PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 2/05/2019 Bài (6,0 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x + 2019 x + 2019 x + 2018 b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x + y − x − y + = c Chứng minh với số tự nhiên n : A = n+2 + 26.5n + 82n+1 M59 Bài (4,0 điểm) 2 a Chứng minh a +b +c < ( ab +bc +ca ) với số thực a, b, c b Chứng minh với số ngun x biểu thức P số phương P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + ) ( x + 11) + 16 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P = 1 1 + + + + x − x x − 3x + x − x + x − x + 12 x − x + 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC 〉 AB) Vẽ đường cao AH ( H ∈ BC ) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK Bài (2.0 điểm): ˆ = ABC ˆ Đường Cho tam giác ABC có Aˆ > Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC ˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác góc BAH F Chứng minh rằng: CF // AE Hết \ ĐÁP ÁN Câu 1: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x + 2019 x + 2019 x + 2018 A = x + 2019 x + 2019 x + 2018 A = x − + 2019( x + x + 2019) A = (x - 1)(x + x + 1) + 2019( x + x + 1) A = ( x + x + 1) ( x − + 2019) A = (x + x + )(x + 2018) b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x + y − x − y + = x + y − x − y + = ⇔ ( x − x + 4) + ( y − y + 1) = ⇔ ( x − 2) + ( y − 1) = ⇔ x = y = c Chứng minh với số tự nhiên n : A = n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n M59 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59 5n(59 – 8) + 8.64n Câu 2: 2 a Chứng minh a +b +c < ( ab +bc +ca ) với số thực a, b, c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: < a < b + c ⇒ a < ab + ca ; < b < c + a ⇒ b < bc + ab < c < a + b ⇒ c < ca + bc Do đó, suy ra: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) b Chứng minh với số ngun x biểu thức P số phương Ta có: P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + ) ( x + 11) + 16 ⇔ P = ( x + 5)( x + 11)( x + 7)( x + 9) + 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55)( x + 16 x + 63)+ 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55) + 8( x + 16 x + 55)+ 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55) + 2( x + 16 x + 55).4+ 42 ⇔ P = ( x + 16 x + 59) Vơi x số nguyên P số CP Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P = 1 1 + + + + x − x x − 3x + x − x + x − x + 12 x − x + 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P a) Tìm điều kiện đúng: x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ 4; x ≠ b) Rút gọn đúng: 1 1 + + + + x( x − 1) ( x − 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 4) ( x − 4)( x − 5) 1 1 1 1 − ÷+ − − − − = ÷+ ÷+ ÷+ ÷ x − x x − x −1 x − x − x − x − x − x − P= = = 1 − = x − x x ( x − 5) I K B H ∆ ∆ Q Câu P C A Chứng minh: ABC S KPC ( G.G) b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK PB (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền tam giác vng) Lại có: HK = HA (Giả thiết) Do đó: QH đường trung trực AK Ta có: AQ = KQ = S (2đ) ˆ = HAC ˆ + EAH ˆ = CAE ˆ ˆ = Bˆ + BAE Ta có: CEA ⇒ ∆CAE cân C ⇒ CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF K Ta có: BE MB MA FA = = = EH KH KH FH (2) BE AB = (3) EH AH AB CA CE = = ∆ CAH ∆ CBA đồng dạng ⇒ (theo (1)) AH CH CH AE phân giác ∆ ABH ⇒ (4) Từ (2), (3), (4) ⇒ FA CE AH EH = = ⇒ AE PCF (đpcm) hay FH CH FH CH 0,5đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ ... = x + 2019 x + 2019 x + 20 18 A = x + 2019 x + 2019 x + 20 18 A = x − + 2019( x + x + 2019) A = (x - 1)(x + x + 1) + 2019( x + x + 1) A = ( x + x + 1) ( x − + 2019) A = (x + x + )(x + 20 18) b Tìm... n+2 + 26.5n + 82 n+1 M 59 5n+2 + 26.5n + 82 n+1 = 25.5n + 26.5n + 8. 82n = 59.5n + 8( 64n – 5n) 59.5n M59 vaø 8( 64n – 5n) M(64 – 5) = 59 vaäy 5n+2 + 26.5n + 82 n+1 M59 5n(59 – 8) + 8. 64n Câu 2: 2... + 11)( x + 7)( x + 9) + 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55)( x + 16 x + 63)+ 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55) + 8( x + 16 x + 55)+ 16 ⇔ P = ( x + 16 x + 55) + 2( x + 16 x + 55).4+ 42 ⇔ P = ( x + 16 x + 59)