Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG THỊ NHẠN KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH GIẢ PARABOLIC PHI TUYẾN Ngành: Tốn giải tích Mã số ngành: 62460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2021 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Người hướng dẫn khoa học: HDC: TS Nguyễn Thành Long HDP: TS Trần Minh Thuyết Phản biện 1:PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS.TS Ngô Quốc Anh Phản biện 3: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện độc lập 1: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện độc lập 2: PGS.TS Ngô Quốc Anh Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, vào hồi … …, ngày tháng 10 năm 2021 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM - Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Tổng quan Xuất phát từ nghiên cứu Vật lý Cơ học, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hình thành vào khoảng kỷ XVIII khơng ngừng phát triển Các tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phi tuyến xuất nhiều khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, thu hút quan tâm, nghiên cứu sâu rộng đơng đảo nhà khoa học Từ đó, đời lý thuyết đặt móng cho việc giải mơ hình tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng phát triển tất yếu, chẳng hạn lý thuyết điểm bất động, lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết nửa nhóm, Một tốn biên thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều nhà toán học toán giá trị biên cho phương trình giả parabolic Xuất vào năm 60 kỉ trước với tên gọi ban đầu phương trình kiểu Sobolev hay Sobolev-Galpern gọi phương trình giả parabolic từ sau cơng trình T.W Ting [(1963) Arch Ration Mech Anal 14, 1-26] R.E Showalter [(1971) Ann Mat Pura Appl 90 (4), 241-258], [(1972) SIAM J Math Anal 3, 527-543]; đến nhiều cơng trình liên quan đến tốn biên cho phương trình giả parabolic cơng bố thu nhiều kết phong phú nghiệm tính giải được, tính giải nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hồn, dáng điệu tiệm cận tính tắt dần theo thời gian lớn, Một vấn đề thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp tổng qt giải tất toán toán biên cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung cho phương trình giả parabolic phi tuyến nói riêng Từ phát triển mơ hình thực tiễn toán học túy mà số hạng phi tuyến xuất đa dạng toán biên việc áp dụng kỹ thuật, phương pháp giải cho tốn cụ thể khác Chính vậy, việc nghiên cứu cải tiến kỹ thuật phương pháp giải toán biên cho phương trình giả parabolic tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể tiếp tục nhiều nhà khoa học quan tâm Do đó, vấn đề đặt để nghiên cứu luận án cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết nghiên cứu hai lớp toán biên cho phương trình giả parabolic chiều có khơng có số hạng đàn hồi nhớt Các kết nghiên cứu hai lớp toán biên cấu trúc thành bốn chương luận án, với ba nội dung sau đây: Nội dung thứ luận án trình bày Chương Chương liên quan đến toán biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt Dạng phương trình phát sinh từ nghiên cứu mơ hình tốn học Cơ học chất lỏng Chúng đối chiếu tài liệu chuyên khảo Al’shin [Al’shin et.al (2011) De Gruyter Series in Nonlinear Anal Appl 15 Walter de Gruyter & Co., Berlin] Carroll, Showalter [(1976) Math Science and Engineering, Vol.127 Academic Press, New York–London] để tham khảo kết tốn biên cho phương trình giả parabolic Các toán thuộc loại nghiên cứu rộng rãi có nhiều kết liên quan đến tồn tại, tính trơn dáng điệu tiệm cận thiết lập Trong Chương 1, chúng tơi xét phương trình giả parabolic phi tuyến không chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Dirichlet không điều kiện đầu điều kiện "(η, T )-tuần hồn" Đối với Bài tốn biên Dirichlet khơng nhất, với điều kiện đầu kiểu Cauchy, sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo–Galerkin kết hợp với số đánh giá tiên nghiệm số phép nhúng compact khơng gian Sobolev có trọng, chứng minh tồn dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm yếu toán Tiếp đó, thay điều kiện đầu kiểu Cauchy điều kiện "(η, T )-tuần hoàn", với số η thoả < jη j 1, chứng minh tồn nghiệm yếu toán phương pháp tương tự kết hợp với kỹ thuật toán tử kiểu Poincaré Các kết trình bày chương mở rộng trực tiếp kết cống bố [N1], [N3] Ngoài ra, kết nghiên cứu chương xem mở rộng tương đối kết báo T Hayat [(2006) Math Comput Modell 43 (1-2), 16-29], A Mahmood, et al [(2009), J Prime Research in Math 5, 192-204], L.T.P Ngoc et.al [(2012) Numer Funct Anal Optim 33 (2), 166-189] Trong Chương 2, chúng tơi xét phương trình giả parabolic phi tuyến, đề cập Chương 1, liên kết với điều kiện biên Robin–Dirichlet không với điều kiện đầu kiểu Cauchy điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" Bằng phương pháp pháp tương tự Chương 1, kết hợp với kỹ thuật xử lý điều kiện biên, chứng minh tồn dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm yếu toán giá trị biên-đầu Hơn nữa, thay điều kiện đầu kiểu Cauchy điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" thu tồn nghiệm toán nghiệm N = Các kết trình bày chương mở rộng kết cống bố [N2] Ngoài ra, kết nghiên cứu chương xem mở rộng tương đối kết N.T Long et.al [(1993) Comput Math Appl 25(5), 11-18], N.T Long et.al [(2006) J Comput Appl Math 196 (1), 267-284], T Aziz [(2014), The scientific World J Art ID 109128] Nội dung thứ hai luận án, trình bày Chương 3, đề cập tới toán biên Neumann–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong phần thứ Chương 3, phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp xấp xỉ Faedo–Galerkin phương pháp compact yếu, đạt tồn nghiệm yếu địa phương toán Phương pháp xấp xỉ tuyến tính áp dụng để khảo sát cơng trình [N.T Long et.al (2002), J Math Anal Appl 267 (1), 116-134], [N.T Long, et.al (2007), Demonstratio Math 40 (2), 365-392] số công trình khác Tuy nhiên, theo quan sát chúng tơi, khảo sát thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho phương trình giả parabolic cịn kết nghiên cứu Trong phần thứ hai Chương 3, thiết lập điều kiện đủ kết hợp với phương pháp lượng để chứng minh nghiệm yếu toán tắt dần mũ thời gian lớn Có thể nói rằng, toán xét chương nghiên cứu mở rộng tương đối cơng trình A Bouziani [(2003), Nonlinear Anal 55, 883–904], D.Q Dai [(2007), J Math Anal Appl 328, 1057-1067], Y.D Shang [(2003), Acta Math Appl Sin 26 (3), 512-524] kết cơng bố [N4] Cuối cùng, Nội dung thứ ba luận án, trình bày Chương 4, đề cập tới thuật giải lặp cấp cao Bài tốn Robin– Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt Chúng thiết lập thuật giải khác với thuật giải xấp xỉ tuyến tính sử dụng toán biên Neumann–Dirichlet Chương 3, nhằm cải tiến đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm dãy lặp Thuật giải cho kết tồn nghiệm yếu toán xét Các kết nghiên cứu thuật giải lặp cấp cao cho phương trình sóng, phương trình kiểu Kirchhoff–Carrier khảo sát số tác giả [L.T.P Ngoc et.al (2017), FILOMAT, 31 (6) 1755-1767], [L.X Truong et.al (2009), Appl Math Comp 215 (5) 1908-1925], [L.X Truong et.al (2009), Nonlinear Anal TMA 71 (1-2), 467-484] Tuy nhiên số báo công bố sử dụng phương pháp chưa nhiều theo hiểu biết chúng tôi, thuật giải lặp cấp cao cho phương trình giả parabolic chưa có cơng bố Chính vậy, kết chương đặt số vấn đề mở cần nhiều nghiên cứu thêm gửi đăng [N5] Ngoài phần tổng quan bốn chương nội dung trên, luận án cịn có phần sau Phần kết luận Trình bày tóm tắt nội dung luận án, kết đạt hướng phát triển luận án Phần phụ lục Danh mục cơng trình tác giả Tài liệu tham khảo Toàn kết trình bày luận án mở rộng kết công bố [N1]–[N4] gửi đăng [N5] Ngoài ra, phần số kết báo cáo hội nghị khoa học khác Chương Bài toán biên Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong chương này, nghiên cứu phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Dirichlet không điều kiện đầu điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" Cụ thể chúng tơi xem xét tốn biên giới thiệu đây: Phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt γ ∂ ut µ (t) + α (t) u xx + u x + f (u) = f ( x, t), < x < R, < t < T, ∂t x (1) liên kết với điều kiện biên Dirichlet không u(1, t) = g1 (t), u( R, t) = gR (t), (2) điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), x R, (3) điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" u ( x, 0) = ηu ( x, T ) , (4) R > 1, γ > < jη j số thực cho trước µ, α, g1 , gR , f , f , u˜ hàm cho trước thỏa điều kiện sau Các kết nghiên cứu trình bày ba mục sau Trong Mục 1.1, cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo– Galerkin kết hợp với đánh giá tiên nghiệm phép nhúng compact khơng gian Sobolev có trọng, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu toàn cục Bài toán (1)–(3) Tiếp theo, Mục 1.2, dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm yếu xét tới Cuối cùng, Mục 1.3, phương pháp Mục 1.1, kết hợp kỹ thuật tốn tử kiểu Poincaré, chúng tơi chứng minh tồn tính nghiệm yếu toán (1), (2) thỏa điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" (4) Các kết