn SH  a a  a , b  ¥ b với b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T  3a  2b ? A 12 B 23 C 21 23 D 32 Lời giải Chọn C Đặt SH  x Gọi SAB thiết diện qua trục SO M , N giao điểm SA, SB với  P  Xét SOA vng O ta có SO  OA cot   R cot   OH  SO  OH  R cot   x Xét SHM vuông H ta có HM  SH tan   x tan  1 V   HM OH   x tan   R cot   x  3 Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: x x    R cot   x   x x 3 x  R cot   x    R cot   x    2 R cot    2 27     2R 2R 32 4 x cot       VMax  R cot  3 sin  3 81 Vậy đạt Từ ta có a  5, b   T  3.5  2.3  21 Câu 43: Khối (H) tạo thành phần chung giao hai khối nón có chiều cao h, có bán kính đường tròn đáy R r cho đỉnh khối nón trùng với tâm đường trịn đáy khối nón Tìm giá trị lớn thể tích khối (H), biết R r thoả mãn 1  X  ( x  y ) X  xy   x, y   2  phương trình h A 48 h B 16 C  h Lời giải Chọn A 24 h D 12 Giả sử R > r Ta có hình minh hoạ Gọi a bán kính đường tròn giao tuyến, b khoảng cách từ tâm đường trịn giao tuyến đến tâm đường trịn có bán kính R Sử dụng tam giác đồng dạng, ta suy  a b  r  h R b Rh   b ;  r h b Rr  a  h b  R h r Rr a b h Rr 1 V( H )   a 2b   a (h  b)   a h 3 Mặc khác X  ( x  y) X  xy  Xét phương trình ẩn X :  X  ( x  y )  4xy  (2 xy )  4xy  0, x, y   x, y   có  S X   x  y   , x, y   PX  xy  Theo vi-ét:  Suy phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt R r  x  y a Theo bất đẳng thức Cô-si, Rr xy 1    , x, y  2 R  r  x  y  x  y Suy 1 1 1 V( H )     h     h, x, y  3   48 1 x y max V H    h Vậy 48 Dấu “=” xảy Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu mặt phẳng qua hai điểm đường tròn  C A  0;0;   ,   y     z  3  27 B  2; 0;  cho khối nón đỉnh tâm tích lớn Biết A 4  S  :  x  1  S    : ax  by  z  c  , B C 25 cắt  S Gọi  theo giao tuyến đáy là đường trịn a  b  c D  C Lời giải Chọn A  S  có tâm I  1; 2;3 Mặt cầu bán kính R  3    : ax  by  z  c  qua hai điểm A  0; 0;   , B  2; 0;  Vì    : x  by  z   Suy nên c  4 2 với  x  3 ta có r  R  x  27  x 1 V  πr IH  π  27  x  x 3 Thể tích khối nón Đặt IH  x ,  π  27  x   27  x  x 2 a   18π Vmax  18π 27  x  x  x  2b   d I;    b2  Khi đó,  Vậy a  b  c  4    2b     b    b  2 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  27 Gọi ( ) mặt phẳng qua hai điểm A(0;0; 4) , B (2;0; 0) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn (C ) Xét khối nón có đỉnh tâm ( S ) đáy (C ) Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng ( ) có phương trình dạng ax  by  z  d  Tính P  a  b  d A P  4 B P  C P  D P  Lời giải Chọn D I  1; 2;3 Mặt cầu ( S ) có tâm bán kính R  3 a.0  b.0   d   d  4   a.2  b.0   d  a  Vì ( ) qua điểm A(0;0; 4) , B (2;0;0) nên ta có Gọi r , h bán kính đáy chiều cao khối nón Khi thể tích khối nón V   r 2h 26 Ta có h  d ( I , ( ))  R  r  27  r 2 V   r 27  r  2 2 Đặt t  27  r  r  27  t , điều kiện:  t  3 V    27  t  t  t  3 Khi ,   t   n  V     27  3t     t  3  l  Ta có Bảng biến thiên: Thể tích khối nón lớn t   r  18  h  a  2b   d h  d  I , ( )   3 2 a  b  Mặt khác a   2b    b2  b2  4b    b   mà d  4 Vậy P  a  b  d     S : x  1   y     z  3  16 Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu    điểm diện A  1;0;   P , B  1; 2;  với mặt cầu  S Gọi  P mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c A B 3 C Lời giải Chọn B 27 D 2  P dạng I  1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R  A B Ta có , nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện S   r    R  IH  Ta có diện tích thiết diện IH Do diện tích thiết diện nhỏ lớn  P  qua A, B vng góc với IK Mà IH  IK suy uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3 3 1 B ; ;  A  1; 2; 3 C  1;1;  D  5;3;  Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ,  2 2, , Gọi  S1  mặt cầu tâm A bán kính , nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm C , D A  S2  mặt cầu tâm  S1  ,  S2  B B bán kính Có bao đồng thời song song với đường thẳng qua C D Vô số Lời giải Chọn A Gọi    : x  ay  bz  c  mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán uuur uuur r uuur r r CD   4; 2; 4  CD //     CD  n  CD.n  n   1; a; b   ) ( vecto pháp tuyến   2a  4b   a  2b  (1)  tiếp xúc  S1  d  A;        tiếp xúc  S2  1 a  b 