Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng kirchhoff carrier love phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ THỊ TUYẾT MAI KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KIRCHHOFF-CARRIER-LOVE PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ THỊ TUYẾT MAI KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KIRCHHOFF-CARRIER-LOVE PHI TUYẾN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: TS Đỗ Đức Tân Phản biện 3: TS Lê Phương Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Hội Nghĩa Phản biện độc lập 2: TS Lê Phương NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Anh Triết TS Nguyễn Thành Long TP Hồ Chí Minh – 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học hồn thành hướng dẫn Thầy Nguyễn Anh Triết Nguyễn Thành Long Nội dung luận án viết sở nội dung báo công bố Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Các báo đồng tác giả, đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án Tác giả luận án Võ Thị Tuyết Mai i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý Thầy Nguyễn Anh Triết Nguyễn Thành Long tận tình hướng dẫn Q Thầy tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Kính gửi đến PGS TS Lê Thị Phương Ngọc, TS Nguyễn Hữu Nhân lòng biết ơn chân thành, mà Quý Thầy Cô đọc luận án cho ý kiến đóng góp xác đáng quý báu giúp tơi hiểu sâu Tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn, cấp sở Đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, cho nhận xét bổ ích giúp tơi hồn thiện tốt luận án Tơi vơ biết ơn Q Thầy Cơ ngồi Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho tơi suốt q trình học trường Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Q Thầy Cơ phịng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành chương trình học Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường, Phịng Ban trường Đại học Tài Nguyên Môi Trường Tp Hồ Chí Minh Anh Chị đồng nghiệp trường lời cảm ơn sâu sắc hỗ trợ nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình Nghiên cứu sinh Tôi chân thành cảm ơn Thầy Cơ, Anh Chị, Bạn thuộc nhóm Seminar đặc biệt PGS TS Lê Thị Phương Ngọc, TS Nguyễn Hữu Nhân, TS Nguyễn Tuấn Duy, NCS Lê Hữu Kỳ Sơn, NCS Đoàn Thị Như Quỳnh, NCS Bùi Đức Nam, ThS Nguyễn Vũ Dzũng, , mà không kể hết đây, đóng góp ý kiến kinh nghiệm quý báu nhiều buổi sinh hoạt học thuật định kỳ Cuối cùng, xin dành lời thân thương gửi đến thành viên gia đình tơi, người ln bên tơi lúc khó khăn, động viên, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để học tập ii Mục lục Danh sách ký hiệu Phần tổng quan 13 Các không gian hàm thông dụng 13 Chương 1.1 Bổ túc công cụ 1.2 Không gian ∞ 14 1.3 Bổ đề tính compact Lions 15 1.4 Bổ đề hội tụ yếu 15 16 2.1 Thành lập giả thiết 16 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 18 2.3 Sự hội tụ thuật giải nghiệm yếu 28 2.4 Một trường hợp riêng 33 Kết luận chương 34 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu 35 3.1 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo tham số bé 37 3.2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo p tham số bé 51 Kết luận chương 67 Tính bùng nổ tắt dần mũ nghiệm 68 Trường hợp khơng có số hạng Kirchhoff 68 4.1.1 Tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn 69 4.1.2 Tính tắt dần mũ nghiệm yếu 77 Trường hợp có số hạng Kirchhoff 85 4.2.1 Tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn 86 4.2.2 Tính tắt dần mũ nghiệm yếu 92 Chương Chương Chương 4.1 4.2 4.3 Lp (0, T; X ), p Sự tồn nghiệm yếu Trường hợp có hai số hạng Kirchhoff 100 4.3.1 Tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn 101 4.3.2 Tính tắt dần mũ nghiệm yếu 108 iii Kết luận chương 118 Kết luận 119 Danh mục cơng trình tác giả 121 Tài liệu tham khảo 122 iv Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp thông dụng N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên R Tập hợp số thực Z+ Tập hợp số nguyên không âm R+ = [0, ∞) Tập hợp số thực không âm Ω = (0, 1) , Q T = Ω (0, T ), với T > Ký hiệu đạo hàm u (t) = u ( x, t) ∂u u˙ (t) ut (t) = u0 (t) = ( x, t) ∂t ∂2 u uă (t) utt (t) = u00 (t) = ( x, t) ∂t ∂u u x (t) ru (t) = ( x, t) ∂x ∂2 u u xx (t) ∆u (t) = ( x, t) ∂x kf ∂ Dik f = k ∂xi ∂jαj f N D α f = α1 , với α = (α1 , , α N ) Z+ ∂x1 ∂x αNN Ký hiệu đa số, đơn thức nhiều biến N , x = ( x , Cho đa số α = (α1 , , α N ) Z+ > + α N , α! = α1 ! α N !, < j α j = α1 + α α x α = x1 x NN = đơn thức bậc jαj , > : N, α α, β Z+ β () αi βi 8i = 1, Cho đa số α = (α1 , p , α p ) Z+ , ~ε = (ε1 , > + α p , α! = α1 ! α p !, j α j = α1 + > > > < q αp + ε2p , ~εα = ε1α1 εp , k~εk = ε21 + > > > > : α, β Z p , α β () α βi 8i = 1, i + , x N ) R N , ta đặt , N , ε p ) R p , ta đặt , p Phần tổng quan Vào kỷ XVIII, nhà toán học Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827) tiên phong việc nghiên cứu Phương trình đạo hàm riêng Các cơng trình cơng cụ quan trọng để mô tả tượng thực tế vật lý học Từ đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phát triển khơng ngừng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực tốn học lý thuyết toán ứng dụng, làm thúc đẩy phát triển ý tưởng toán học nhiều lĩnh vực Một toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà tốn học tốn giá trị biên cho phương trình sóng phi tuyến có không chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với loại điều kiện biên khác xuất Khoa học kỹ thuật, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Việc tìm nghiệm tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng thúc đẩy phát triển nhiều kết lý thuyết giải tích hàm như: lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , đồng thời phát triển phương pháp giải tích số như: phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Tuy nhiên chưa có phương pháp chung để giải toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Việc lựa chọn phương pháp phù hợp để nghiên cứu toán yếu tố quan trọng Chính vậy, vấn đề khảo sát toán biên, đặc biệt toán biên phi tuyến cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết việc nghiên cứu số tốn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, mà cụ thể tập trung nghiên cứu số toán biên phi tuyến cho phương trình Kirchhoff-Carrier-Love i ∂ h 2 2 utt B1 x, t, u, kuk , ku x k , kut k , ku xt k u x ∂x i ∂ h B2 x, t, u, kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 u xt ∂x i ∂ h B3 x, t, u, kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 u xtt ∂x = F x, t, u, u x , ut , u xt , kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 i ∂ h G x, t, u, u x , ut , u xt , kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 , ∂x (1) < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện biên Dirichlet u(0, t) = u(1, t) = 0, (2) u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (3) điều kiện đầu hàm u˜ , u˜ , B1 , B2 , B3 , F, G cho trước Trong phương trình (1) số hạng phi tuyến có chứa tích phân kuk = k u t k2 = Z 2 u ( x, t) dx, ku x k = u2t ( x, t) dx, ku xt k2 = Z Z u2x ( x, t) dx, Z (4) u2xt ( x, t) dx Tương ứng với B1 = c2 , Bi (i = 2, 3), F = G 0, vào năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu dao động bé sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đề nghị mơ hình tốn học dạng phương trình sóng utt = c2 u xx , (5) c2 số dương, u ( x, t) độ lệch sợi dây so với vị trí cân điểm x thời điểm t Cũng mô tả dao động bé sợi dây đàn hồi, phương trình khác thiết lập Kirchhoff vào năm 1876 (xem [79]) ρhutt = P0 + Eh 2L Z L u2x ( x, t)dx u xx , (6) u độ lệch sợi dây so với vị trí cân bằng, L chiều dài sợi dây, h diện tích thiết diện ngang sợi dây, E module Young vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ khối lượng riêng P0 lực căng ban đầu sợi dây Phương trình nới rộng phương trình sóng cổ điển D’Alembert (5) mà có xét đến ảnh hưởng biến đổi chiều dài sợi dây trình dao động Tương ứng với B1 = B1 (kuk ) = B1 Z L u2 (y, t)dy Z L u2 (y, t)dy u xx , = P0 + P1 Z L u2 (y, t)dy, Bi (i = 2, 3), F = G 0, năm 1945 từ việc nghiên cứu dao động bé sợi dây đàn hồi, Carrier [4], thiết lập phương trình dạng utt = P0 + P1 (7) P0 , P1 số dương có ý nghĩa Cơ học Năm 1978, V Radochová [61] thiết lập phương trình mơ tả dao động theo chiều dọc (gọi phương trình Love), có dạng utt E u xx ρ 2µ2 k2 u xxtt = 0, (8) mà (8) thành lập từ phương trình biến phân Euler phiếm hàm lượng Z T Z L 1 dt Fρ u2t + µ2 k2 u2tx F Eu2x + ρµ2 k2 u x u xtt dx, (9) 2 0 đó, tham số (9) có ý nghĩa sau: u độ dịch chuyển, L độ dài thanh, F diện tích mặt cắt ngang, k bán kính mặt cắt ngang, E module Young vật liệu ρ mật độ khối lượng Bằng cách sử dụng phương pháp Fourier, Radochová [61] thu nghiệm cổ điển Bài toán (8) liên kết với điều kiện ban đầu (3) điều kiện biên u(0, t) = u( L, t) = 0, hay < u(0, t) = 0, : λu ( L, t) + c2 u ( L, t) = 0, xtt x (10) (11) E , λ = 2µ2 k2 Mặt khác, dáng điệu tiệm cận nghiệm Bài toán (3), (8), ρ (10) (3), (8), (11) λ ! 0+ thiết lập Phương trình sóng Love hay phương trình sóng kiểu Love nghiên cứu nhiều tác giả, xin trích dẫn tài liệu tham khảo [5], [15], [52], tài liệu tham khảo đó, chẳng hạn năm 1984, C E Seyler D L Fenstermacher [65] đưa mơ hình dùng để mơ tả sóng âm sóng điện từ truyền khơng c2 = điều dẫn đến 2)b1 p ku x (t)k2 + d˜1 ku x (t)k L p , 8t [0, T1 ] 2p (4.3.63) Kết hợp (4.3.58)(i) , (4.3.63) áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta thu E˜ (t) u (t) 2 + b3 u0x (t) + (p 2p E˜ (t) 2pE = R2 , ( p 2)b1 ( p 2)b1 ˜ E(t) E , 8t [0, T1 ] d˜1 d˜1 ku x (t)k2 p ku x (t)k L p (4.3.64) Mặt khác, từ giả thiết ( F [3,d] , (iii )), (4.3.55), (4.3.64) ta suy p Z pd¯2 (4.3.65) F1 (u( x, t), u x ( x, t)) dx Z ju( x, t)jq + ju( x, t)jα + ju x ( x, t)j β dx pd¯2 ku x (t)kq = pd¯2 ku x (t)k q Z 1 + ju( x, t)jα + ju x ( x, t)j β dx β + ku x (t)kα + ku x (t)k L β pd¯2 ku x (t)kq + ku x (t)kα + ku x (t)k L p β pd¯2 ku x (t)kq pd¯2 R q + ku x (t)kα + ku x (t)k L p ku x (t)k2 β E pA 2@ + Rα + ku x (t)k2 ˜ d1 β Do ta suy I (t) ( g u0 )(t) + η ku x (t)k2 0, 8t [0, T1 ] Lý luận giống ta thu T∞ = sup f T > : I (t) > 0, 8t [0, T ]g = +∞, ta có I (t) > 0, 8t Bước 3: Đánh giá tắt dần mũ Đầu tiên, ta ý rằng, với δ đủ nhỏ, tồn số dương β¯ , β¯ cho β¯ E1 (t) L(t) β¯ E1 (t), 8t (4.3.66) 0, E1 (t) = ( g u0 )(t) + u0 (t) + Z kux (t)k2 + u0x (t) B1 (z)dz + I (t) 115 p + ku x (t)k2 + ku x (t)k L p (4.3.67) Thật vậy, ta có L(t) = u (t) 2 + q p (4.3.68) + d˜1 ku x (t)k L p " # Z kux (t)k2 p + ( g u )(t) + B1 (z)dz + I (t) 2p p " # Z kux (t)k2 λ +δ hu0 (t), u(t)i + h B3 (t)u0x (t), u x (t)i + ku(t)k2 + B2 (z)dz 2 B3 (t)u0x (t) Mặt khác, , ku x (t)k2 + u0 (t) 2 b u0x (t) + ku x (t)k2 hu(t), u0 (t)i h B3 (t)u0x (t), u x (t)i (4.3.69) Khi đó, L(t) u (t) + " p + (g 2p b3 u0x (t) u0 )(t) + p + d˜1 ku x (t)k L p # Z kux (t)k B1 (z)dz + (4.3.70) 1 I (t) + I (t) 2p 2p δ δ 2 u0x (t) + ku x (t)k2 b ku x (t)k2 + u0 (t) 2 b3 δb3 δ 2 p u (t) + u0x (t) + d˜1 ku x (t)k L p 2 Z p kux (t)k p ( g u )(t) + B1 (z)dz + 2p 2p 1 η + I (t) + δ (1 + b3 ) ku x (t)k2 2p p β¯ E1 (t), δ đủ nhỏ cho δb3 ˜ p η δ b3 , , d1 , , 2 2p p ) ( η b3 < δ < 1, , b3 p + b3 β¯ = 116 δ (1 + b3 ) , d˜1 , 2p > 0, (4.3.71) [3,d] Tương tự, ( B2 , (iii )) (4.3.69) (1 + δ) b3 1+δ 2 p u (t) + u x (t) + d˜1 ku x (t)k L p 2 Z kux (t)k2 p p δb¯ 21 + ( g u )(t) + + B1 (z)dz 2p 2p δ (1 + λ + b3 ) + I (t) + ku x (t)k2 p β¯ E1 (t), L(t) + δ (1+δ)b3 ˜ p δb¯ 21 δ (1 + λ + b3 ) , + , , d1 , 2 2p 2 Tiếp theo, ta chứng minh hàm Ψ(t) thỏa β¯ = max 0 Ψ (t) u (t) χ1 + + σ23 b3 + 2ε2 d2 p ! Z kux (t)k2 u0x (t) > (4.3.73) B1 (z)dz d2 δ2 d2 (1 δ2 ) η I (t) p p p d2 d˜1 ku x (t)k L p + k f (t)k2 , 2ε2 d2 ( g u0 )(t) p (4.3.72) ε2 ku x (t)k2 với ε2 > 0, δ2 (0, 1) Kết (4.3.73) với chứng minh trình bày sau Nhân phương trình (4.3.1)1 u( x, t) lấy tích phân [0, 1], ta thu Ψ0 (t) = u0 (t) ku x (t)k2 B1 ku x (t)k2 + q B3 (t)u0x (t) (4.3.74) +h B30 (t)u0x (t), u x (t)i + h F (u(t), u x (t)) , u(t)i +h G (u(t), u x (t)) , u x (t)i + h f (t), u(t)i Hơn nữa, ( F [3,d] , (ii )) ta có (4.3.75) h F (u(t), u x (t)) , u(t)i + h G (u(t), u x (t)) , u x (t)i d2 = d2 Z F (u( x, t), u x ( x, t)) dx Z " F1 (u( x, t), u x ( x, t)) dx d = ( g u0 )(t) + p Z kux (t)k2 p d˜1 ku x (t)k L p # B1 (z)dz 117 I (t) p d2 d˜1 ku x (t)k L p " # Z kux (t)k2 d2 = ( g u0 )(t) + B1 (z)dz p d2 δ2 I (t) p " d2 (1 d2 δ2 I (t) p d2 (1 p d2 ( g u0 )(t) + p [3,d] Do ( B1 [3,d] , (ii )) ( B2 ku x (t)k B1 ku x (t)k q p d2 d˜1 ku x (t)k L p # I (t) Z kux (t)k2 B1 (z)dz δ2 ) η p d2 d˜1 ku x (t)k L p ku x (t)k2 p ) ta có B3 (t)u0x (t) δ2 ) χ1 Z kux (t)k2 b3 u0x (t) h B30 (t)u0x (t), u x (t)i (4.3.76) B1 (z)dz, , B30 (t)u0x (t) σ23 u0x (t) 2ε2 ku x (t)k + ε2 ku x (t)k2 , ε2 ku x (t)k2 + k f (t)k2 , 2ε2 h f (t), u(t)i với ε2 > 0, δ2 (0, 1) Kết hợp (4.3.74) - (4.3.76), suy (4.3.73) Từ đánh giá (4.3.58)(ii) (4.3.73) cho ta L0 (t) λ " b2 ε1 λ¯ δ δ χ1 δd2 δ2 I (t) p δ σ23 b3 + 2ε2 d2 p u0 (t) !# Z kux (t)k u0x (t) k¯ δd2 p δ ( g u0 )(t) d2 (1 δ2 ) η p (4.3.77) ε2 ku x (t)k2 B1 (z)dz p δd2 d˜1 ku x (t)k L p + δ + ε1 ε2 k f (t)k2 , với δ, ε1 , ε2 > 0, δ2 (0, 1) d2 (1 δ2 ) η d2 η Bởi lim ε2 = > 0, ta chọn ε2 > 0, δ2 (0, 1) p p δ2 !0+ , ε2 !0+ cho d2 (1 δ2 ) η θ1 = ε2 > (4.3.78) p 118 Sau ta chọn δ, ε1 > cho θ = b2 δ λ¯ θ3 = λ σ23 b3 + 2ε2 ε1 ! (4.3.79) > 0, δd2 > p δ > 0, θ = k¯ Mặt khác, ta có δ + ε1 ε2 k f (t)k2 δ + ε1 ε2 C¯ exp( η¯ t) = C˜ e η¯ t , (4.3.80) 1 δ ¯ C˜ = + C‘ ε1 ε2 Từ (4.3.77) - (4.3.80), ta có tồn số C˜ , η¯ cho L0 (t) β¯ E1 (t) + C˜ e γ¯ L (t) + C˜ e η¯ t η¯ t β¯ L (t) + C˜ e β¯ η¯ t (4.3.81) , β¯ = δθ , θ , θ , θ , δ χ1 < γ¯ < d2 p , δd2 δ2 , δd2 d˜1 , p β¯ , η¯ β¯ Mặt khác ta có L(t) β¯ E1 (t) β¯ h u0 (t) H01 i p + ku x (t)k2 + ku x (t)k L p (4.3.82) Suy Định lý 4.3.3 chứng minh xong Kết luận chương Chương thu kết tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t ! ∞ cho toán thuộc dạng (1) - (3) ba trường hợp vế trái khơng có số hạng Kirchhoff (kết cơng bố [M2]), có số hạng Kirchhoff (kết công bố [M3]), có hai số hạng Kirchhoff [M4] (kết gửi đăng) Trường hợp vế trái có nhiều hai số hạng Kirchhoff chưa giải 119 Kết luận Trong luận án, sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phù hợp để nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm lớp tốn biên cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier-Love phi tuyến liên kết với điều kiện biên Dirichlet Những kết trình bày luận án bao gồm: Bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin kết hợp với phương pháp điểm bất động phép nhúng compact với bước đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-CarrierLove có dạng i ∂ h 2 2 B1 x, t, u, kuk , ku x k , kut k , ku xt k u x utt ∂x i ∂ h B2 x, t, u, kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 u xt ∂x i ∂ h B3 x, t, u, kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 u xtt ∂x = F x, t, u, u x , ut , u xt , kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 i ∂ h G x, t, u, u x , ut , u xt , kuk2 , ku x k2 , kut k2 , ku xt k2 , ∂x (1) < x < 1, < t < T, với điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), u˜ , u˜ , B1 , B2 , B3 , F, G hàm số cho trước Với phương pháp kết thu cho trường hợp B2 = Khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo tham số ε đến cấp N + toán Dirichlet cho phương trình utt B1 ku x k2 , ku xt k2 u xx B3 ku x k2 , ku xt k2 u xxtt (2) = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ) + ε f ( x, t, u, u x , ut , u xt ), < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo p tham số~ε = ε1 , 120 , ε p đến cấp N + toán Dirichlet cho phương trình B~ε ku x k2 , ku xt k2 (u xx + u xxtt ) = f~ε ( x, t, u, u x , ut , u xt ), utt (3) < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), B~ε ku x k , ku xt k 2 = B ku x k , ku xt k p + ∑ εi Bi ku x k2 , ku xt k2 , i =1 p f~ε ( x, t, u, u x , ut , u xt ) = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ) + ∑ εi f i ( x, t, u, u x , ut , u xt ) i =1 Kết bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn tắt dần mũ nghiệm t ! ∞ cho lớp toán thuộc dạng (1) với điều kiện biên Dirichlet thiết lập nhờ xây dựng phiếm hàm phù hợp trường hợp sau: 4.1 Phương trình khơng chứa số hạng Kirchhoff ∂ ∂ ∂ [ B1 ( x, t) u x ] [ B2 ( x, t) u xt ] [ B3 ( x, t) u xtt ] + λut ∂x ∂x ∂x ∂ = F (u, u x ) ( G (u, u x )) + f ( x, t), < x < 1, < t < T ∂x utt (4.1) 4.2 Phương trình chứa số hạng Kirchhoff utt B1 ku x k2 u xx = F (u, u x ) ∂ ( B2 ( x, t) u xt ) ∂x ∂ ( B3 ( x, t) u xtt ) + λut ∂x (4.2) ∂ ( G (u, u x )) + f ( x, t), < x < 1, < t < T ∂x 4.3 Phương trình chứa hai số hạng Kirchhoff i ∂ h 2 utt B1 ku x k u x + B2 ku x k utx + B3 ( x, t) uttx + λut ∂x ∂ = F (u, u x ) ( G (u, u x )) + f ( x, t), < x < 1, < t < T ∂x (4.3) Tuy nhiên, trường hợp phương trình có ba số hạng Kirchhoff Bi = Bi ku x k2 , (i = 1, 2, 3) cịn tốn mở nghiên cứu 121 Danh mục cơng trình tác giả [M1] Nguyen Anh Triet, Vo Thi Tuyet Mai, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2017), A Dirichlet problem for a nonlinear wave equation of Kirchhoff-Love type, Nonlinear Funtional Analysis and Applications, 22 (3) (2017) 595-626 (Scopus, Q3) http:// nfaa.kyungnam.ac.kr/journal-nfaa/index.php/NFAA/article/view/989 [M2] Nguyen Anh Triet, Vo Thi Tuyet Mai, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2018), Existence, blow-up and exponential decay for the Kirchhoff-Love equation associated with Dirichlet conditions, Electronic Journal of Differential Equations, 2018 (167) (2018) pp 1-26 (SCI-E) https:// ejde.math.txstate.edu/Volumes/2018/167//triet.pdf [M3] Vo Thi Tuyet Mai, Nguyen Anh Triet, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2020), Existence, blow-up and exponential decay for a nonlinear Kirchhoff-Carier-Love equation with Dirichlet conditions, Nonlinear Funtional Analysis and Applications, 25 (4) (2020) 617-655 (Scopus, Q3) http://nfaa.kyungnam.ac.kr/journal-nfaa/index.php/NFAA/article/view/1338 [M4] Vo Thi Tuyet Mai, Nguyen Anh Triet, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Blow-up and exponential decay of Dirichlet problem for a nonlinear KirchhoffLove equation (Bài gửi đăng) 122 Tài liệu tham khảo [Tiếng Anh] [1] J Albert (1989), On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations, J Math Anal Appl 141 (2) (1989) 527-537 [2] C J Amick, J L Bona, M E Schonbek (1989), Decay of solutions of some nonlinear wave equations, J Diff Equat 81 (1) (1989) 1-49 [3] Haim Brezis (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010 [4] G F Carrier (1945), On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Quart J Appl Math (1945) 157-165 [5] A Chattopadhyay, S Gupta, A K Singh, S A Sahu (2009), Propagation of shear waves in an irregular magnetoelastic monoclinic layer sandwiched between two isotropic half-spaces, International Journal of Engineering, Science and Technology, (1) (2009) 228-244 [6] P A Clarkson (1989), New similarity reductions and Painlevé analysis for the symmetric regularised long wave and modified Benjamin-Bona-Mahoney equations, J of Physics A, 22 (18) (1989) 3821-3848 [7] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano (2001), Global existence and uniform decay rates for the Kirchhoff-Carrier equation with nonlinear dissipation, Adv Diff Equat (6) (2001) 701-730 [8] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano (2002), Exponential decay for the solution of semilinear viscoelastic wave equations with localized damping, Electronic J Diff Equat 2002 (44) (2002) pp 1-14 [9] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano (2004), Global existence and asymptotic stability for the nonlinear and generalized damped extensible plate equation, Commun Contemp Math (5) (2004) 705-731 123 [10] M M Cavalcanti, U V N Domingos Cavalcanti, J S Prates Filho (1998), Existence and exponential decay for a Kirchhoff Carrier model with viscosity, J Math Anal Appl 226 (1998) 40-60 [11] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano, L A Medeiros (2000), On the existence and the uniform decay of a hyperbolic equation with nonlinear boundary conditions, Southeast Asian Bulletin of Math 24 (2000) 183-199 [12] R R Carvalho, M Milla Miranda (2010), The existence and decay of solutions of a damped Kirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Nonlinear Anal TMA 73 (2010) 2101-2116 [13] Kun Cheng, Qi Gao (2018), Sign-changing solutions for the stationary Kirchhoff problems involving the fractional Laplacian in R N , Acta Math Scientia, 38 (2018) 17121730 [14] Igor Chueshov (2012), Long-time dynamics of Kirchhoff wave models with strong nonlinear damping, J Diff Equat 252 (2012) 1229-1262 [15] Subhas Dutta (1972), On the propagation of Love type waves in an infinite cylinder with rigidity and density varying linearly with the radial distance, Pure and Applied Geophysics, 98 (1) (1972) 35-39 [16] Guowei Dai, Ruyun Ma (2011), Solutions for a p(x)-Kirchhoff type equation with Neumann boundary data, Nonlinear Anal RWA 12 (2011) 2666-2680 [17] Y Ebihara, L A Medeiros, M M Miranda (1986), Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal 10 (1986) 27-40 [18] Marina Ghisi, Massimo Gobbino (2012), Hyperbolic-parabolic singular perturbation for mildly degenerate Kirchhoff equations: Decay error estimates, J Diff Equat 252 (2012) 6099-6132 [19] Zina Far, Abderrazek Chaoui, Khaled Zennir (2020), Blow up of solutions for coupled system of Love-equations with internal infinite memories, PanAmerican Math J 30 (2) (2020) 55-68 [20] M Hosoya, Y Yamada (1991), On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA, Math 38 (1991) 225-238 [21] Yijun He, Huaihong Gao, Hua Wang (2018), Blow-up and decay for a class of pseudoparabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity, Computers & Math with Appl 75 (2018) 459-469 124 [22] R Izaguirre, R Fuentes, M Milla Miranda (2008), Existence of local solutions of the Kirchhoff-Carrier equation in Banach spaces, Nonlinear Anal TMA 68 (2008) 35653580 [23] Jiahua Jin, Xian Wu (2010), Infinitely many radial solutions for Kirchhoff-type problems in R N , J Math Anal Appl 369 (2010) 564-574 [24] N A Larkin (2002), Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation, Mathematical Prob in Eng (2002) 15-31 [25] I Lasiecka, J Ong (1999), Global solvability and uniform decays of solutions to quasilinear equation with nonlinear boundary dissipation, Communications in Partial Diff Equat 24 (11-12) (1999) 2069-2108 [26] J L Lions (1978), On some questions in boundary value problems of mathematical physics, in: G de la Penha, L A Medeiros (Eds.), International Symposium on Continuum, Mechanics and Partial Differential Equations, Rio de Janeiro 1977, Mathematics Studies, Vol 30, North-Holland, Amsterdam, 1978, pp 284-346 [27] Duchao Liu, Peihao Zhao (2012), Multiple nontrivial solutions to a p-Kirchhoff equation, Nonlinear Anal TMA 75 (2012) 5032-5038 [28] Wenjun Liu, Jun Yu (2011), On decay and blow-up of the solution for a viscoelastic wave equation with boundary damping and source terms, Nonlinear Anal TMA 74 (2011) 2175-2190 [29] N T Long (2001), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA 45 (2001) 261-272 [30] N T Long (2005), On the nonlinear wave equation utt B(t, kuk2 , ku x k2 )u xx = f ( x, t, u, u x , ut , kuk2 , ku x k2 ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-268 [31] N T Long, A P N Dinh, T N Diem (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002) 116-134 [32] N T Long, A P N Dinh, T N Diem (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Boundary Value Probl 2005 (3) 337-358 [33] N T Long, L X Truong (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Anal TMA 67 (3) (2007) 842-864 125 [34] N T Long, L T P Ngoc (2012), On a nonlinear wave equation with boundary conditions of two-point type, J Math Anal Appl 385 (2) (2012) 1070-1093 [35] V G Makhankov (1978), Dynamics of classical solitons (in nonintegrable systems), Physics Reports C 35 (1) (1978) 1-128 [36] L A Medeiros (1994), On some nonlinear perturbation of Kirchhoff-Carrier operator, Comp Appl Math 13 (1994) 225-233 [37] L A Medeiros, J Limaco, S B Menezes (2002), Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part one, J Comput Anal Appl (2) (2002) 91-127 [38] L A Medeiros, J Limaco, S B Menezes (2002), Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part two, J Comput Anal Appl (3) (2002) 211-263 [39] Miranda, M Milla; Jutuca, L P San Gil (1999), Existence and boundary stabilization of solutions for the Kirchhoff equation, Communications in Partial Diff Equat 24 (9-10) (1999) 1759-1800 [40] G P Menzala (1980), On global classical solutions of a nonlinear wave equation, Appl Anal 10 (1980) 179-195 [41] Salim A Messaoudi, Belkacem said-Houari, Nasser_eddine Tatar (2007), Global existence and asymptopic behavior for a fractional differential equation, Applied Math and Comput 188 (2007) 1955-1962 [42] Mitsuhiro Nakao (2009), An attractor for a nonlinear dissipative wave equation of Kirchhoff type, J Math Anal Appl 353 (2009) 652-659 [43] L T P Ngoc, L N K Hang, N T Long (2009), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Anal TMA 70 (11) (2009) 3943-3965 [44] L T P Ngoc, L K Luan, T M Thuyet, N T Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Anal TMA 71 (11) (2009) 5799-5819 [45] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2014), Existence and properties of solutions of a boundary problem for a Love’s equation, Bulletin of the Malaysian Math Sci Soc 37 (4) (2014) 997-1016 [46] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2013), A linear recursive scheme associated with the Love’s equation, Acta Math Viet 38 (4) (2013) 551-562 126 [47] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2015), On a high-order iterative scheme for a nonlinear Love equation, Applications of Math 60 (3) (2015) 285-298 [48] L T P Ngoc, N T Long (2013), Existence and exponential decay for a nonlinear wave equation with a nonlocal boundary condition, Communications on Pure and Appl Anal 12 (5) (2013) 2001-2029 [49] L T P Ngoc, N T Long (2016), Existence, blow-up and exponential decay for a nonlinear Love equation associated with Dirichlet conditions, Applications of Math 61 (2) (2016) 165-196 [50] T Ogino, S Takeda (1976), Computer simulation and analysis for the spherical and cylindrical ion-acoustic solitons, J of the Physical Society of Japan, 41 (1) (1976) 257264 [51] Kosuke Ono (1997), On global solutions and blow-up solutions of nonlinear Kirchhoff strings with nonlinear dissipation, J Math Anal Appl 216 (1997) 321-342 [52] Mrinal K Paul (1964), On propagation of love-type waves on a spherical model with rigidity and density both varying exponentially with the radial distance, Pure and Applied Geophysics, 59 (1) (1964) 33-37 [53] J Y Park, J J Bae, I H Jung (2002), Uniform decay of solution for wave equation of Kirchhoff type with nonlinear boundary damping and memory term, Nonlinear Anal TMA 50 (2002) 871-884 [54] J Y Park, J J Bae (2002), On coupled wave equation of Kirchhoff type with nonlinear boundary damping and memory term, Applied Math Comput 129 (2002) 87-105 [55] Ning Pan, Binlin Zhang, Jun Cao (2017), Degenerate Kirchhoff-type diffusion problems involving the fractional p-Laplacian, Nonlinear Anal RWA 37 (2017) 56-70 [56] Paolo Antonelli, Pierangelo Marcati, Hao Zheng (2019), Stability for the quadratic derivative nonlinear Schrăodinger equation and applications to the Korteweg-Kirchhoff type Euler equations for quantum hydrodynamics, Nonlinear Anal 186 (2019) 209218 [57] Amir Peyravi (2017), General decay and blow up of solutions for a system of viscoelastic wave equations with nonlinear boundary source terms, J Math Anal Appl 451 (2017) 1056-1076 [58] S I Pohozaev (1975), On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math USSR Sb 25 (1975) 145-158 127 [59] Patrizia Pucci, Sara Saldi (2017), Asymptotic stability for nonlinear damped Kirchhoff systems involving the fractional p-Laplacian operator, J Diff Equat 263 (2017) 23752418 [60] Patrizia Pucci, Vicen¸tiu D Rădulescu (2019), Progress in Nonlinear Kirchhoff Problems, Nonlinear Anal 186 (2019) 1-5 [61] Vˇera Radochová, Remark to the comparison of solution properties of Love’s equation with those of wave equation, Applications of Math 23 (3) (1978) 199-207 [62] T N Rabello, M C C Vieira, C L Frota, L A Medeiros (2003), Small vertical vibrations of strings with moving ends, Rev Mat Complutent 16 (2003) 179-206 [63] M L Santos, J Ferreira, D C Pereira, C.A Raposo (2003), Global existence and stability for wave equation of Kirchhoff type with memory condition at the boundary, Nonlinear Anal TMA 54 (2003) 959-976 [64] M L Santos (2001), Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at the boundary, Electronic J Diff Equat 2001 (73) 1-11 [65] C E Seyler, D L Fenstermacher (1984), A symmetric regularized-long-wave equation, Physics of Fluids, 27 (1) (1984) 4-7 [66] F R D Silva, J M S Pitot, A Vicente (2016), Existence, Uniqueness and exponential decay of solutions to Kirchhoff equation in Rn , Electronic J Diff Equat 2016 (247) (2016) pp 1-27 [67] R E Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat Monograph 01, 1994 [68] N A Triet, L T P Ngoc, N T Long (2010), On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with Robin conditions, Nonlinear Anal RWA 11 (5) (2010) 33633388 [69] N A Triet, L T P Ngoc, N T Long (2012), A mixed Dirichlet-Robin problem for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation, Nonlinear Anal RWA 13 (2) (2012) 817839 [70] L X Truong, L T P Ngoc, A P N Dinh, N T Long (2011), Existence, blow-up and exponential decay estimates for a nonlinear wave equation with boundary conditions of two-point type, Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011) 6933-6949 [71] L X Truong, L T P Ngoc, N T Long (2009), The n-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Math Comp 215 (2009) 1908-1925 128 [72] Renhui Wan, Yong Zhou (2015), On global existence, energy decay and blow-up criteria for the Hall-MHD system, J Diff Equat 259 (2015) 5982-6008 [73] Shun-Tang Wu (2012), On decay and blow-up of solutions for a system of nonlinear wave equations, J Math Anal Appl 394 (2012) 360-377 [74] Guangyu Xu, Jun Zhou (2019), Global existence and blow-up of solutions to a class of nonlocal parabolic equations, Computers & Math with Appl 78 (2019) 979-996 [75] Z Yang, Z Gong (2016), Blow-up of solutions for viscoelastic equations of Kirchhoff type with arbitrary positive initial energy, Electronic J Diff Equat 2016 (332) (2016) pp 1-8 [76] Yang Zhijian, Li Xiao (2011), Finite-dimensional attractors for the Kirchhoff equation with a strong dissipation, J Math Anal Appl 375 (2011) 579-593 [Tiếng Pháp] [77] Jacqueline Boujot, Alain Pham Ngoc Dinh, Jean-Pierre Veyrier (1980), Oscillateurs harmoniques faiblement perturbés: L’algorithme numérique des "par de géants" RAIRO, Analyse Numérique 14 (1) (1980) 3-23 [78] J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 [Tiếng Đức] [79] G R Kirchhoff (1876), Vorlesungen uber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, ă Leipzig, 1876, Section 29.7 129 ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ THỊ TUYẾT MAI KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KIRCHHOFF- CARRIER- LOVE PHI TUYẾN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn... kết chúng tơi việc nghiên cứu số tốn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, mà cụ thể tập trung nghiên cứu số tốn biên phi tuyến cho phương trình Kirchhoff- Carrier- Love i ∂ h 2 2 utt B1 x, t, u,... ý tưởng toán học nhiều lĩnh vực Một tốn thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà tốn học tốn giá trị biên cho phương trình sóng phi tuyến có khơng chứa số hạng