mục mở rộng kết công bố [N1], [N3] 1.1 Sự tồn nghiệm Trong mục này, ta xét Bài toán (1)–(3) với R > 1, γ > số thực µ, α, g1 , gR , f , f , u˜ hàm cho trước thỏa giả thiết sau ( H1 ) g1 , gR H (0, T ) ; ( H2 ) u˜ H thỏa u˜ (1) g1 (0) = u˜ ( R) gR (0) = 0; ( H3 ) α H (0, T ) tồn số dương α cho α (t) α > 0, 8t [0, T ] ; ( H4 ) µ H (0, T ) tồn số dương α cho µ (t) µ > 0, 8t [0, T ] ; ( H5 ) f L1 0, T; L2 thỏa điều kiện t ! t f ( , t) L2 (0, T; L2 ); ( H6 ) f C0 (R; R) tồn số dương δ cho δ jy zj2 , 8y, z R (y z) ( f (y) f (z)) Trong trường hợp g1 6= gR 6= 0, ta thực phép đổi biến R x x v ( x, t) = u ( x, t) ϕ ( x, t) , với ϕ ( x, t) = g (t) + gR (t) , (5) R 1 R để đưa Bài toán (1)–(3) toán có điều kiện biên sau đây8 ∂ γ > > vt µ (t) + α (t) v xx + v x + f (v + ϕ) = f ( x, t) , > > < ∂t x < x < R, < t < T, (6) > > v 1, t = v R, t = 0, ( ) ( ) > > : v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , > 0 > > < f ( x, t) = f ( x, t) R ( x 1) gR (t) + ( R x ) g1 (t) γ (7) + µ (t) ( gR (t) g1 (t)) + α (t) g0R (t) g10 (t) , > > ( R 1) x > : v˜0 ( x ) = u˜ ( x ) ϕ ( x, 0) , v˜0 H01 Định nghĩa 1.1.1 Hàm v L∞ 0, T; H01 gọi nghiệm yếu Bài toán (6), (7) v (0) = v˜0 , với w H01 , ta có d [hv (t) , wi + α (t) aγ (v (t) , w)] dt + (µ (t) α0 (t)) aγ (v (t) , w) + h f (v (t) + ϕ (t)) , wi = h f (t) , wi , a γ ( v ( t ), w ) = Z R x γ v x ( x, t)wx ( x )dx = hv x (t), wx i , γ > (8) Định lý sau cho kết tồn nghiệm Bài toán (6), (7) Định lý 1.1.2 Cho T > giả thiết ( H1 )–( H6 ) thỏa Khi đó, Bài tốn (6), (7) có nghiệm yếu v cho v L∞ 0, T; H01 tv0 L2 0, T; H01 (9) Hơn nữa, ( H5 ) thay f L2 ( Q T ), nghiệm v thỏa v L∞ 0, T; H01 v0 L2 0, T; H01 (10) Trong chứng minh Định lý 1.1.2 có sử dụng bổ đề sau Bổ8 đề 1.1.3 Tồn Tm (0, T ] cho hệ < v0m (t) , w j + α (t) aγ v0m (t) , w j + µ (t) aγ vm (t) , w j + f (vm (t) + ϕ (t)) , w j = f (t) , w j , j m, (11) : vm (0) = v0m , có nghiệm vm (t) xác định khoảng [0, Tm ] Bổ đề 1.1.4 Giả sử v nghiệm yếu toán sau ∂ γ > > vt µ (t) + α (t) v xx + v x = f¯ ( x, t) , < x < R, < t < T, > > ∂t x < v (1, t) = v ( R, t) = 0, > > v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , > > : v L∞ 0, T; H01 , tvt L2 0, T; H01 (12) Khi Z kv (t)k20 + α (t) kv (t)k2aγ + t (2µ (s) α0 (s)) kv (s)k2aγ ds kv˜0 k0 + α (0) kv˜0 k2aγ + Z t f¯ (s) , v (s) ds (13) Hơn nữa, v˜0 = đẳng thức (13) xảy Từ kết Định lý 1.1.2, suy tồn nghiệm yếu Bài toán (1)–(3) Hơn nữa, cách chứng minh tương tự Định lý 1.1.2, ta thu nghiệm yếu Bài toán (1)–(3) Dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ Trong mục này, khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm u(t) Bài toán (1)–(3) t ! +∞ Với giả thiết tắt dần mũ t ! +∞ cho hàm g1 , gR , f , chứng minh tồn limt!+∞ u (t) = u∞ H01 có đánh giá ku (t) u∞ k1 tắt dần mũ t ! +∞ Theo kết Mục 1.1, giả sử T > ( H1 ) ( H6 ) thỏa, tồn nghiệm yếu u = v + ϕ Bài toán (1)–(3) cho u ϕ = v L∞ 0, T; H01 t (ut ϕt ) = tvt L2 0, T; H01 (14) Chúng bổ sung giả thiết sau ( H10 ) g1 , gR H (R+ ) tồn số dương C¯ , C¯ R , γ¯ γ¯ R : C¯ i exp ( γ¯ i t) , 8t 0, i f1, Rg ; j gi (t)j + gi0 (t) ( H3 ) α H (R+ ) , α (t) α > 0, 8t 0; ( H40 ) µ H (R+ ) tồn số dương µ , µ∞ , µ¯ , C¯ µ γ¯ µ : (i) µ (t) µ > 0, 8t 0, (ii) jµ (t) µ∞ j C¯ µ exp γ¯ µ t , 8t 0, (iii) 2µ (t) α (t) µ¯ > 0, 8t 0; ( H5 ) f L∞ R+ ; L2 , tồn số dương C¯ f1 , γ¯ f1 f 1∞ L2 : γ¯ f t , 8t 0; C¯ f exp k f (t) f 1∞ k 1.2 ( H60 ) 1 f C0 (R; R) cho tồn số δ với < δ < 2µ∞ Rγ (R δ jy zj2 , 8y, z R (y z) ( f (y) f (z)) Đầu8tiên, ta xét tốn sau γ < µ ∞ u xx + x u x + f ( u ) = f 1∞ ( x ) , < x < R, (15) : u (1) = u ( R) = Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm yếu Bài toán (15) hàm u∞ H01 thỏa toán biến phân sau (16) µ∞ aγ (u∞ , w) + h f (u∞ ) , wi = h f 1∞ , wi , 8w H01 Định lý 1.2.2 Giả sử giả thiết ( H50 ) , ( H60 ) Khi đó, Bài tốn (16) tồn nghiệm u∞ H01 Định lý 1.2.3 Giả sử giả thiết H10 , ( H2 ) , ( H30 ) ( H60 ) Giả sử thêm f Lipschitz địa phương R số δ > ( H60 ) thỏa điều kiện f2µ∞ , µ¯ g ( H600 ) < δ < γ R ( R 1)2 1)2 : Khi đó, ta có ¯ ) , 8t 0, (17) ku (t) u∞ k1 D¯ exp ( γt ¯ D, γ¯ số dương độc lập với t 1.3 Sự tồn nghiệm với điều kiện "(η, T )-tuần hồn" Trong mục này, chúng tơi xét Bài toán (1), (2), (4), với γ > 0, R > 1, < jη j số µ, α, f , f , g1 , gR hàm cho trước thỏa mãn giả thiết sau H1 g1 , gR H ([0, T ]) , g1 , gR thỏa điều kiện "(η, T ) tuần hoàn" g1 (0) = ηg1 ( T ) , gR (0) = ηgR ( T ) ; ( H3 ) α H (0, T ) , α (t) α > 0, 8t [0, T ] , α (0) α ( T ) ; H4 µ H (0, T ) tồn số dương µ , µ¯ cho: (i) µ (t) µ > 0, 8t [0, T ] , (ii) 2µ (t) α0 (t) µ¯ > 0, a.e t [0, T ] ; ( H5 ) f C0 [0, T ] ; L2 , f thỏa điều kiện "(η, T )-tuần hoàn", f ( x, 0) = η f ( x, T ) ; µ¯ : ( H6 ) f C0 (R; R) cho tồn số δ với < δ < γ R ( R 1)2 δ jy zj2 , 8y, z R (y z) ( f (y) f (z)) Tương tự trên, hóa điều kiện biên Bài tốn (1), (2), (4) phép đổi biến (5) để thu toán sau ∂ γ > > vt µ (t) + α (t) v xx + v x + f (v + ϕ) > > < ∂t x = f ( x, t) , < x < R, < t < T, (18) > > v (1, t) = v ( R, t) = 0, > > : v ( x, 0) = ηv ( x, T ) , f ( x, t) xác định (7)1 Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm yếu Bài toán (18) hàm v L∞ (0, T; H01 ) với v0 L2 (0, T; H01 ) cho v thỏa mãn toán biến phân sau Z T + = hv0 (t) , w (t)idt + Z T Z T Z T α (t) aγ v0 (t), w(t) dt µ (t) aγ (v (t) , w (t)) dt + Z T h f (v (t) + ϕ (t)) , w (t)idt h f (t) , w (t)idt, 8w L2 0, T; H01 , v (0) = ηv ( T ) (19) a˜ γ (u(t), w) = Z R x γ u x ( x, t)wx ( x )dx + h1 u(1, t)w(1) hu x (t), wx i + h1 u(1, t)w(1) (28) Định lý sau cho kết tồn nghiệm yếu Bài toán (25) Định lý 2.1.2 Cho T > giả thiết ( H1 ), ( H¯ ), ( H3 )–( H6 ) thỏa Khi đó, Bài tốn (25) có nghiệm yếu v cho (29) v L∞ (0, T; V ) tv0 L2 (0, T; V ) Hơn nữa, giả thiết ( H5 ) thay f L ( Q T ), nghiệm v thỏa (30) v L∞ (0, T; V ) v0 L2 (0, T; V ) Chứng minh Định lý 2.1.2 có sử dụng bổ đề sau Bổ8đề 2.1.3 Tồn T˜ m (0, T ] cho hệ < v0m (t) , w j + α (t) a˜ γ v0m (t) , w j + µ (t) a˜ γ vm (t) , w j + f (vm (t) + ϕ˜ (t)) , w j = f˜2 (t) , w j , j m, (31) : vm (0) = v0m , có nghiệm vm (t) xác định khoảng 0, T˜ m Bổ đề 2.1.4 Giả sử v nghiệm yếu toán sau γ ∂ > > v xx + v x = f˜ ( x, t) , < x < R, < t < T, vt µ (t) + α (t) > > < ∂t x v x (1, t) h1 v (1, t) = v ( R, t) = 0, > > v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , > > : v L∞ (0, T; V ), tvt L2 (0, T; V ) (32) Khi Z kv (t)k20 + α (t) kv (t)k2a˜ γ + t (2µ (s) kv˜0 k20 + α (0) kv˜0 k2a˜ γ + α0 (s)) kv (s)k2a˜ γ ds Z t f˜ (s) , v (s) ds (33) Hơn nữa, v˜0 = đẳng thức (33) xảy Từ kết Định lý 2.1.2, cách chứng minh tương tự ta thu tồn nghiệm yếu Bài toán (1), (3), (21) 2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ Theo kết Mục 2.1, giả sử T > giả thiết ( H1 ), ¯ ( H2 ), ( H3 )–( H6 ) thỏa Khi đó, tồn nghiệm yếu 11 u = v + ϕ Bài toán (1), (3), (21) cho u ϕ = v L∞ (0, T; V ) t (ut ϕt ) = tvt L2 (0, T; V ) (34) Để khảo sát dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm u (t) Bài toán (1), (3), (21), sử dụng giả thiết ( H¯ ) Mục 2.1 giả thiết ( H10 ), ( H30 )–( H60 ) Mục 1.2 cho hàm α, µ, f , f , g1 , gR u˜ Trước toán sau ( tiên, ta xét γ µ∞ u xx + u x + f (u) = f 1∞ ( x ) , < x < R, (35) x u x (1) h1 u (1) = u ( R) = Nghiệm yếu toán (35) định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm yếu Bài toán (35) hàm u˜ ∞ V thỏa toán biến phân sau µ∞ a˜ γ (u˜ ∞ , w) + h f (u˜ ∞ ) , wi = h f 1∞ , wi , (36) với w V Khi đó, ta có định lý sau tồn nghiệm toán (36) Định lý 2.2.2 Giả sử giả thiết ( H50 ) , ( H60 ) thỏa Khi đó, Bài toán biến phân (36) tồn nghiệm u˜ ∞ V Định lí sau cho kết dáng điệu tiệm cận nghiệm u (t) t ! +∞ Định lý 2.2.3 Giả sử H10 , ( H¯ ) , ( H30 )–( H60 ) Giả sử thêm f Lipschitz địa phương R số δ > ( H60 ) thỏa điều kiện ( H600 ) Khi đó, ta có ˜ ) , 8t 0, (37) ku (t) u˜ ∞ k1 D˜ exp ( γt ˜ γ˜ số dương độc lập với t D, 2.3 Sự tồn nghiệm thỏa điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" Trong mục này, chúng tơi xét Bài tốn Bài toán (1), (3), (22) với γ > 0, R > 1, h1 số thực cặp số thực ( Ti , η i ) , i = 1, , N cho trước thỏa điều kiện (23), µ, α, g1 , gR , f , f , u˜ hàm cho trước thỏa mãn giả thiết H4 , ( H6 ) giả thiết sau H¯ g1 , gR H (0, T ) , g1 , gR thỏa điều kiện "( N + 1)-điểm N theo thời gian": g1 (0) = ∑ η i g1 (Ti ), i =1 12 N g R (0) = ∑ η i gR (Ti ); i =1 ( H¯ ) ( H¯ ) α H (0, T ) , α (t) C0 [0, T ] ; L2 α > 0, 8t [0, T ] , α (0) α( Ti ); i N , f thỏa điều kiện "( N + 1)-điểm f1 N theo thời gian": f ( x, 0) = ∑i=1 η i f ( x, Ti ) Bằng phép đổi ẩn hàm v( x, t) = u( x, t) ϕ˜ ( x, t), ϕ˜ ( x, t) định nghĩa (24), ta đưa Bài tốn (1), (3), (22) tốn có biên sau γ ∂ > > v xx + v x + f (v + ϕ˜ ) vt µ(t) + α(t) > > > ∂t x > > < = f˜2 ( x, t), < x < R, < t < T, (38) v x (1, t) h1 v(1, t) = v( R, t) = 0, > > > N > > > > v( x, 0) = ∑ η i v ( x, Ti ) , : i =1 f˜2 ( x, t) định nghĩa (26)1 Định nghĩa 2.3.1 Nghiệm yếu Bài toán (38) hàm v L∞ (0, T; V ) với v0 L2 (0, T; V ) cho v thỏa mãn phương trình biến phân sau Z Z T T > > hv (t), w(t)idt + α(t) a˜ γ (v0 (t), w(t))dt > > > 0 > Z T Z T > > < + µ(t) a˜ γ (v(t), w(t))dt + h f (v(t) + ϕ˜ (t)), w(t)idt 0 Z T > > > > = h f˜2 (t), w(t)idt, 8w L2 (0, T; V ), > > > > : v (0) = N η v ( T ) ∑ i =1 i i (39) Khi ta có định lý sau Định lý 2.3.2 Giả sử T > giả thiết ( H¯ ), ( H¯ ), ( H4 ), ( H¯ ) ( H6 ) thỏa Khi Bài tốn (39) có nghiệm yếu v cho v L∞ (0, T; V ) v0 L2 (0, T; V ) (40) Hơn nữa, N = 1, nghiệm yếu thu Cuối cùng, dựa vào Định lý 2.3.2 lập luận tương tự, tồn nghiệm yếu bBài toán (1), (3), (22) chứng minh Kết luận chương Các kết thu chương tương tự kết thu Chương 1, ngoại trừ điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" xét tới mở rộng điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" Sau kết chương 13 Kết tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm toán giá trị biên-đầu trình bày Định lý 2.1.2, Định lý 2.2.3 Kết tồn tính nghiệm tốn biên cho phương trình giả parabolic liên kết với điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" mà tổng quát so với kết nghiệm thỏa điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" Chương Kết trình bày Định lý 2.3.2 Các kết thu chương mở rộng trực tiếp kết [N2], chứa trường hợp γ = 1, µ(t) = µ, α(t) = α (là số dương) trường hợp riêng Ngồi ra, vấn đề tính nghiệm Bài toán (38) trường hợp N cần tiếp tục nghiên cứu Chương Bài tốn biên Neumann–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong chương này, chúng tơi khảo sát phương trình giả parabolic phi tuyến có chứa số hạng Zđàn hồi nhớt có dạng t ut + Au + Aut g (t s) Au (s) ds = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ) , (41) < x < R, < t < T, liên kết với điều kiện biên Neumann–Dirichlet u x (1, t) = u ( R, t) = 0, (42) điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ ( x ) , (43) Au = u xx + u x , R > số thực cho trước f , x u˜ hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Nội dung chương trình bày hai mục 3.1 3.2 Trong Mục 3.1, sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp xấp xỉ Faedo–Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm phương pháp compact yếu để chứng minh tồn nghiệm yếu Bài toán (41)–(43) Việc chứng minh tồn dãy lặp fum g trình bày Mục 3.1.1 Tiếp theo, Mục 3.1.2, chứng minh dãy fum g hội tụ, không gian Banach thích hợp, nghiệm Bài tốn (41)–(43) cho đánh giá sai số Trong Mục 3.2, thiết lập điều kiện đủ kết hợp với 14 phương pháp lượng để thu tính tắt dần mũ nghiệm t ! +∞ Các kết chương công bố [N4] 3.1 Sự tồn nghiệm Trong mục này, nghiên cứu tồn nghiệm Bài toán (41)–(43) Nghiệm yếu Bài toán (41)–(43) định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.1 Hàm u L∞ 0, T; V \ H thỏa u0 L∞ 0, T; V \ H gọi nghiệm yếu Bài toán (41)–(43) u (0) = u˜ , (44) với w V, ta có hu0 (t) , wi + a˜ (u0 (t) , w) + a˜ (u (t) , w) Z t s) a˜ (u (s) , w) ds g (t = h f [u] (t) , wi , f [u] ( x, t) = f x, t, u ( x, t) , u x ( x, t) , u0 ( x, t) , u0x ( x, t) , a˜ (u(t), w) = tập Z R xu x ( x, t)wx ( x )dx h u x ( t ), w x i (45) (46) (47) Cho T > số cố định Với T (0, T ] , ta định nghĩa n o WT = v L∞ 0, T; V \ H : v0 L∞ 0, T; V \ H (48) Khi WT không n gian Banach với chuẩn o kvkWT = max kvk L∞ (0,T;V \ H2 ) , v0 L∞ (0,T;V \ H2 ) Với M > 0, ta định nghĩa tập sau h p i4 p ¯ M = [1, R] [0, T ] Ω R 1M, R 1M , n o BT ( M) = v WT : kvkWT M , (49) K M ( f ) = k f kC1 (Ω¯ M ) = k f kC0 (Ω¯ M ) + ∑6i=1 k Di f kC0 (Ω¯ M ) , ¯M k f kC0 (Ω¯ M ) = sup j f ( x, t, y1 , y2 , y3 , y4 )j : ( x, t, y1 , y2 , y3 , y4 ) Ω q Đặt R˜ = + R2 ( R 1) Ta thành lập giả thiết sau ( A1 ) ( A2 ) ( A3 ) u˜ V \ H thỏa u˜ 0x (1) = 0; g L2 (0, T ) ; ¯ f C1 Ω [0, T ] R4 tồn số σ, với < σ < k D5 f kC0 (Ω¯ M ) + k D6 f kC0 (Ω¯ M ) 15 σ, M > 0, : R˜ k Di f kC0 (Ω¯ M ) = sup fj Di f ( x, t, y1 , y2 , y3 , y4 )j : ( x, t, y1 , y2 , y3 , y4 ) Ω M g , với i = 5, 3.1.1 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta tiến hành thiết lập dãy quy nạp tuyến tính fum g sau Chọn u0 = giả sử u m BT ( M ) (50) Ta tìm um BT ( M) thỏa mãn toán biến phân liên kết với toán (44)–(46) sau > hu0m (t) , vi + a˜ (u0m (t) , v) + a˜ (um (t) , v) > Z t < g (t s) a˜ (um (t) , v) ds = F˜m (t) , v , 8v V, (51) > > : u (0) = u˜0 , m F˜m ( x, t) = f [um ] ( x, t) = f x, t, um ( x, t) , rum 0 ( x, t ) , um ( x, t ) , r um ( x, t ) (52) Sự tồn dãy quy nạp cho định lí sau Định lý 3.1.2.Giả sử giả thiết ( A1 )–( A3 ) Khi tồn số M > T > cho với u0 0, tồn dãy lặp fum g BT ( M) xác định (50)–(52) 3.1.2 Sự hội tụ thuật giải Trong mục này, sử dụng Định lý 3.1.2 định lý nhúng compact, chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương Bài toán (41)–(43) Trước hết, đặt n o W1 ( T ) = v L∞ (0, T; V ) : v0 L2 (0, T; V ) , (53) WT không gian Banach với chuẩn kvkW1 (T ) = kvk L∞ (0,T;V ) + v0 L2 (0,T;V ) (54) Định lý cho kết hội tụ dãy lặp fum g nghiệm yếu u Bài toán (41)–(43) Định lý 3.1.3 Giả sử giả thiết ( A1 )–( A3 ) thỏa Khi dãy fum g xác định (51), (52) hội tụ mạnh W1 ( T ) nghiệm yếu u Bài toán (41)–(43) Hơn nữa, ta có đánh giá sau (55) kum ukW1 (T ) CT km T , m N, số k T (0, 1) CT số dương phụ thuộc vào R, T, f , g, u˜ , k T 16 3.2 Tính tắt dần mũ nghiệm Trong phần này, chúng tơi xét tính tắt dần mũ t ! +∞ nghiệm yếu Bài toán (41)–(43), với vế phải (41) thuộc dạng f = F8 (u) + f ( x, t) sau Z t > > > u + Au + Au g (t s) Au(s)ds t > < t = F (u) + f ( x, t) , < x < R, t > 0, (56) > > u 1, t = u R, t = 0, ( ) ( ) > x > : u ( x, 0) = u˜ ( x ) Theo Định lý 3.1.3, giả thiết ( A1 ), ( A2 ) đúng, đồng thời giả sử F C1 (R) f C1 ([1, R] [0, T ]) thoả, Bài tốn (56) ln có nghiệm yếu địa phương u C0 [0, T ]; V \ H cho u0 L∞ 0, T ; V \ H , với T > đủ nhỏ Trong mục này, xét giả thiết trơn kiện đầu A10 u˜ V; ( A3 ) F C1 (RZ; R) tồn số q1 , q2 > 2, d¯2 > thỏa u F (u) = F (z) dz d¯2 jujq1 + jujq2 , 8u R; A40 f L2 ( Q T ) Với giả thiết ( A10 ), ( A2 ), ( A30 ) ( A40 ), thu kết tồn nghiệm Bài toán (56), trình bày Định lý 3.2.1 đây, mà việc chứng minh định lý dựa vào kết Định lý 3.1.3 lý luận tính trù mật Định lý 3.2.1 Giả sử ( A10 ), ( A2 ), ( A30 ) ( A40 ) Khi đó, Bài tốn (56) có nghiệm yếu địa phương u thỏa u C0 ([0, T ] ; V ) u0 L2 (0, T ; V ) , (57) với T (0, T ] đủ nhỏ Tiếp theo, bổ sung điều kiện đủ để nghiệm Bài toán (56) tắt dần mũ t ! +∞ Ta bổ sung giả thiết sau A˜ g C1 (R+ ; R+ ) thỏa điều kiện sau (i) g(t) > 0, 8t 0, (ii) tồn số χ1 > cho gR0 (t) χ1 g (t) , 8t 0, ∞ (iii) L g¯ ∞ > 0, g¯ ∞ g ( s ) ds; A˜ F C1 (R, R) tồn số p, q1 , q2 > 2, d2 > p, d¯2 > 0: (i) uF (u) > 0, Z u Rnf0g, u (ii) uF (u) d2 F (z) dz, 8u R, 17 Ru (iii) F (z) dz d¯2 jujq1 + jujq2 , 8u R; A˜ f L∞ R+ ; L2 \ L2 R+ ; L2 , tồn số dương C0 , γ0 cho k f (t)k0 C0 exp ( γ0 t) , 8t Ngoài ra, giả sử điều kiện đầu u˜ thỏa Z R Z u˜ ( x) xdx F (z) dz > ku˜ k2a˜ Để nghiên cứu tính tắt dần nghiệm yếu, ta sử dụng phiếm hàm L (t) = E (t) + δΨ (t) , (58) 2 Ψ (t) = ku (t)k0 + ku (t)k a˜ , R u(x,t) RR 1 E (t) = ( g u) (t) + (1 g¯ (t)) ku (t)k2a˜ F (z) dz, (60) xdx 2 Rt (61) ( g u) (t) = g (t s) ku (t) u (s)k2a˜ ds Ta đặt E1 (t) = ( g u) (t) + ku (t)k2a˜ + I (t) , (62) I (t) = ( g u) (t) + Rt g ( s ) ds k u ( t )k a˜ viết lại (60) sau 1 h E (t) = ( g u ) ( t ) + (1 p Để thu kết chính, chúng tơi Bổ đề 3.2.2 Giả sử A10 , A˜ – lượng E (t) thỏa ε1 2 u0 (t) a˜ E0 (t) u0 (t) p RR xdx R u(x,t) F (z) dz, (63) i g¯ (t)) ku (t)k2a˜ + I (t) (64) p cần có bổ đề sau A˜ Khi phiếm hàm 1 χ ( g u) (t) + k f (t)k20 , 2ε1 (65) 8ε1 > Bổ đề 3.2.3 Giả sử A10 , A˜ – A˜ Giả sử thêm I (0) > p p ˜ qi R qi > + g¯ ∞ > 0, (66) L = L pd¯2 R ∑ D i d2 d2 i =1 18 2pE ( p 2) L R = E = E (0) + ˜ = sup kvk Lqi , i = 1, 2, , D i 06=v2V k v k a˜ k f k2 2 L (R+ ;L ) Khi I (t) > 0, 8t Bổ đề 3.2.4 Tồn số dương β1 , β2 cho β1 E1 (t) L (t) β2 E1 (t) , 8t Bổ đề 3.2.5 Phiếm hàm Ψ (t) thỏa đánh giá sau Ψ0 (t) δ1 d2 I (t) ( g u) (t) k f (t)k20 + 2ε2 2ε2 p d2 ε2 g¯ (t) ku (t)k2a˜ p d2 L [1 (1 δ1 ) L ] ku (t)k2a˜ p + ε2 R ( R 1)2 (67) (68) ku (t)k2a˜ , 8ε2 > δ1 (0, 1) Từ kết Bổ đề 3.2.2–3.2.5, ta chứng minh định lý sau Định lý 3.2.6 Giả sử A10 , A˜ – A˜ giả sử thêm I (0) > đồng thời L thỏa (66) Khi đó, tồn số C¯ > 0, γ¯ > cho ¯ ¯ γt , 8t (69) ku (t)k2a˜ Ce Chú thích Bằng cách áp dụng kỹ thuật tương tự, ta thu tồn tính tắt dần mũ nghiệm yếu toán biên liên kết phương trình (41) với điều kiện biên Robin–Dirichlet u x (1, t) h1 u(1, t) = u( R, t) = 0, h1 > 0, điều kiện đầu (43) 3.3 Kết luận chương Bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, chương thiết lập kết tồn nghiệm yếu địa phương tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến chiều có chứa số hạng đàn hồi nhớt Phương pháp nhiều tác giả áp dụng cho tốn giá trị biên-đầu cho phương trình sóng phi tuyến Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, nay, có kết tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến Hơn nữa, xuất biến ut , u xt 19 hàm vế phải f ( x, t, u, u x , ut , u xt ) phương trình (41) nên chúng tơi cần thiết bổ sung thêm điều kiện kỹ thuật cho đạo hàm riêng theo biến thứ năm thứ sáu hàm f nhằm hỗ trợ cho kỹ thuật đánh giá Điều cho thấy kết trình bày Mục 3.1 chứng tỏ tính giải lớp rộng tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến chiều Kết tồn nghiệm trình bày Định lý 3.1.2 Định lý 3.1.3 Chúng thu kết tính tắt dần mũ t ! +∞ cho nghiệm đủ trơn Bài toán (56) với giả thiết hàm f tắt dần mũ Kết trình bày Định lý 3.2.1, Bổ đề 3.2.2–3.2.5, Định lý 3.2.6 Các tốn [N1]–[N3] sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính chương để thiết lập nghiệm yếu Chương Thuật giải lặp cấp cao cho tốn Robin–Dirichlet phương trình giả parabolic phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong chương nghiên cứu thuật giải lặp cấp cao phương trình giả parabolic phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng ut + µAu + αAut Z t g (t s) Au(s)ds = f ( x, t, u) , < x < R, < t < T, (70) liên kết với điều kiện biên Robin–Dirichlet u x (1, t) h1 u(1, t) = u ( R, t) = 0, (71) điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ ( x ) , (72) Au = u xx + u x , R > 1, h1 > 0, µ, α > số x thực cho trước f , u˜ hàm cho trước thỏa điều kiện sau Nội dung trình bày Mục 4.1 Mục 4.2 Trong Mục 4.1, thiết lập dãy qui nạp phi tuyến liên kết với Bài toán (70)–(72) Bằng phương pháp xấp xỉ Faedo–Galerkin kết hợp với đánh giá tiên nghiệm lý luận tính compact, chúng tơi chứng minh tồn dãy qui nạp Tiếp đó, Mục 4.2, chúng tơi trình bày chứng minh dãy qui nạp phi tuyến hội tụ nghiệm yếu Bài toán (70)–(72) thỏa đánh giá tốc độ hội tụ bậc cao Các 20 kết chương gửi đăng [N5] 4.1 Thuật giải lặp cấp cao Ta có định nghĩa nghiệm yếu tốn (70)–(72) sau Định nghĩa 4.1.1 Hàm u L∞ 0, T; V \ H thỏa u0 L∞ 0, T; V \ H gọi nghiệm yếu Bài toán (70)–(72) u (0) = u˜ ,và với w V, ta có hu0 (t) , wi + α a˜ (u0 (t) , w) + µ a˜ (u (t) , w) Z t (73) g (t s) a˜ (u (s) , w) ds = h f [u] (t) , wi , (74) f [u] ( x, t) = f ( x, t, u ( x, t)), RR (75) a˜ (u(t), w) = xu x ( x, t)wx ( x )dx + h1 u(1, t)w(1) Ta8xây dựng thuật giải lặp cấp N cho Bài tốn (70)–(72) có dạng u0 0, > > Rt > > > s) Aum (s)ds u0m + µAum + αAu0m > g (t > < N D l f [um ] (um um )l , < x < R, < t < T, (77) > = l∑ l! > =0 > > > > umx (1, t) h1 um (1, t) = um ( R, t) = 0, > : u x, = u˜ x , m = 1, 2, , ) m( 0( ) đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ cấp N dãy lặp fum g nghiệm yếu u toán (70)–(72) sau m (78) kum ukW1 (T ) CT ( β T ) N , CT > 0, < β T < số độc lập với m Các ký hiệu WT , BT ( M) , W1 ( T ) (48), (49), (53) sử dụng lại chương với M, T tham số dương chọn thích hợp Trước hết, với T > cố định, ta sử dụng giả thiết ( A1 ) , ( A2 ) Chương bổ sung thêm giả thiết ( A3 ) sau ( A1 ) u˜ V \ H thỏa u˜ 0x (1) = h1 u˜ (1) ; ( A2 ) g L2 (0, T ) ; ¯ [0, T ] R) đồng thời thoả điều kiện sau ( A3 ) f C ( Ω j ¯ [0, T ] R) , i N, j N D3i f , D2 D3 f C0 (Ω Cho trước M > T (h0, T ], ta định nghĩa i p p ¯ M = [1, R] [0, T ] Ω R 1M, R 1M , N K¯ M ( f ) = k f kC0 (Ω¯ M ) + ∑i=1 D3i f 21 N ¯ C0 (Ω M) + ∑ j =1 j D2 D3 f ¯ M) C0 (Ω , ¯M k f kC0 (Ω¯ M ) = sup j f ( x, t, y1 )j : ( x, t, y1 ) Ω Chọn số hạng u0 = Giả sử u m BT ( M ) , (79) sau đó8tìm um BT ( M), m nghiệm toán biến phân 0 < hum (t)R, vi + α a˜ (um (t) , v) + µ a˜ (um (t) , v) t (80) s) a˜ (um (s) , v) ds = h Fm (t) , vi , 8v V, g (t : um (0) = u˜ , N 1 l > > > F x, t = D3 f [um ] ( x, t) (um ( x, t) um ( x, t))l ( ) m ∑ > > l! > l =0 > > < N (81) = ∑ Φmi ( x, t) uim ( x, t) , > > i =0 > > N > > ( 1) l i l > > D3 f [um ] ( x, t) ulm i ( x, t) : Φmi ( x, t) = ∑ i! l i ! ( ) l =i Sự tồn dãy lặp fum g cho định lý sau Định lý 4.1.2.Giả sử giả thiết ( A1 ) , ( A2 ) ( A3 ) thỏa Khi tồn số dương M > 0, T > dãy quy nạp fum g thuộc BT ( M) xác định (80), (81) Trong chứng minh Định lý 4.1.1 có sử dụng bổ đề sau (k) E số Tm (0, T ] cho hệ 8BổDđề 4.1.3 Tồn (k) (k) (k) > u˙ m (t) , w j + α a˜ u˙ m (t) , w j + µ a˜ um (t) , w j > > < Z t D E (k) (k) ˜ g t s a u s , w ds = F t , w j k, (82) ( ) ( ) ( ) m m j j , > > > : (k) um (0) = u˜ 0k , (k) (k) có nghiệm um (t) xác định khoảng [0, Tm ] Bổ đề 4.1.4 Ta có đánh giá sau (i) (k) Fm (t) (k) (ii) F˙m (t) số (0) dM (1) dM (0) L∞ (0) dM + dM (1) L∞ (0) dM , =∑ N α¯ j j =0 =∑ N j =0 (k) N (k) N Sm ( t ) (1) dM + dM Sm ( t ) , (83) , (1) d M xác định sau ( M) R j , µ p θ¯ j ( M) + jα¯ j ( M) µ 22 R µ j , N α¯ j ( M) = K¯ M ( f ) ∑i= j θ¯ j ( M) = K¯ M ( f ) N ∑ i= j cho i p R 1M j! (i j)! p j + + R 1M p R j! (i j)! i j 1M , i j , i = 0, N Bổ đề 4.1.5 Tồn số T > không phụ thuộc vào k, m N (k) Sm (t) M2 , 8t [0, T ], 8k, m N (84) 4.2 Sự hội tụ thuật giải Sử dụng Định lý 4.1.2 phương pháp compact yếu, ta chứng tỏ dãy fum g hội tụ mạnh nghiệm yếu u Bài tốn (70)–(72) khơng gian hàm thích hợp Định lý 