1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

CD45 PT mặt PHẲNG

32 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 32
Dung lượng 2,41 MB

Nội dung

Chuyên đề  Ⓐ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Ghi nhớ ➊  Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa:  Phương trình có dạng khơng đồng thời gọi phương trình tổng quát mặt phẳng  Chú ý  Nếu mặt phẳng có phương trình tổng qt có vectơ pháp tuyến  Phương trình mặt phẳng qua điểm nhận vectơ khác làm vectơ pháp tuyến  Ghi nhớ ➋  Hai vectơ không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm  Chú ý: Nếu vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến Nếu cặp vectơ phương vectơ pháp tuyến Ⓑ Câu 1: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm mặt phẳng trung trực đoạn AB A x  y   B  x  y   A  1; 0; 1 C x  y   Lời giải Chọn A   I   ; ; 1 Gọi  2  trung điểm AB uuu r AB   1; 1;  Ta có: , B  2; 1; 1 Phương trình D x  y     uuu r I   ; ; 1 AB   1; 1;  2  nhận Ta thấy mặt phẳng trung trực đoạn AB qua  làm vectơ pháp tuyến Nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  y   x  1   y    z  12 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua tâm mặt cầu  song Câu 2: song với mặt phẳng  Oxz  có phương trình là: A y   B y   C y   D x  z   Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I  1;  2;  Mặt phẳng song song mặt phẳng  Oxz  nên có dạng y  D  , qua I  1;  2;  nên D  Vậy mặt phẳng cần tìm y   Câu 3:  P  qua hai điểm A  1; 2;  , B  2; 3; 1 song song Trong không gian Oxyz, mặt phẳng với trục Oz có phương trình A x  y   B x  y   C x  z   D x  y   Lời giải Chọn A  P  // Oz   P  : ax  by  d  a  2b  d  a  2b  d    A, B   P  2a  3b  d  a  b  Chọn b  1 ta suy a  , d   P : x  y 1  Vậy Cách Thay tọa độ điểm A , B vào phương án cho Chỉ có phương án A thỏa mãn Câu 4:   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ? A 4; 0;1 A 3x  y  z   B x  y  z   C 3x  y  z   D 3x  y  z  B 2; 2; 3 Phương trình Lời giải Chọn D  Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB    qua I  1;1;  nhận uuu r AB   6; 2;  làm VTPT     : 6  x  1   y  1   z        : 3x  y  z  Câu 5: M  1;  1;5  N  0;0;1   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Mặt phẳng chứa M , N song song với trục Oy có phương trình A    :2 x  z   B    :4 x  z   C    : x  4z   D    : x  z 1  Lời giải Chọn B uuuu r r r MN   1;1; 4  k   0;1;  Ta có véc tơ đơn vị trục Oy Gọi n véctơ pháp tuyến r uuuu r n  MN r r   nk   M , N Oy Mặt phẳng chứa song song với trục nên  , chọn r uuuu r r n   MN , k    4;0; 1   Mặt phẳng trình là: Câu 6: qua M  1;  1;5  nhận  x  1   y  1  1 z     x  z   Điểm sau thuộc hai mặt phẳng A M  1;1;  B Chọn D Vì điểm thuộc mặt phẳng N  0; 2;1 Câu 7: véc tơ pháp tuyến nên có phương  Oxy  mặt phẳng  P  : x  y  z   ? P  0;0;3 C Lời giải  Oxy  nên cao độ điểm  P  nên có điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n   4;0; 1 D Q  2;1;  suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt  P  P  : x  y  z   qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C  2;0;0  B B  0;1;1 C D  0;1;0  Lời giải Chọn D Xét đáp án A ta có      1   L  Xét đáp án B ta có      1   L  D A  1;1;1 Xét đáp án C ta có      2   L  Xét đáp án D ta có       (Đúng) Câu 8: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng A C  0;0;3 B  : A  1;0;0  x y z   1 không qua điểm sau đây? C B  0;2;0  D O  0;0;0  Lời giải Chọn D Dễ thấy điểm Câu 9: O  thay tọa độ điểm O 0    1 ta có  vào Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :  y  z   Hỏi mặt phẳng có đặc biệt? A  P qua gốc tọa độ C  P vuông góc với  Oyz  B  P vng góc với  Oxy  D  P vng góc với  Oyz  Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng trục Ox Mặt khác: O   P   P Vậy mặt phẳng  P  P r rr n   0; 1;5   n.i    P song song chứa song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng  Oyz  Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  y  mz    Q  : x  ny  z   song song với Giá trị m n A B C D Lời giải Chọn B  P   Q  song song với Để hai mặt phẳng m 2    n n  m  x y z  P  có phương trình a  b  c   , Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng abc  , xét điểm M  a; b; c  Mệnh đề sau đúng?  P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng  P  qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M mặt phẳng  Oxz  Lời giải Chọn D  P  ta   nên M   P  + Thay M vào phương trình mặt phẳng a b c I ; ;  P   ta   nên I   P  + Trung điểm OM điểm  2  thay vào M  a;0;0  + Hình chiếu M lên trục Ox điểm thay vào M1   P   P  ta   nên  Oxz  điểm M  a;0; c  thuộc  P  + Hình chiếu M lên mặt phẳng  P  : x   m  1 y  z  m  Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q  :2 x  y   , với m tham số thực Để  P   Q  vuông góc với giá trị thực A m  5 B m  m bao nhiêu? C m  Lời giải Chọn B  P Mặt phẳng  Q Mặt phẳng  P Để  Q có véc tơ pháp tuyến ur n1   1; m  1;   có véc tơ pháp tuyến uu r n2   2;  1;  vng góc với ta có  1.2   m  1  1   2    1 m   m  ur uu r ur uu r n1  n2  n1.n2  D m  1 C  2; 0;  A  0; 1;   B  3; 1; 1 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Mặt phẳng  ABC  A qua điểm ? N  2; 1;  B Q  2; 1;  C M  2;  1;  D M  2;  1;  Lời giải Chọn A uuu r uuur uuu r uuur AB   3; 0; 3 AC   2;  1;  AB  AC   3;  21;   Ta có , r uuur r uuu n  AB  ABC  qua điểm B  3; 1; 1 , có vecto pháp tuyến  AC   1;  7;  1 Mặt phẳng nên có phương trình là: x  y  z   N  2; 1;    ABC  Vì  7.1    nên Câu 14: Cho mặt cầu  S1  có tâm I1  3; 2;  I  1;0;1 S  bán kính R1  , mặt cầu có tâm bán kính R2  Phương trình mặt phẳng  P  đồng thời tiếp xúc với  S1   S2  cắt đoạn I1I có dạng x  by  cz  d  Tính T  b  c  d B 1 A 5 C 3 D Lời giải Chọn C uuur I I   2; 2; 1  I1 I   R1  R2 S S Ta có nên hai mặt cầu     tiếp xúc với uuur uuuu r MI   MI MI  R  2; MI  R   1   I I 1 2 M nằm đoạn thoả mãn uuur uuuu r MI1    x;  y;  z  MI    x;  y;1  z  M  x; y; z  Gọi Ta có  x    3  x  2  x   y    2  y  y 5 4  z M ; ;     1 ta có hệ 2  z  2  z  3 3 Từ Mặt phẳng  P cần tìm tiếp xúc với  S1   S2  đồng thời cắt đoạn I1 I N  I1 N  I N  I1I mà NI1  R1  2; NI  R2  nên N  M Khi ấy, I1I   P  nên  P  nhận uuur I1 I   2; 2; 1 5 4 M ; ;   P  qua  3  Vậy  P  có làm vectơ pháp tuyến 5  2  4  2  x    y   z    2 x  y  z   3  3  3  phương trình:  x  y  z    b  2; c  1; d  6  T  b  c  d  3  S  : x  y  z  x  y  z  Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A  2; 2;0  Viết phương trình mặt phẳng có hồnh độ dương tam giác OAB A x  y  z  B x  y  z   OAB  , biết điểm B C x  y  z  thuộc mặt cầu  S , D x  y  z  Lời giải Chọn A B  S  , với x  Ta có (1)  S Ta thấy O A nằm mặt cầu    mặt phẳng trung trực đoạn OA Suy    : x  y   Gọi B  Do OAB tam giác nên (2) 2 Mà OA  OB  x  y  z  (3) Gọi điểm B  x; y; z  Từ (1), (2) (3) ta có hệ 8   x  y   z   x2  y  z  2x  y  z     x  y  x  y    x2  y  z   x2  y  z    z  z     x  y   x   x2  y   y   B 2; 0;   (do x  )   uuu r uuu r OA, OB    1; 1; 1  Suy  r n   1; 1; 1 OAB   Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên có phương trình x  y  z   S  :  x     y  3   z    điểm A  1; 2;3 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Xét điểm M thuộc mặt cầu phẳng có phương trình  S  cho đường thẳng AM A x  y  z  15  B x  y  z  15  2 tiếp xúc với  S  , M thuộc mặt C x  y  z   D x  y  z   Lời giải Chọn D  S  có tâm I  2;3;  ; bán kính R  uur A  1; 2;3  IA   1; 1; 1 , tính IA  Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận làm vectơ pháp tuyến uur IA   1; 1; 1 IM 2 IM  IH IA  IH   IA , từ Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính uuur uur  10  H ; ;  IH  IA tính tìm  3  4    10     x    y   z    x  y  z   3       Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: Câu 17: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu M  2; 0;0  , N  0;1;  tâm I  1; 2;3 bán kính R  hai điểm    : x  by  cz  d  mặt phẳng qua MN cắt tuyến đường trịn có bán kính r lớn Tính T  b  c  d A 1  S B C  S theo giao D Lời giải Chọn A + Nhận xét: uuur uur IM  1; 2; 3 ; IN  1; 1; 3 nên điểm I,M,N không thẳng hàng Mặt phẳng qua MN cắt  S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn mặt phẳng qua tâm I    : x  by  cz  d  ta có hệ + Thế tọa độ điểm M , N , I vào phương trình phương trình 2  d  d  2    b  b  d  1  2b  3c  d  c  1    T  b  c  d  1 Câu 18: Trong không Oxyz , gian cho hai A(1; 2; 4), B(0;0;1) điểm mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  1)  z  Mặt phẳng ( P) : ax  by  cz   qua A, B cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T  a  b  c A T 2 27 B T 31 C T  D T 33 Lời giải Chọn C  Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;0) bán kính R  x  t uuu r  BA  (1; 2;3)  AB :  y  2t (t  ¡ )  z   3t   Đường thẳng AB qua điểm B , có VTCP uur IB  (1;1;1)  IB   ¡  ( P) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) (C ) có bán kính nhỏ  d ( I , ( P )) lớn Gọi H , K hình chiếu vng góc I lên ( P ) AB , ta có: d ( I , ( P ))  IH  IK Do d ( I , ( P )) lớn  H  K hay mặt phẳng ( P ) vng góc với IK uur K : K  AB  K ( t ;2 t ;1  t )  IK  (t  1; 2t  1;1  3t ) Tìm uur uuur uur   IK  AB  IK AB   t    IK  ;  ;   (6; 9; 4) 7 7 Ta có r n ( P ) B (0;0;1) Mặt phẳng qua , có VTPT  (6; 9; 4) 27  ( P) : x  y  z     x  y  3z   T  4 Vậy Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu :  S  :  x  1   y     z  3  2 đường thẳng x6 y 2 z 2   3 2 Phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M  4;3;  , song song với  S  là: đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu A x  y  z  10  B x  y  z  19  C x  y  z   D x  y  z  18  Lời giải Chọn B Mặt cầu  S có tâm I  1; 2;3 bán kính R  r n   a; b; c  , a  b  c  r  P  qua điểm M  4;3;  có VTPT n   a; b; c  nên có phương trình Mặt phẳng  P Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng a  x    b  y  3  c  z    Do  P / / nên  P 3a  2b  2c   3a   b  c   S  nên tiếp xúc với 3a  b  c d  I, P   R  3   a  b  c    3a  b  c  a  b2  c 3a   b  c   * ta được: Thay vào  b c 2 2 2   b  c   9b  9c   b  c   2b  5bc  2c    b  2c Mặt phẳng  * c , chọn c   b   a   Phương trình x  y  z  19  (thỏa)  TH1:  TH2: b  2c , chọn c   b   a   Phương trình x  y  z  18  (loại b    P Câu 20: Cho đường thẳng : x 1 y 1 z    1 hai điểm A(1;1;0), B(1;0;1) Biết điểm M (a; b; c) thuộc  cho biểu thức T  MA  MB đạt giá trị lớn Khi tổng a  b  c bằng: B  33 A C 8 33 D Lời giải Chọn D r u C(  1;1;  2),  qua có vectơ phương  (1; 1; 2) uuur uuur AB  (2;  1;1); AC  (2;0;  2) uuu r r uuur  AB; u  AC    nên AB;  khơng đồng phẳng Vì điểm M thuộc  nên ta có M (1  t ;1  t ;   2t ), t  R Lúc P  MA  MB    t  2  t   2t     t    t  1   2t  3 6t  12t   6t  14t  10 P  t  1  2   11  t     6 r   r  11  r r r r u   t  1;  , v   t  ;   | u |  | v |  u v     Ta có Đặt 2 11  1  P         6   Tức 10 8 33 hai mặt cầu  S1  ;  S2  Đặt M , m giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng  P  Giá trị M  m cách từ O đến A B D 15 C Lời giải Chọn C  P  để đạt min, max  P  vng góc với  OIJ  Mặt phẳng uuur  2;1;1  uuur nOIJ      4; 8;0    1; 2;0  n   2a; a; b  2;1;5       Ta có nên  P  P : ax  ay  bz  c    Gọi mặt Ta có  | 5a  b  c | 4   d  I ;  P     5a  b    d  J ;  P     | 5a  5b  c |   5a  b 5a  b  c  10a  10b  2c  c  5a  9b  5a  b  c  10a  10b  2c  c   15a  11b   | 8b | c  5a  9b    80a  16b  64b2  80a  48b  5a  3b 2 5a  b TH1: 2 3b  5a , ta chọn b  5; a  15; b  5; a   15  P1  : 15  x    15  y  1   z     P2  : 2 15  x    15  y  1   z    d  O;  P1    | 5 15  45 | 45  15  10 10 d  O;  P2    | 15  45 | 45  15  10 10 Suy M  m  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A  1; 0;   P , B  1; 2;  với mặt cầu Gọi  S  P  S  :  x  1   y     z    16 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết diện có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c A điểm B 3 C Lời giải Chọn B 18 D 2 dạng I  1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R  Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S   r    R  IH  Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH  IK suy  P  qua A, B vng góc với IK uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3  Oxyz  , cho hai điểm A  0;8;  , B  9; 7; 23 Câu 36: Trong khơng gian trình  S  :  x  5   y  3   z    72 tiếp xúc với mặt cầu b  c  d A b  c  d   S Mặt phẳng mặt cầu  P  : x  by  cz  d   S có phương qua điểm A  P  lớn Giá trị cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng B b  c  d  C b  c  d  Lời giải D b  c  d  Chọn C A   P   P  : x  by  cz   8b  2c   Vì nên ta 8b  2c  d   d  8b  2c  11b  5c  6 2 P S d  I; P   R    b  c Do tiếp xúc với mặt cầu nên  7b  23c  8b  2c   11b  5c     b  4c  d  B;  P      b2  c  b2  c Ta có:  11b  5c  b  4c  b  4c  d  B;  P    4  d  B;  P      b2  c  b2  c  b2  c Cosi  Svac  d  B;  P     Dấu “=” xảy    16    b2  c   d  B;  P    18  b2  c2 c  b  1 1  b     c    11b  5c   6 d    b  c Vậy Pmax  18 b  c  d  19  S  :  x  1   y     z  3  16 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu điểm A  1;0;  diện  P , B  1; 2;  với mặt cầu  S Gọi  P 2 mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P dạng  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c B 3 A D 2 C Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm I  1; 2;3 bán kính R  Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện Ta có diện tích thiết diện S   r    R  IH  Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH  IK suy  P  qua A, B vng góc với IK uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3 Câu 38: Trong không gian  P  : x  y  z   Oxyz, cho đường thẳng Gọi  x  y 1 z 1   2 B 7  ax  by  z  d  Khi giá trị C Lời giải: Chọn D  VTPT mặt phẳng Do đường thẳng  d mặt phẳng  P  góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng qt a  b  d bằng: A d: uuur n     a; b;1 nằm mặt phẳng  20  1 suy a  2b   D 3  Góc tạo  1 Từ  P uuur uuur  cos n( P ) ; n( )    suy a   2b vào:   1 b   a  b  1 lớn uuur uuur cos n( P ) ; n( )  uuur uuur  cos n( P ) ; n( )  a  b 1    5b  8b   1 b  5b  8b    2b  b 15b  24b  15  đạt GTNN uuur uuur  cos n( P ) ; n( )   b  1   Suy mặt phẳng  a  b  d  3 Câu 39: Cho điểm    : x  y  z  d  Vì A  0;8;  mặt cầu  S M  2;1; 1   d   d  6 ( S ) :  x     y  3   z    72 có phương trình 2  P  qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng Viết phương trình mặt phẳng r P n   1; m; n  P cách từ B đến   lớn Giả sử vectơ pháp tuyến   Lúc điểm B  9; 7; 23 A m.n  B m.n  4 C m.n  D m.n  2 Lời giải: Chọn B ( S ) :  x     y     z    72 I  5;  3;7  có tâm , bán kính R  72  a  x    b  y    c  z     ax  by  cz  8b  2c  Mặt phẳng ( P ) qua A có dạng ( P ) tiếp xúc với ( S ) Mặt cầu  d  I; P    d  B;  P    5a  3b  7c  8b  2c a b c 2 9a  7b  23c  8b  2c a2  b2  c  5a  11b  5c a  b2  c2 4 a  b  4c 5a  11b  5c a  b2  c 6 (*) 9a  15b  21c Mà 5a  11b  5c  4(a  b  4c )   a  b2  c2  6  6 24 a  b2  c 12  (1)  42 a  b  c a  b2  c a  b2  c a b c   Dấu xảy 1 Chọn a  1; b  1; c  thỏa mãn (*) Khi ( P ) : x  y  z  Suy m  1; n  Suy ra: m.n  4  18 A  0;0;1 B  m;0;0  C  0; n;  Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm , , , D  1;1;1 với m  0, n  m  n  Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D Tính bán kính R mặt cầu đó? 21 A R  B 2 R C R D R Lời giải Chọn A I a; b; c  R  ID  d  I ,  ABC   Gọi  tâm mặt cầu Khi đó, bán kính x y z  ABC  m  n   Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng d  I ,  ABC    Khi đó, a b c   1 m n 2   1      1 ID  m n 2  1 a   1 b   1 c 2 2 2   1  1     1   1   1       1       m n  mn  mn  mn  mn  Từ m  n  suy  m   n  an  bm  cmn  mn an  bm  cmn  mn  mn d  I ,  ABC     mn      mn  mn   ) Như (vì Nếu an  bm  cmn  mn  an  bm  cmn  mn R  mn  a   m   bm  cm   m   m   m   R 1  m   m   d  I ,  ABC    R   m2   c  R   m  b  c  a   R   a  R  Vì đẳng thức  1 với  1 m   0;1 nên 1  c  R  a  R   b  c  a   R   b  R a  R  c   R   Mặt khác ID  R   1 a   1 b   1 c   R 2   1 R  R2  R  2 1 R   R 1 Tương tự, an  bm  cmn  mn  ta tìm R  1 (khơng thỏa mãn R  ) Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R  Câu 41: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D (0; a;0) , A(0; 0; b) (a  0, b  0) Gọi M trung điểm cạnh a CC  Giá trị tỉ số b để hai mặt phẳng ( ABD)  MBD  vuông góc với 22 A B C 1 D Lời giải Chọn D uuu r uuur  C  a; a;  Ta có ABCD hình bình hành nên AB  DC uuuu r uuur  C   a; a; b  Và ACC A hình bình hành nên CC   AA b  M  a; a;  2 CC  có trung điểm  uuur uuur uuur uuur  BA; BD    ab;  ab;  a   BA    a;0; b  BD   a; a;0    ABD   có vtpt  vtpt ur  a n1  1;1;   ABD  b  (vì b  )  khác uuuu r  uuuu r uuur b  ab ab   BM ; BD    BM   0; a;     ; ;a   MBD     MBD  có vtpt    vtpt khác uu r  2a  n2  1;1;   b  (vì b  )  a b 1   a  a  1 l  ur uu r ur uu r   2   MBD     b n  n  n n   b 2 Theo giả thiết ( A BD)  Câu 42: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O , bán kính R  góc đỉnh 2 Một mặt phẳng  P  vng góc với SO H cắt hình nón theo đường với trịn tâm H Gọi V thể tích khối nón đỉnh O đáy đường trịn tâm H Biết V đạt sin   giá trị lớn SH  a a  a , b  ¥ b với b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T  3a  2b ? A 12 B 23 C 21 23 D 32 Lời giải Chọn C Đặt SH  x Gọi SAB thiết diện qua trục SO M , N giao điểm SA, SB với  P  Xét SOA vng O ta có SO  OA cot   R cot   OH  SO  OH  R cot   x Xét SHM vuông H ta có HM  SH tan   x tan  1 V   HM OH   x tan   R cot   x  3 Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: x x    R cot   x   x x 3 x  R cot   x    R cot   x    2 R cot    2 27     2R 2R 32 4 x cot       VMax  R cot  3 sin  3 81 Vậy đạt Từ ta có a  5, b   T  3.5  2.3  21 Câu 43: Khối (H) tạo thành phần chung giao hai khối nón có chiều cao h, có bán kính đường tròn đáy R r cho đỉnh khối nón trùng với tâm đường trịn đáy khối nón Tìm giá trị lớn thể tích khối (H), biết R r thoả mãn 1  X  ( x  y ) X  xy   x, y   2  phương trình h A 48 h B 16 C  h Lời giải Chọn A 24 h D 12 Giả sử R > r Ta có hình minh hoạ Gọi a bán kính đường tròn giao tuyến, b khoảng cách từ tâm đường trịn giao tuyến đến tâm đường trịn có bán kính R Sử dụng tam giác đồng dạng, ta suy  a b  r  h R b Rh   b ;  r h b Rr  a  h b  R h r Rr a b h Rr 1 V( H )   a 2b   a (h  b)   a h 3 Mặc khác X  ( x  y) X  xy  Xét phương trình ẩn X :  X  ( x  y )  4xy  (2 xy )  4xy  0, x, y   x, y   có  S X   x  y   , x, y   PX  xy  Theo vi-ét:  Suy phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt R r  x  y a Theo bất đẳng thức Cô-si, Rr xy 1    , x, y  2 R  r  x  y  x  y Suy 1 1 1 V( H )     h     h, x, y  3   48 1 x y max V H    h Vậy 48 Dấu “=” xảy Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu mặt phẳng qua hai điểm đường tròn  C A  0;0;   ,   y     z  3  27 B  2; 0;  cho khối nón đỉnh tâm tích lớn Biết A 4  S  :  x  1  S    : ax  by  z  c  , B C 25 cắt  S Gọi  theo giao tuyến đáy là đường trịn a  b  c D  C Lời giải Chọn A  S  có tâm I  1; 2;3 Mặt cầu bán kính R  3    : ax  by  z  c  qua hai điểm A  0; 0;   , B  2; 0;  Vì    : x  by  z   Suy nên c  4 2 với  x  3 ta có r  R  x  27  x 1 V  πr IH  π  27  x  x 3 Thể tích khối nón Đặt IH  x ,  π  27  x   27  x  x 2 a   18π Vmax  18π 27  x  x  x  2b   d I;    b2  Khi đó,  Vậy a  b  c  4    2b     b    b  2 2 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  27 Gọi ( ) mặt phẳng qua hai điểm A(0;0; 4) , B (2;0; 0) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn (C ) Xét khối nón có đỉnh tâm ( S ) đáy (C ) Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng ( ) có phương trình dạng ax  by  z  d  Tính P  a  b  d A P  4 B P  C P  D P  Lời giải Chọn D I  1; 2;3 Mặt cầu ( S ) có tâm bán kính R  3 a.0  b.0   d   d  4   a.2  b.0   d  a  Vì ( ) qua điểm A(0;0; 4) , B (2;0;0) nên ta có Gọi r , h bán kính đáy chiều cao khối nón Khi thể tích khối nón V   r 2h 26 Ta có h  d ( I , ( ))  R  r  27  r 2 V   r 27  r  2 2 Đặt t  27  r  r  27  t , điều kiện:  t  3 V    27  t  t  t  3 Khi ,   t   n  V     27  3t     t  3  l  Ta có Bảng biến thiên: Thể tích khối nón lớn t   r  18  h  a  2b   d h  d  I , ( )   3 2 a  b  Mặt khác a   2b    b2  b2  4b    b   mà d  4 Vậy P  a  b  d     S : x  1   y     z  3  16 Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu    điểm diện A  1;0;   P , B  1; 2;  với mặt cầu  S Gọi  P mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết có diện tích nhỏ Khi viết phương trình  P  : ax  by  cz   Tính T  a  b  c A B 3 C Lời giải Chọn B 27 D 2  P dạng I  1; 2;3 Mặt cầu có tâm bán kính R  A B Ta có , nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện S   r    R  IH  Ta có diện tích thiết diện IH Do diện tích thiết diện nhỏ lớn  P  qua A, B vng góc với IK Mà IH  IK suy uur KI   1;1;1 K 0;1;   IA  IB  Ta có suy K trung điểm AB Vậy P : x  1  y   z      x  y  z   Vậy    Vậy T  3 3 1 B ; ;  A  1; 2; 3 C  1;1;  D  5;3;  Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ,  2 2, , Gọi  S1  mặt cầu tâm A bán kính , nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm C , D A  S2  mặt cầu tâm  S1  ,  S2  B B bán kính Có bao đồng thời song song với đường thẳng qua C D Vô số Lời giải Chọn A Gọi    : x  ay  bz  c  mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán uuur uuur r uuur r r CD   4; 2; 4  CD //     CD  n  CD.n  n   1; a; b   ) ( vecto pháp tuyến   2a  4b   a  2b  (1)  tiếp xúc  S1  d  A;        tiếp xúc  S2  1 a  b 2    2a  3b  c   a  b (2) nên 3  a bc 2   3a  b  2c   a  b 2 1 a  b (3) 1  2a  3b  c   3a  b  2c  2a  3b  c   3a  b  2c   1  2a  3b  c  3  3a  b  2c Từ (2) (3) ta có d  B;       nên  2a  3b  c 2  28  a  2b  c   (1) 2b   2b  c   c  4b (4)    5a  4b  3c   10b  10  4b  3c   c   2b (5)   4b   3b  4b    2b    b  3b   5b2  8b  Từ (1), (2), (4) b   a  2; c  8  b  2b   5b  8b   4b  10b     b   a  1; c  2  2 2   4b   3b   2b    2b    b  b   5b  8b  Từ (1), (2), (5)  b  2b    5b  8b    44b  74b  44  Phương trình vơ nghiệm CD //    C, D        : x  y  2z   Mặt khác nên nên A  1; 2;1 B  3; 1;1 C  1; 1;1 S  Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Gọi mặt S  S  cầu có tâm A , bán kính 2; hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu A B C  S1  ,  S2  ,  S3  ? D Lời giải Chọn B  P Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: 2 ax  by  cz  d  ( đk: a  b  c  ) d  A;  P      d  B;  P     d  C;  P    Khi ta có hệ điều kiện sau:   a  2b  c  d 2  2 a  b  c   3a  b  c  d  a  2b  c  d  a  b  c  1  1  2  a b c    3a  b  c  d  a  b  c    a  