2    2a  3b  c   a  b (2) nên 3  a bc 2   3a  b  2c   a  b 2 1 a  b (3) 1  2a  3b  c   3a  b  2c  2a  3b  c   3a  b  2c   1  2a  3b  c  3  3a  b  2c Từ (2) (3) ta có d  B;       nên  2a  3b  c 2  28  a  2b  c   (1) 2b   2b  c   c  4b (4)    5a  4b  3c   10b  10  4b  3c   c   2b (5)   4b   3b  4b    2b    b  3b   5b2  8b  Từ (1), (2), (4) b   a  2; c  8  b  2b   5b  8b   4b  10b     b   a  1; c  2  2 2   4b   3b   2b    2b    b  b   5b  8b  Từ (1), (2), (5)  b  2b    5b  8b    44b  74b  44  Phương trình vơ nghiệm CD //    C, D        : x  y  2z   Mặt khác nên nên A  1; 2;1 B  3; 1;1 C  1; 1;1 S  Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Gọi mặt S  S  cầu có tâm A , bán kính 2; hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu A B C  S1  ,  S2  ,  S3  ? D Lời giải Chọn B  P Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: 2 ax  by  cz  d  ( đk: a  b  c  ) d  A;  P      d  B;  P     d  C;  P    Khi ta có hệ điều kiện sau:   a  2b  c  d 2  2 a  b  c   3a  b  c  d  a  2b  c  d  a  b  c  1  1  2  a b c    3a  b  c  d  a  b  c    a  b  c  d   1  a  b  c  d  a  b  c  3 2   a  b  c  Từ    3 3a  b  c  d   a  b  c  d ta có: 3a  b  c  d   a  b  c  d a    3a  b  c  d  a  b  c  d a  b  c  d  Với a  ta có:  2b  c  d  b  c  2     4b  c  d   2b  c  d  b  c       c  d   2b  c  d  b  c  d 29   c  d   c  d  0, b   c  d  4b, c  2 2b , có mặt phẳng Với a  b  c  d  ta có  b a    3b  a  b  c  3b  a         c  11 a 2  2a  a  b2  c 2 a  a  b  c    , có mặt phẳng thỏa mãn tốn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Câu 49: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxz , cho ba điểm A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) qua điểm M (2; 4;5) Biết mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  25 cắt mặt phẳng ( ABC ) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8 Giá trị biểu thức a  b  c A 40 C 20 B D 30 Lời giải Chọn A I H K M x y z   1 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) a b c r  1 1 n ; ;    1 a b c Vì mặt phẳng ( ABC ) qua điểm M (2; 4;5) nên có a b c có VTPT Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R  uuur Ta có: IM  (1; 2; 2) nên IM  (1) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( ABC ) Khi giao tuyến ( ABC ) với mặt cầu ( S ) đường trịn tâm H có chu vi 8 suy bán kính r  2 2 Ta có: IH  R  r    (2) Vì IH  ( ABC ) M  ( ABC ) nên IM  IH (3) Từ (1), (2) ta có IM  IH  Do (3) phải xảy đẳng thức hay M  H uuur Khi IM  ( ABC ) nên IM vectơ pháp tuyến ( ABC ) 30 1 a  k  1   2k b 1 uuur r  c  2k ( k  0)  n  k IM Suy   1 2k  8k  10k   k  20 Từ suy a  20, b  10, c  10 Vì a b c nên Vậy a  b  c  40 Câu 50: Cho A  0;8;  mặt cầu  S  : x  5 phương trình mặt phẳng  P A m.n  B m.n    y  3   z    72 2 điểm B  9;  7; 23 Viết  S  cho khoảng cách từ B qua A tiếp xúc với mặt cầu r n   1; m; n  P   P  Lúc đến mặt phẳng lớn Giải sử vectơ pháp tuyến C m.n  4 D m.n  2 Lời giải Chọn C P Cách 1:   qua điểm A  0;8;    P  : x  my  nz  8m  2n   có vectơ pháp tuyến r n   1; m; n   11m  5n 6  S  m2  n2 tiếp xúc với mặt cầu  15m  21n  11m  5n   4m  16n d  d  B;  P     2 1 m  n  m2  n2  P   11m  5n  m2  n2 4  m  4n  m2  n2 12   1  42  m  n 2  24  m2  n2  18 (Buinhiacôp xki)  m  1 1  d max  18      m.n  4 m n n   S Cách 2: Ta có IB, IA  R  A, B nằm mc  P  ), mp  P  tiếp xúc với mặt cầu (S) E Gọi H hình chiếu B xuống 31 Đường thẳng BI cắt (S) C , D BC  BD Ta có d  d  B,  P    BH  BE  BD  18  P  lớn H  E  D Để khoảng cách từ B đến mặt phẳng uur BI   4;  4;16  P  Khi đến mặt phẳng nhận vectơ pháp tuyến uur r  BI  kn  m  1; n   m.n  4 32 ... cho mặt phẳng abc  , xét điểm M  a; b; c  Mệnh đề sau đúng?  P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng  P  qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng. ..  VTPT mặt phẳng Do đường thẳng  d mặt phẳng  P  góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng quát a  b  d bằng: A d: uuur n     a; b;1 nằm mặt phẳng. .. điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n   4;0; 1 D Q  2;1;  suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt  P  P  : x  y  z   qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng