Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 32 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
32
Dung lượng
2,41 MB
Nội dung
Chuyên đề Ⓐ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Ghi nhớ ➊ Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa: Phương trình có dạng khơng đồng thời gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Chú ý Nếu mặt phẳng có phương trình tổng qt có vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng qua điểm nhận vectơ khác làm vectơ pháp tuyến Ghi nhớ ➋ Hai vectơ không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: Nếu vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến Nếu cặp vectơ phương vectơ pháp tuyến Ⓑ Câu 1: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm mặt phẳng trung trực đoạn AB A x y B x y A 1; 0; 1 C x y Lời giải Chọn A I ; ; 1 Gọi 2 trung điểm AB uuu r AB 1; 1; Ta có: , B 2; 1; 1 Phương trình D x y uuu r I ; ; 1 AB 1; 1; 2 nhận Ta thấy mặt phẳng trung trực đoạn AB qua làm vectơ pháp tuyến Nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: x y x 1 y z 12 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua tâm mặt cầu song Câu 2: song với mặt phẳng Oxz có phương trình là: A y B y C y D x z Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I 1; 2; Mặt phẳng song song mặt phẳng Oxz nên có dạng y D , qua I 1; 2; nên D Vậy mặt phẳng cần tìm y Câu 3: P qua hai điểm A 1; 2; , B 2; 3; 1 song song Trong không gian Oxyz, mặt phẳng với trục Oz có phương trình A x y B x y C x z D x y Lời giải Chọn A P // Oz P : ax by d a 2b d a 2b d A, B P 2a 3b d a b Chọn b 1 ta suy a , d P : x y 1 Vậy Cách Thay tọa độ điểm A , B vào phương án cho Chỉ có phương án A thỏa mãn Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ? A 4; 0;1 A 3x y z B x y z C 3x y z D 3x y z B 2; 2; 3 Phương trình Lời giải Chọn D Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua I 1;1; nhận uuu r AB 6; 2; làm VTPT : 6 x 1 y 1 z : 3x y z Câu 5: M 1; 1;5 N 0;0;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Mặt phẳng chứa M , N song song với trục Oy có phương trình A :2 x z B :4 x z C : x 4z D : x z 1 Lời giải Chọn B uuuu r r r MN 1;1; 4 k 0;1; Ta có véc tơ đơn vị trục Oy Gọi n véctơ pháp tuyến r uuuu r n MN r r nk M , N Oy Mặt phẳng chứa song song với trục nên , chọn r uuuu r r n MN , k 4;0; 1 Mặt phẳng trình là: Câu 6: qua M 1; 1;5 nhận x 1 y 1 1 z x z Điểm sau thuộc hai mặt phẳng A M 1;1; B Chọn D Vì điểm thuộc mặt phẳng N 0; 2;1 Câu 7: véc tơ pháp tuyến nên có phương Oxy mặt phẳng P : x y z ? P 0;0;3 C Lời giải Oxy nên cao độ điểm P nên có điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n 4;0; 1 D Q 2;1; suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt P P : x y z qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C 2;0;0 B B 0;1;1 C D 0;1;0 Lời giải Chọn D Xét đáp án A ta có 1 L Xét đáp án B ta có 1 L D A 1;1;1 Xét đáp án C ta có 2 L Xét đáp án D ta có (Đúng) Câu 8: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C 0;0;3 B : A 1;0;0 x y z 1 không qua điểm sau đây? C B 0;2;0 D O 0;0;0 Lời giải Chọn D Dễ thấy điểm Câu 9: O thay tọa độ điểm O 0 1 ta có vào Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : y z Hỏi mặt phẳng có đặc biệt? A P qua gốc tọa độ C P vuông góc với Oyz B P vng góc với Oxy D P vng góc với Oyz Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng trục Ox Mặt khác: O P P Vậy mặt phẳng P P r rr n 0; 1;5 n.i P song song chứa song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng Oyz Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y mz Q : x ny z song song với Giá trị m n A B C D Lời giải Chọn B P Q song song với Để hai mặt phẳng m 2 n n m x y z P có phương trình a b c , Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng abc , xét điểm M a; b; c Mệnh đề sau đúng? P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng P qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng P qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng P qua hình chiếu M mặt phẳng Oxz Lời giải Chọn D P ta nên M P + Thay M vào phương trình mặt phẳng a b c I ; ; P ta nên I P + Trung điểm OM điểm 2 thay vào M a;0;0 + Hình chiếu M lên trục Ox điểm thay vào M1 P P ta nên Oxz điểm M a;0; c thuộc P + Hình chiếu M lên mặt phẳng P : x m 1 y z m Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng Q :2 x y , với m tham số thực Để P Q vuông góc với giá trị thực A m 5 B m m bao nhiêu? C m Lời giải Chọn B P Mặt phẳng Q Mặt phẳng P Để Q có véc tơ pháp tuyến ur n1 1; m 1; có véc tơ pháp tuyến uu r n2 2; 1; vng góc với ta có 1.2 m 1 1 2 1 m m ur uu r ur uu r n1 n2 n1.n2 D m 1 C 2; 0; A 0; 1; B 3; 1; 1 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Mặt phẳng ABC A qua điểm ? N 2; 1; B Q 2; 1; C M 2; 1; D M 2; 1; Lời giải Chọn A uuu r uuur uuu r uuur AB 3; 0; 3 AC 2; 1; AB AC 3; 21; Ta có , r uuur r uuu n AB ABC qua điểm B 3; 1; 1 , có vecto pháp tuyến AC 1; 7; 1 Mặt phẳng nên có phương trình là: x y z N 2; 1; ABC Vì 7.1 nên Câu 14: Cho mặt cầu S1 có tâm I1 3; 2; I 1;0;1 S bán kính R1 , mặt cầu có tâm bán kính R2 Phương trình mặt phẳng P đồng thời tiếp xúc với S1 S2 cắt đoạn I1I có dạng x by cz d Tính T b c d B 1 A 5 C 3 D Lời giải Chọn C uuur I I 2; 2; 1 I1 I R1 R2 S S Ta có nên hai mặt cầu tiếp xúc với uuur uuuu r MI MI MI R 2; MI R 1 I I 1 2 M nằm đoạn thoả mãn uuur uuuu r MI1 x; y; z MI x; y;1 z M x; y; z Gọi Ta có x 3 x 2 x y 2 y y 5 4 z M ; ; 1 ta có hệ 2 z 2 z 3 3 Từ Mặt phẳng P cần tìm tiếp xúc với S1 S2 đồng thời cắt đoạn I1 I N I1 N I N I1I mà NI1 R1 2; NI R2 nên N M Khi ấy, I1I P nên P nhận uuur I1 I 2; 2; 1 5 4 M ; ; P qua 3 Vậy P có làm vectơ pháp tuyến 5 2 4 2 x y z 2 x y z 3 3 3 phương trình: x y z b 2; c 1; d 6 T b c d 3 S : x y z x y z Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A 2; 2;0 Viết phương trình mặt phẳng có hồnh độ dương tam giác OAB A x y z B x y z OAB , biết điểm B C x y z thuộc mặt cầu S , D x y z Lời giải Chọn A B S , với x Ta có (1) S Ta thấy O A nằm mặt cầu mặt phẳng trung trực đoạn OA Suy : x y Gọi B Do OAB tam giác nên (2) 2 Mà OA OB x y z (3) Gọi điểm B x; y; z Từ (1), (2) (3) ta có hệ 8 x y z x2 y z 2x y z x y x y x2 y z x2 y z z z x y x x2 y y B 2; 0; (do x ) uuu r uuu r OA, OB 1; 1; 1 Suy r n 1; 1; 1 OAB Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên có phương trình x y z S : x y 3 z điểm A 1; 2;3 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Xét điểm M thuộc mặt cầu phẳng có phương trình S cho đường thẳng AM A x y z 15 B x y z 15 2 tiếp xúc với S , M thuộc mặt C x y z D x y z Lời giải Chọn D S có tâm I 2;3; ; bán kính R uur A 1; 2;3 IA 1; 1; 1 , tính IA Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận làm vectơ pháp tuyến uur IA 1; 1; 1 IM 2 IM IH IA IH IA , từ Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính uuur uur 10 H ; ; IH IA tính tìm 3 4 10 x y z x y z 3 Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: Câu 17: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu M 2; 0;0 , N 0;1; tâm I 1; 2;3 bán kính R hai điểm : x by cz d mặt phẳng qua MN cắt tuyến đường trịn có bán kính r lớn Tính T b c d A 1 S B C S theo giao D Lời giải Chọn A + Nhận xét: uuur uur IM 1; 2; 3 ; IN 1; 1; 3 nên điểm I,M,N không thẳng hàng Mặt phẳng qua MN cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn mặt phẳng qua tâm I : x by cz d ta có hệ + Thế tọa độ điểm M , N , I vào phương trình phương trình 2 d d 2 b b d 1 2b 3c d c 1 T b c d 1 Câu 18: Trong không Oxyz , gian cho hai A(1; 2; 4), B(0;0;1) điểm mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 1) z Mặt phẳng ( P) : ax by cz qua A, B cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c A T 2 27 B T 31 C T D T 33 Lời giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;0) bán kính R x t uuu r BA (1; 2;3) AB : y 2t (t ¡ ) z 3t Đường thẳng AB qua điểm B , có VTCP uur IB (1;1;1) IB ¡ ( P) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) (C ) có bán kính nhỏ d ( I , ( P )) lớn Gọi H , K hình chiếu vng góc I lên ( P ) AB , ta có: d ( I , ( P )) IH IK Do d ( I , ( P )) lớn H K hay mặt phẳng ( P ) vng góc với IK uur K : K AB K ( t ;2 t ;1 t ) IK (t 1; 2t 1;1 3t ) Tìm uur uuur uur IK AB IK AB t IK ; ; (6; 9; 4) 7 7 Ta có r n ( P ) B (0;0;1) Mặt phẳng qua , có VTPT (6; 9; 4) 27 ( P) : x y z x y 3z T 4 Vậy Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu : S : x 1 y z 3 2 đường thẳng x6 y 2 z 2 3 2 Phương trình mặt phẳng P qua điểm M 4;3; , song song với S là: đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu A x y z 10 B x y z 19 C x y z D x y z 18 Lời giải Chọn B Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 bán kính R r n a; b; c , a b c r P qua điểm M 4;3; có VTPT n a; b; c nên có phương trình Mặt phẳng P Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng a x b y 3 c z Do P / / nên P 3a 2b 2c 3a b c S nên tiếp xúc với 3a b c d I, P R 3 a b c 3a b c a b2 c 3a b c * ta được: Thay vào b c 2 2 2 b c 9b 9c b c 2b 5bc 2c b 2c Mặt phẳng * c , chọn c b a Phương trình x y z 19 (thỏa) TH1: TH2: b 2c , chọn c b a Phương trình x y z 18 (loại b P Câu 20: Cho đường thẳng : x 1 y 1 z 1 hai điểm A(1;1;0), B(1;0;1) Biết điểm M (a; b; c) thuộc cho biểu thức T MA MB đạt giá trị lớn Khi tổng a b c bằng: B 33 A C 8 33 D Lời giải Chọn D r u C( 1;1; 2), qua có vectơ phương (1; 1; 2) uuur uuur AB (2; 1;1); AC (2;0; 2) uuu r r uuur AB; u AC nên AB; khơng đồng phẳng Vì điểm M thuộc nên ta có M (1 t ;1 t ; 2t ), t R Lúc P MA MB t 2 t 2t t t 1 2t 3 6t 12t 6t 14t 10 P t 1 2 11 t 6 r r 11 r r r r u t 1; , v t ; | u | | v | u v Ta có Đặt 2 11 1 P 6 Tức 10 8 33 hai mặt cầu S1 ; S2 Đặt M , m giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng P Giá trị M m cách từ O đến A B D 15 C Lời giải Chọn C P để đạt min, max P vng góc với OIJ Mặt phẳng uuur 2;1;1 uuur nOIJ 4; 8;0 1; 2;0 n 2a; a; b 2;1;5 Ta có nên P P : ax ay bz c Gọi mặt Ta có | 5a b c | 4 d I ; P 5a b d J ; P | 5a 5b c | 5a b 5a b c 10a 10b 2c c 5a 9b 5a b c 10a 10b 2c c 15a 11b | 8b | c 5a 9b 80a 16b 64b2 80a 48b 5a 3b 2 5a b TH1: 2 3b 5a , ta chọn b 5; a 15; b 5; a 15 P1 : 15 x 15 y 1 z P2 : 2 15 x 15 y 1 z d O; P1 | 5 15 45 | 45 15 10 10 d O; P2 | 15 45 | 45 15 10 10 Suy M m Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A 1; 0; P , B 1; 2; với mặt cầu Gọi S P S : x 1 y z 16 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết diện có diện tích nhỏ Khi viết phương trình P P : ax by cz Tính T a b c A điểm B 3 C Lời giải Chọn B 18 D 2 dạng I 1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S r R IH Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH IK suy P qua A, B vng góc với IK uur KI 1;1;1 K 0;1; IA IB Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x 1 y z x y z Vậy Vậy T 3 Oxyz , cho hai điểm A 0;8; , B 9; 7; 23 Câu 36: Trong khơng gian trình S : x 5 y 3 z 72 tiếp xúc với mặt cầu b c d A b c d S Mặt phẳng mặt cầu P : x by cz d S có phương qua điểm A P lớn Giá trị cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng B b c d C b c d Lời giải D b c d Chọn C A P P : x by cz 8b 2c Vì nên ta 8b 2c d d 8b 2c 11b 5c 6 2 P S d I; P R b c Do tiếp xúc với mặt cầu nên 7b 23c 8b 2c 11b 5c b 4c d B; P b2 c b2 c Ta có: 11b 5c b 4c b 4c d B; P 4 d B; P b2 c b2 c b2 c Cosi Svac d B; P Dấu “=” xảy 16 b2 c d B; P 18 b2 c2 c b 1 1 b c 11b 5c 6 d b c Vậy Pmax 18 b c d 19 S : x 1 y z 3 16 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A 1;0; diện P , B 1; 2; với mặt cầu S Gọi P 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình P dạng P : ax by cz Tính T a b c B 3 A D 2 C Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm I 1; 2;3 bán kính R Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S r R IH Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH IK suy P qua A, B vng góc với IK uur KI 1;1;1 K 0;1; IA IB Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x 1 y z x y z Vậy Vậy T 3 Câu 38: Trong không gian P : x y z Oxyz, cho đường thẳng Gọi x y 1 z 1 2 B 7 ax by z d Khi giá trị C Lời giải: Chọn D VTPT mặt phẳng Do đường thẳng d mặt phẳng P góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng qt a b d bằng: A d: uuur n a; b;1 nằm mặt phẳng 20 1 suy a 2b D 3 Góc tạo 1 Từ P uuur uuur cos n( P ) ; n( ) suy a 2b vào: 1 b a b 1 lớn uuur uuur cos n( P ) ; n( ) uuur uuur cos n( P ) ; n( ) a b 1 5b 8b 1 b 5b 8b 2b b 15b 24b 15 đạt GTNN uuur uuur cos n( P ) ; n( ) b 1 Suy mặt phẳng a b d 3 Câu 39: Cho điểm : x y z d Vì A 0;8; mặt cầu S M 2;1; 1 d d 6 ( S ) : x y 3 z 72 có phương trình 2 P qua A tiếp xúc với S cho khoảng Viết phương trình mặt phẳng r P n 1; m; n P cách từ B đến lớn Giả sử vectơ pháp tuyến Lúc điểm B 9; 7; 23 A m.n B m.n 4 C m.n D m.n 2 Lời giải: Chọn B ( S ) : x y z 72 I 5; 3;7 có tâm , bán kính R 72 a x b y