ĐỀ BÀI Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A n n n số nguyên tố n 3n3 2n 6n B n2 b) có giá trị số nguyên c) D n n số phương Câu (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c 1 a) ab a bc b ac c biết abc 1 4 b) Với a b c 0 a b c 2 ab bc ca a b2 c c b a 2 2 c a b a c c) b Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 a) b) x x 1 x 1 9 2 c) x y x y 10 0 với x, y nguyên dương Câu (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN Câu A n3 n n n 1 n 1 a) Để A nguyên tố n 1 n 2 Khi A 5 B n 3n n 2 b) B có giá trị nguyên 2n n 1 n 1( ktm) n n ước tự nhiên n 0 (tm) Vậy với n 0 B có giá trị ngun c) D n5 n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 5 n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 Mà n n 1 n 1 n n 5 (tích số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 5 Vậy D chia dư Do D có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu a) a b c ac abc c ab a bc b ac c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac 1 ac c c ac ac c abc ac b) a b c 0 a b c ab ac bc 0 a b c ab ac bc (1) a b c a 2b a 2c b 2c 4 a 2b a 2c b 2c 8abc a b c (Vì a b c 0 ) ab ac bc 2 a 2b a 2c b 2c (2) 4 a b c 2 ab ac bc Từ (1) (2) 2 c) Áp dụng bất đẳng thức x y 2 xy Dấu xảy x y a b2 a b a b2 c b c c a2 c2 a c c b2 a b a b 2 c b c b b 2 2 a c a c a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a2 b2 c2 a c b a c b 2 c a b c a c b a c b a b Dấu " " xảy a b c Câu a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 x 300 0 x 300 0 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2 x x 1 x 1 9 64 x 16 x 1 x x 9 64 x 16 x 1 64 x 16 x 72 64 x 16 x k Đặt Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 72,25 k 8,5 Với k 8,5 ta có phương trình : x 64 x 16 x 0 x 1 x 1 0 x Với k 8,5 ta có phương trình: 64 x 16 x 0 x 1 0 (vô nghiệm) c) 1 S ; 2 4 Vậy x y x y 10 0 x x 1 y y 0 2 x 1 y 7 x y 1 x y 7 Vì x, y nguyên dương nên x y x y x 3 x y 1 x y 7 y 1 Phương trình có nghiệm dương x; y 3;1 Câu B A E F K O I N M D a) Vì AB / / CD S DAB SCBA (cùng đáy đường cao) S DAB S AOB SCBA S AOB hay S AOD S BOC b) Vì EO / / DC EO AO DC AC Mặt khác AB / / DC C AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK N DF Kẻ đường thẳng KN đường phải dựng Chứng minh: S EDM S EFM (1) Gọi giao điểm EM KN I S IKE S IMN Từ (1) (2) suy S DEKN S KFN