ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1.(3đ) a) Phân tích đa thức x3 − 5x + 8x − thành nhân tử x AMB b) Tìm giá trị nguyên để biết A = 10 x − x − B = x − x + y = xy ≠ c) Cho Chứng minh rằng: 2( x − y ) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + Bài (3đ) Giải phương trình sau: a) ( x + x ) + ( x + x ) = 12 b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) ABCD; Cho hình vng Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy AE = CF F cho ∆EDF a) Chứng minh vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF O, C , I Chứng minh thẳng hàng Bài 4.(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, BD = AE AC cho Xác định vị trí điểm D, E cho a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN Bài a) x3 − x + x − = x3 − x + x − x + x − = x ( x2 − x + 4) − ( x2 − 4x + 4) = ( x − 1) ( x − ) b) Xét A 10 x − x − = = 5x + + B 2x − 2x − x∈¢ ∈ ¢ ⇒ 7M ( x − 3) 2x − MB A { −1;1; −7;7} ⇒ x ∈ { 5; −2;2;1} AMB Mà Ư(7)= c) Biến đổi: x y x4 − x − y4 + y − = y − x − ( y − 1) ( x3 − 1) với = (x − y4 ) − ( x − y ) xy ( y + y + 1) ( x + x + 1) ( x + y = 1⇒ y − = −x & x −1 = − y ) = ( x − y ) ( x + y ) ( x2 + y ) − ( x − y ) xy ( x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) ( x − y ) ( x + y − 1) = xy x y + xy ( x + y ) + x + y + xy + 2 ( x − y ) ( x − x + y − y ) ( x − y ) x ( x − 1) + y ( y − 1) = = 2 xy ( x y + 3) xy x y + ( x + y ) + = = ( x − y ) x ( − y ) + y ( − x ) ( x − y ) ( −2 xy ) = xy ( x y + 3) −2 ( x − y ) ⇒ dfcm x2 y + xy ( x y + ) Bài a) ( x + x ) + ( x + x ) = 12 , đặt y = x2 + x y = −6 y + y − 12 = ⇔ ( y + ) ( y − ) = ⇔ y = VN x + x = −6 ⇔ ⇔ x = −2 x + x = x = Vậy S = { −2;1} x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ⇔ +1+ +1+ +1= +1+ +1+ +1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 ⇔ ( x + 2009 ) + + − − − ÷= 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x = −2009 b) Bài a) Ta có ∆ADE = ∆CDF ( cgc ) ⇒ ∆EDF cân D µ µ ∆ADE = ∆CDF ( cgc ) ⇒ E1 = F Mặt khác µ +E ¶ +F µ = 900 ⇒ F µ +E ¶ +F µ = 900 ⇒ EDF · E = 900 2 Mà ∆EDF Vậy vuông cân ⇒ CO b) Theo tính chất đường chéo hình vuông trung trực BD 1 ⇒ DI = EF BI = EF ⇒ DI = BI 2 ∆EDF Mà vuông cân , tương tự: ⇒I ⇒I thuộc đường trung trực DB thuộc đường thẳng CO O, C , I Hay thẳng hàng Bài a) Đặt AE = BD = x ( < x < a ) AB = AC = a không đổi ; ∆ADE Áp dụng định lý Pytago với vuông A có: 2 2 2 DE = AD + AE = ( a − x ) + x = x − 2ax + a 2 a2 a2 a2 = ( x − ax ) − a = x − ÷ + ≥ 4 2 2 DEmin ⇔ DEmin ⇔x= Ta có ⇔ BD = AE = b) Tứ giác S ADE Ta có: a ⇔ D, E BDEC a trung điểm AB, AC có diện tích nhỏ 1 1 = AD AE = AD.BD = AD.( AB − AD ) = ( AD − AB AD ) 2 2 1 AB AB AB 1 AB AB AB 2 = − AD − AD + = − AD − ≤ ÷+ ÷ + 2 2 S BDEC = S ABC − S ADE Vậy Do AB AB ≥ − = AB 8 S BDEC = AB (Không đổi) D, E trung điểm AB, AC