4.2.1 Giả sử ( A1 ), ( A2 ), ( A3 ) Khi tồn số M > T > cho Bài tốn (70)–(72) có nghiệm yếu u BT ( M ) Mặt khác, dãy quy nạp fum g xác định (80), (81), hội tụ bậc N u không gian W1 ( T ) có đánh giá sau m (85) kum ukW1 (T ) CT ( β T ) N , 8m N, số β T (0, 1) CT số dương phụ thuộc vào R, h1 , T, f , g, u˜ , α, µ β T Kết luận chương Trong chương thiết lập thuật giải lặp cấp N cho phương trình giả parabolic phi tuyến Kết tồn dãy lặp phi tuyến hội tụ bậc cao dãy lặp nghiệm toán xét trình bày Định lý 4.1.2 Định lý 4.2.1 Thuật giải lặp cấp N phương pháp chứng minh tồn nghiệm Bài toán (70)–(72) Thuật giải lặp cấp N chương sử dụng để giải cách hiệu cho toán [N1]–[N3] Từ tốn [N1]–[N3] có thêm cơng cụ tính tốn số hiệu Mặc dù thuật giải lặp cấp N cải tiến đáng kể so với thuật giải xấp xỉ tuyến tính trường hợp số hạng phi tuyến f = f ( x, t, u) Tuy nhiên, với số hạng phi tuyến tổng quát chưa giải Kết luận Trong luận án, sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phù hợp để nghiên cứu tồn số tính chất nghiệm tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến Các trường hợp riêng toán đề cập luận án có 23 nhiều ý nghĩa học, vật lý số ngành khoa học ứng dụng Những kết trình bày luận án bao gồm: Đối với phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt liên với loại điều kiện biên loại điều kiện đầu khác thu kết sau: a) Chứng minh tồn nghiệm yếu toàn cục tốn Dirichlet/ Robin–Dirichlet khơng cho phương trình giả parabolic phi tuyến liên kết với điều kiện đầu Hơn nữa, với giả thiết thích hợp dáng điệu tiệm cận t ! +∞ nghiệm thu b) Chứng minh tồn nghiệm yếu tốn Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến liên kết với điều kiện "(η, T )-tuần hoàn" c) Chứng minh tồn tính nghiệm yếu tốn Robin–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến liên kết với điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" Đối với tốn biên Neumann–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt thu kết sau: a) Sự tồn nghiệm yếu địa phương tốn giá trị biên-đầu b) Tính tắt dần mũ nghiệm yếu toán giá trị biên-đầu Thiết lập thuật giải lặp cấp N ( N 2) cho toán biên Robin–Dirichlet phương trình giả parabolic phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt Thuật giải cho kết tồn nghiệm yếu Bài tốn Ngồi kết trên, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu mở rộng luận án sau: (i) Tính nghiệm tốn biên cho phương trình giả parabolic liên kết với điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian", với N (ii) Tính giải tốn biên cho phương trình giả parabolic liên kết với điều kiện "( N + 1)-điểm theo thời gian" miền vô hạn [1, +∞) [0, T ] 24 Danh mục công trình tác giả [N1] Le Thi Phuong Ngoc, Truong Thi Nhan, Nguyen Thanh Long (2016) A nonhomogeneous Dirichlet problem for a nonlinear pseudoparabolic equation arising in the flow of second grade fluid, Dynamics in Nature and Society, Vol 2016, ID 3875324 (SCI-E) [N2] Le Thi Phuong Ngoc, Truong Thi Nhan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long (2016) On the nonlinear pseudoparabolic equation with the mixed inhomogeneous condition, Boundary Value Problems, 2016: 137 (SCI-E) [N3] Trương Thị Nhạn, Võ Thị Tuyết Mai, Trần Minh Thuyết (2017) Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình giả parabolic chiều, Kỷ yếu Hội nghị Tồn quốc lần thứ IV Ứng dụng Toán học, Nxb Thông tin Truyền thông, ISBN:978604-80-2125-2, p299-316 [N4] Nguyen Huu Nhan, Truong Thi Nhan, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2021) Local existence and exponential decay of solutions for a nonlinear pseudoparabolic equation with viscoelastic term, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 26 (1), 35-64 (Scopus) [N5] Nguyen Huu Nhan, Truong Thi Nhan, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long On a high iterative scheme for a nonlinear pseudoparabolic equation with viscoelastic term (bài gửi đăng) 25 ... Chương Bài tốn biên Neumann–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong chương này, chúng tơi khảo sát phương trình giả parabolic phi tuyến có chứa số hạng... yếu địa phương tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến chiều có chứa số hạng đàn hồi nhớt Phương pháp nhiều tác giả áp dụng cho tốn giá trị biên- đầu cho phương trình sóng phi tuyến Tuy... Chương Bài tốn biên Robin–Dirichlet cho phương trình giả parabolic phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt Trong chương này, chúng tơi xét tốn biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến không