PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 2/05/2019 Bài (6,0 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x 2019 x 2019 x 2018 b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x y x y 0 c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 Bài (4,0 điểm) 2 a Chứng minh a b c ab bc ca với số thực a, b, c b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P x+5 x+7 x x 11 + 16 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK Bài (2.0 điểm): ˆ ABC ˆ Đường Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC ˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác góc BAH F Chứng minh rằng: CF // AE Hết \ ĐÁP ÁN Câu 1: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x 2019 x 2019 x 2018 A = x 2019 x 2019 x 2018 A = x 2019( x x 2019) A = (x - 1)(x x 1) 2019( x x 1) A = x x 1 ( x 2019) A = (x + x + )(x 2018) b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x y x y 0 x y x y 0 ( x x 4) ( y y 1) 0 ( x 2) ( y 1) 0 x 2 y 1 c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59 vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) Câu 2: 2 a Chứng minh a b c ab bc ca với số thực a, b, c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a b c a ab ca ; b c a b bc ab c a b c ca bc Do đó, suy ra: a b c 2(ab bc ca ) b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Ta có: P x+5 x+7 x x 11 + 16 P ( x 5)( x 11)( x 7)( x 9) + 16 P ( x 16 x 55)( x 16 x 63)+ 16 P ( x 16 x 55) 8( x 16 x 55)+ 16 P ( x 16 x 55) 2( x 16 x 55).4+ 42 P ( x 16 x 59) Vơi x số nguyên P số CP Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 b) Rút gọn đúng: 1 1 x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5) 1 1 1 1 = x x x x 1 x x x x x x 1 x x x x 5 P I K B H Q Câu P C A Chứng minh: ABC S KPC ( G.G) b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK PB (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền tam giác vng) Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH đường trung trực AK Ta có: AQ KQ S (2đ) ˆ HAC ˆ EAH ˆ CAE ˆ ˆ Bˆ BAE Ta có: CEA CAE cân C CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF K Ta có: BE MB MA FA EH KH KH FH 0,5đ (2) BE AB (3) EH AH AB CA CE CAH CBA đồng dạng AH CH CH 0,25 đ AE phân giác ABH (theo (1)) (4) Từ (2), (3), (4) 0,5đ FA CE AH EH AE CF (đpcm) hay FH CH FH CH 0,25 đ 0,5đ