c z ax by cz 8b 2c Mặt phẳng ( P ) qua A có dạng ( P ) tiếp xúc với ( S ) Mặt cầu d I; P d B; P 5a 3b 7c 8b 2c a b c 2 9a 7b 23c 8b 2c a2 b2 c 5a 11b 5c a b2 c2 4 a b 4c 5a 11b 5c a b2 c 6 (*) 9a 15b 21c Mà 5a 11b 5c 4(a b 4c ) a b2 c2 6 6 24 a b2 c 12 (1) 42 a b c a b2 c a b2 c a b c Dấu xảy 1 Chọn a 1; b 1; c thỏa mãn (*) Khi ( P ) : x y z Suy m 1; n Suy ra: m.n 4 18 A 0;0;1 B m;0;0 C 0; n; Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm , , , D 1;1;1 với m 0, n m n Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua D Tính bán kính R mặt cầu đó? 21 A R B 2 R C R D R Lời giải Chọn A I a; b; c R ID d I , ABC Gọi tâm mặt cầu Khi đó, bán kính x y z ABC m n Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng d I , ABC Khi đó, a b c 1 m n 2 1 1 ID m n 2 1 a 1 b 1 c 2 2 2 1 1 1 1 1 1 m n mn mn mn mn Từ m n suy m n an bm cmn mn an bm cmn mn mn d I , ABC mn mn mn ) Như (vì Nếu an bm cmn mn an bm cmn mn R mn a m bm cm m m m R 1 m m d I , ABC R m2 c R m b c a R a R Vì đẳng thức 1 với 1 m 0;1 nên 1 c R a R b c a R b R a R c R Mặt khác ID R 1 a 1 b 1 c R 2 1 R R2 R 2 1 R R 1 Tương tự, an bm cmn mn ta tìm R 1 (khơng thỏa mãn R ) Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R Câu 41: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D (0; a;0) , A(0; 0; b) (a 0, b 0) Gọi M trung điểm cạnh a CC Giá trị tỉ số b để hai mặt phẳng ( ABD) MBD vuông góc với 22 A B C 1 D Lời giải Chọn D uuu r uuur C a; a; Ta có ABCD hình bình hành nên AB DC uuuu r uuur C a; a; b Và ACC A hình bình hành nên CC AA b M a; a; 2 CC có trung điểm uuur uuur uuur uuur BA; BD ab; ab; a BA a;0; b BD a; a;0 ABD có vtpt vtpt ur a n1 1;1; ABD b (vì b ) khác uuuu r uuuu r uuur b ab ab BM ; BD BM 0; a; ; ;a MBD MBD có vtpt vtpt khác uu r 2a n2 1;1; b (vì b ) a b 1 a a 1 l ur uu r ur uu r 2 MBD b n n n n b 2 Theo giả thiết ( A BD) Câu 42: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O , bán kính R góc đỉnh 2 Một mặt phẳng P vng góc với SO H cắt hình nón theo đường với trịn tâm H Gọi V thể tích khối nón đỉnh O đáy đường trịn tâm H Biết V đạt sin giá trị lớn SH a a a , b ¥ b với b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T 3a 2b ? A 12 B 23 C 21 23 D 32 Lời giải Chọn C Đặt SH x Gọi SAB thiết diện qua trục SO M , N giao điểm SA, SB với P Xét SOA vng O ta có SO OA cot R cot OH SO OH R cot x Xét SHM vuông H ta có HM SH tan x tan 1 V HM OH x tan R cot x 3 Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: x x R cot x x x 3 x R cot x R cot x 2 R cot 2 27 2R 2R 32 4 x cot VMax R cot 3 sin 3 81 Vậy đạt Từ ta có a 5, b T 3.5 2.3 21 Câu 43: Khối (H) tạo thành phần chung giao hai khối nón có chiều cao h, có bán kính đường tròn đáy R r cho đỉnh khối nón trùng với tâm đường trịn đáy khối nón Tìm giá trị lớn thể tích khối (H), biết R r thoả mãn 1 X ( x y ) X xy x, y 2 phương trình h A 48 h B 16 C h Lời giải Chọn A 24 h D 12 Giả sử R > r Ta có hình minh hoạ Gọi a bán kính đường tròn giao tuyến, b khoảng cách từ tâm đường trịn giao tuyến đến tâm đường trịn có bán kính R Sử dụng tam giác đồng dạng, ta suy a b r h R b Rh b ; r h b Rr a h b R h r Rr a b h Rr 1 V( H ) a 2b a (h b) a h 3 Mặc khác X ( x y) X xy Xét