ĐỀ BÀI Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên a) n để: A = n3 − n + n − số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − B= n2 + b) có giá trị số nguyên D=n −n+2 c) số phương Câu (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + abc = a) biết a + b + c = ( ab + bc + ca ) a+b+c=0 b) Với a b2 c c b a + + ≥ + + b2 c2 a b a c c) Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 a) 2 x ( x − 1) ( x − 1) = b) x − y + x − y − 10 = x, y c) với nguyên dương ABCD ( AB / /CD ) Câu (5 diểm) Cho hình thang , O giao điểm hai đường BC AB DA chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với cắt E, cắt F AOD BOC a) Chứng minh : Diện tích tam giác diện tích tam giác 1 + = AB CD EF b) Chứng minh: c) Gọi K điểm thuộc chia đơi diện tích tam giác OE DEF Nêu cách dựng đường thẳng qua K ĐÁP ÁN Câu A = n3 − n + n − = ( n2 + 1) ( n − 1) a) n −1 = ⇔ n = A=5 Để A ngun tố Khi B = n + 3n − n +2 b) ⇔ 2Mn + B có giá trị nguyên n2 + = n = −1(ktm) ⇒ ⇔ n + = n = (tm) n +2 ước tự nhiên n=0 Vậy với B có giá trị nguyên c) D = n5 − n + = n ( n − 1) + = n ( n + 1) ( n − 1) ( n + 1) + = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) + 5 + = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) ( n + ) + 5n ( n − 1) ( n + 1) + Mà Và n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) ( n + ) M 5n ( n − 1) ( n + 1) M Do D Vậy D (tích số tự nhiên liên tiếp) chia dư có tận nên D khơng phải số phương n Vậy khơng có giá trị để D số phương Câu a) a b c ac abc c + + = + + ab + a + bc + b + ac + c + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + b) a + b + c = ⇒ a + b2 + c + ( ab + ac + bc ) = ⇔ a + b + c = −2 ( ab + ac + bc ) (1) ⇒ a + b + c + ( a 2b + a 2c + b 2c ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) + 8abc ( a + b + c ) a+b+c =0 (Vì ) ⇒ ( ab + ac + bc ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) Từ (1) (2) c) a2 b2 a2 b2 c2 a2 (2) ⇒ a + b + c = ( ab + ac + bc ) Áp dụng bất đẳng thức b2 a b a + ≥ = c b c c c2 a c c + ≥ = a b a b b2 c b b + ≥ = c a c a x + y ≥ xy Dấu xảy Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 b2 c2 a c b a c b a + + ÷ ≥ + + ÷⇒ + + ≥ + + c a c a c b a c b a b b Dấu Câu a) "=" xảy a=b=c x= y x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ − 1÷+ − ÷+ − ÷= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ = ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300 86 84 82 Vậy b) S = { 300} x ( x − 1) ( x − 1) = ⇔ ( 64 x − 16 x + 1) ( x − x ) = ⇔ ( 64 x − 16 x + 1) ( 64 x − 16 x ) = 72 64 x − 16 x + =k Đặt Ta có: ( k + 0,5) ( k − 0,5 ) = 72 ⇔ k = 72,25 ⇒ k = ±8,5 Với k = 8,5 ta có phương trình : x= 64 x − 16 x − = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = −1 k = −8,5 Với ta có phương trình: 64 x − 16 x + = ⇔ ( x − 1) + = 1 S = ;− 2 4 c) (vô nghiệm) Vậy x − y + x − y − 10 = ⇔ ( x + x + 1) − ( y + y + ) − = ⇔ ( x + 1) − ( y + ) = ⇔ ( x − y − 1) ( x + y + 3) = 2 x, y Vì nguyên dương nên ⇒ x+ y +3=7 x + y + > x − y −1 x = x − y −1 = ⇒ y =1 Phương trình có nghiệm dương Câu ( x; y ) = ( 3;1) AB / / CD ⇒ S DAB = SCBA a) Vì (cùng đáy đường cao) ⇒ S DAB − S AOB = SCBA − S AOB S AOD = S BOC hay EO AO EO / / DC ⇒ = DC AC AB / / DC b) Vì Mặt khác AB AO AB AO AB AO EO AB ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 ⇒ = ⇒ = ⇒ + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK ( N ∈ DF ) KN Kẻ đường thẳng đường phải dựng S EDM = S EFM (1) Chứng minh: S IKE = S IMN ( ) KN EM Gọi giao điểm I S DEKN = S KFN Từ (1) (2) suy ... 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ − 1÷+ − ÷+ − ÷= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ = ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300 86 84 82 ... k + 0,5) ( k − 0,5 ) = 72 ⇔ k = 72,25 ⇒ k = ? ?8, 5 Với k = 8, 5 ta có phương trình : x= 64 x − 16 x − = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = −1 k = ? ?8, 5 Với ta có phương trình: 64 x − 16 x + =... b + c = −2 ( ab + ac + bc ) (1) ⇒ a + b + c + ( a 2b + a 2c + b 2c ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) + 8abc ( a + b + c ) a+b+c =0 (Vì ) ⇒ ( ab + ac + bc ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) Từ (1) (2) c) a2 b2