b  c  d   1  a  b  c  d  a  b  c  3 2   a  b  c  Từ    3 3a  b  c  d   a  b  c  d ta có: 3a  b  c  d   a  b  c  d a    3a  b  c  d  a  b  c  d a  b  c  d  Với a  ta có:  2b  c  d  b  c  2     4b  c  d   2b  c  d  b  c       c  d   2b  c  d  b  c  d 29   c  d   c  d  0, b   c  d  4b, c  2 2b , có mặt phẳng Với a  b  c  d  ta có  b a    3b  a  b  c  3b  a         c  11 a 2  2a  a  b2  c 2 a  a  b  c    , có mặt phẳng thỏa mãn tốn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Câu 49: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxz , cho ba điểm A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) qua điểm M (2; 4;5) Biết mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  25 cắt mặt phẳng ( ABC ) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8 Giá trị biểu thức a  b  c A 40 C 20 B D 30 Lời giải Chọn A I H K M x y z   1 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) a b c r  1 1 n ; ;    1 a b c Vì mặt phẳng ( ABC ) qua điểm M (2; 4;5) nên có a b c có VTPT Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R  uuur Ta có: IM  (1; 2; 2) nên IM  (1) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( ABC ) Khi giao tuyến ( ABC ) với mặt cầu ( S ) đường trịn tâm H có chu vi 8 suy bán kính r  2 2 Ta có: IH  R  r    (2) Vì IH  ( ABC ) M  ( ABC ) nên IM  IH (3) Từ (1), (2) ta có IM  IH  Do (3) phải xảy đẳng thức hay M  H uuur Khi IM  ( ABC ) nên IM vectơ pháp tuyến ( ABC ) 30 1 a  k  1   2k b 1 uuur r  c  2k ( k  0)  n  k IM Suy   1 2k  8k  10k   k  20 Từ suy a  20, b  10, c  10 Vì a b c nên Vậy a  b  c  40 Câu 50: Cho A  0;8;  mặt cầu  S  : x  5 phương trình mặt phẳng  P A m.n  B m.n    y  3   z    72 2 điểm B  9;  7; 23 Viết  S  cho khoảng cách từ B qua A tiếp xúc với mặt cầu r n   1; m; n  P   P  Lúc đến mặt phẳng lớn Giải sử vectơ pháp tuyến C m.n  4 D m.n  2 Lời giải Chọn C P Cách 1:   qua điểm A  0;8;    P  : x  my  nz  8m  2n   có vectơ pháp tuyến r n   1; m; n   11m  5n 6  S  m2  n2 tiếp xúc với mặt cầu  15m  21n  11m  5n   4m  16n d  d  B;  P     2 1 m  n  m2  n2  P   11m  5n  m2  n2 4  m  4n  m2  n2 12   1  42  m  n 2  24  m2  n2  18 (Buinhiacôp xki)  m  1 1  d max  18      m.n  4 m n n   S Cách 2: Ta có IB, IA  R  A, B nằm mc  P  ), mp  P  tiếp xúc với mặt cầu (S) E Gọi H hình chiếu B xuống 31 Đường thẳng BI cắt (S) C , D BC  BD Ta có d  d  B,  P    BH  BE  BD  18  P  lớn H  E  D Để khoảng cách từ B đến mặt phẳng uur BI   4;  4;16  P  Khi đến mặt phẳng nhận vectơ pháp tuyến uur r  BI  kn  m  1; n   m.n  4 32 ... cho mặt phẳng abc  , xét điểm M  a; b; c  Mệnh đề sau đúng?  P A Điểm M thuộc mặt phẳng B Mặt phẳng  P  qua trung điểm đoạn OM C Mặt phẳng  P  qua hình chiếu M trục Ox D Mặt phẳng. ..  VTPT mặt phẳng Do đường thẳng  d mặt phẳng  P  góc mặt phẳng qua đường thẳng d tạo với nhỏ Khi dạng phương trình tổng quát a  b  d bằng: A d: uuur n     a; b;1 nằm mặt phẳng. .. điểm Mặt khác điểm nằm mặt phẳng phẳng r n   4;0; 1 D Q  2;1;  suy loại hai điểm N P Q có tọa độ thỏa phương trình mặt  P  P  : x  y  z   qua điểm Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

Ngày đăng: 01/11/2022, 09:49

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w