phương trình ẩn X : X ( x y ) 4xy (2 xy ) 4xy 0, x, y x, y có S X x y , x, y PX xy Theo vi-ét: Suy phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt R r x y a Theo bất đẳng thức Cô-si, Rr xy 1 , x, y 2 R r x y x y Suy 1 1 1 V( H ) h h, x, y 3 48 1 x y max V H h Vậy 48 Dấu “=” xảy Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu mặt phẳng qua hai điểm đường tròn C A 0;0; , y z 3 27 B 2; 0; cho khối nón đỉnh tâm tích lớn Biết A 4 S : x 1 S : ax by z c , B C 25 cắt S Gọi theo giao tuyến đáy là đường trịn a b c D C Lời giải Chọn A S có tâm I 1; 2;3 Mặt cầu bán kính R 3 : ax by z c qua hai điểm A 0; 0; , B 2; 0; Vì : x by z Suy nên c 4 2 với x 3 ta có r R x 27 x 1 V πr IH π 27 x x 3 Thể tích khối nón Đặt IH x , π 27 x 27 x x 2 a 18π Vmax 18π 27 x x x 2b d I; b2 Khi đó, Vậy a b c 4 2b b b 2 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 27 Gọi ( ) mặt phẳng qua hai điểm A(0;0; 4) , B (2;0; 0) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn (C ) Xét khối nón có đỉnh tâm ( S ) đáy (C ) Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng ( ) có phương trình dạng ax by z d Tính P a b d A P 4 B P C P D P Lời giải Chọn D I 1; 2;3 Mặt cầu ( S ) có tâm bán kính R 3 a.0 b.0 d d 4 a.2 b.0 d a Vì ( ) qua điểm A(0;0; 4) , B (2;0;0) nên ta có Gọi r , h bán kính đáy chiều cao khối nón Khi thể tích khối nón V r 2h 26 Ta có h d ( I , ( )) R r 27 r 2 V r 27 r 2 2 Đặt t 27 r r 27 t , điều kiện: t 3 V 27 t t t 3 Khi , t n V 27 3t t 3 l Ta có Bảng biến thiên: Thể tích khối nón lớn t r 18 h a 2b d h d I , ( ) 3 2 a b Mặt khác a 2b b2 b2 4b b mà d 4 Vậy P a b d S : x 1 y z 3 16 Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu điểm diện A 1;0; P , B 1; 2; với mặt cầu S Gọi P mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình P : ax by cz Tính T a b c A B 3 C Lời giải Chọn B 27 D 2 P dạng I 1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R A B Ta có , nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện S r R IH Ta có diện tích thiết diện IH Do diện tích thiết diện nhỏ lớn P qua A, B vng góc với IK Mà IH IK suy uur KI 1;1;1 K 0;1; IA IB Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x 1 y z x y z Vậy Vậy T 3 3 1 B ; ; A 1; 2; 3 C 1;1; D 5;3; Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho , 2 2, , Gọi S1 mặt cầu tâm A bán kính , nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm C , D A S2 mặt cầu tâm S1 , S2 B B bán kính Có bao đồng thời song song với đường thẳng qua C D Vô số Lời giải Chọn A Gọi : x ay bz c mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán uuur uuur r uuur r r CD 4; 2; 4 CD // CD n CD.n n 1; a; b ) ( vecto pháp tuyến 2a 4b a 2b (1) tiếp xúc S1 d A; tiếp xúc S2 1 a b 2 2a 3b c a b (2) nên 3 a bc 2 3a b 2c a b 2 1 a b (3) 1 2a 3b c 3a b 2c 2a 3b c 3a b 2c 1 2a 3b c 3 3a b 2c Từ (2) (3) ta có d B; nên 2a 3b c 2 28 a 2b c (1) 2b 2b c c 4b (4) 5a 4b 3c 10b 10 4b 3c c 2b (5) 4b 3b 4b 2b b 3b 5b2 8b Từ (1), (2), (4) b a 2; c 8 b 2b 5b 8b 4b 10b b a 1; c 2 2 2 4b 3b 2b 2b b b 5b 8b Từ (1), (2), (5) b 2b 5b 8b 44b 74b 44 Phương trình vơ nghiệm CD // C, D : x y 2z Mặt khác nên nên A 1; 2;1 B 3; 1;1 C 1; 1;1 S Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Gọi mặt S S cầu có tâm A , bán kính 2; hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu A B C S1 , S2 , S3 ? D Lời giải Chọn B P Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: 2 ax by cz d ( đk: a b c ) d A; P d B; P d C; P Khi ta có hệ điều kiện sau: a 2b c d 2 2 a b c 3a b c d a 2b c d a b c 1 1 2 a b c 3a b c d a b c a b c d 1 a b c d a b c 3 2 a b c Từ 3 3a b c d a b c d ta có: 3a b c d a b c d a 3a b c d a b c d a b c d Với a ta có: 2b c d b c 2 4b c d 2b c d b c c d 2b c d b c d 29 c d c d 0, b c d 4b, c 2 2b , có mặt phẳng Với a b c d ta có b a 3b a b c 3b a c 11 a 2 2a a b2 c 2 a a b c , có mặt phẳng thỏa mãn tốn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Câu 49: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxz , cho ba điểm A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) qua điểm M (2; 4;5) Biết mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 25 cắt mặt phẳng ( ABC ) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8 Giá trị biểu thức a b c A 40 C 20 B D 30 Lời giải Chọn A I H K M x y z 1 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) a b c r 1 1 n ; ; 1 a b c Vì mặt phẳng ( ABC ) qua điểm M (2; 4;5) nên có a b c có VTPT Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R uuur Ta có: IM (1; 2; 2) nên IM (1) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( ABC ) Khi giao tuyến ( ABC ) với mặt cầu ( S ) đường trịn tâm H có chu vi 8 suy bán kính r 2 2 Ta có: IH R r (2) Vì IH ( ABC ) M ( ABC ) nên IM IH (3) Từ (1), (2) ta có IM IH Do (3) phải xảy đẳng thức hay M H uuur Khi IM ( ABC ) nên IM vectơ pháp tuyến ( ABC ) 30 1 a k 1 2k b 1 uuur r c 2k ( k 0) n k IM Suy 1 2k 8k 10k k 20 Từ suy a 20, b 10, c 10 Vì a b c nên Vậy a b c 40 Câu 50: Cho A 0;8; mặt cầu S : x 5 phương trình mặt phẳng P A m.n B m.n y 3 z 72 2 điểm B 9; 7; 23 Viết S cho khoảng cách từ B qua A tiếp xúc với mặt cầu r n 1; m; n P P Lúc đến mặt phẳng lớn Giải sử vectơ pháp tuyến C m.n 4 D m.n 2 Lời giải Chọn C P Cách 1: qua điểm A 0;8; P : x my nz 8m 2n có vectơ pháp tuyến r n 1; m; n 11m 5n 6 S m2 n2 tiếp xúc với mặt cầu 15m 21n 11m 5n 4m 16n d d B; P 2 1 m n m2 n2 P 11m 5n m2 n2 4 m 4n m2 n2 12 1 42 m n 2 24 m2 n2 18 (Buinhiacôp xki) m 1 1 d max 18 m.n 4 m n n S Cách 2: Ta có IB, IA R A, B nằm mc P ), mp P tiếp xúc với mặt cầu (S) E Gọi H hình chiếu B xuống 31 Đường thẳng BI cắt (S) C , D BC BD Ta có d d B, P BH BE BD 18 P lớn H E D Để khoảng cách từ B đến mặt phẳng uur BI 4; 4;16 P Khi đến mặt phẳng nhận vectơ pháp tuyến uur r BI kn m 1; n m.n 4 32 ... cho mặt phẳng abc , xét điểm M a; b; c Mệnh đề sau đúng? P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng P qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng P qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng. .. VTPT mặt phẳng Do đường thẳng d mặt phẳng P góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng quát a b d bằng: A d: uuur n a; b;1 nằm mặt phẳng. .. điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n 4;0; 1 D Q 2;1; suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt P P : x y z qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng