108 đề HSG toán 8 huyện

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm : 120 phút) Câu (3 điểm) a) Cho biểu thức A = 2a 2b + 2b 2c + 2a 2c − a − b − c Chứng minh a , b, c A>0 cạnh tam giác a − aM 30 ( a ∈ ¢ ) b) Chứng minh Câu (2 điểm) x − xy + y + 3x − y − + = x − x − x + Giải phương trình : Câu (1,5 điểm) a + b3 = a+b≤2 Cho Chứng minh Câu (1,5 điểm) ( AB / /CD ) , AC BD Cho hình thang ABCD hai đường chéo cắt O Một đường thẳng d qua O song song với E lượt F Chứng minh Câu (2 điểm) đáy cắt hai cạnh bên 1 + = AB CD EF AD, BC lần Cho hình bình hành AB, BC KD cho ABCD AN = CM tia phân giác Các điểm M,N Gọi K giao điểm ·AKC theo thứ tự thuộc cạnh AN CM Chứng minh ĐÁP ÁN Câu a) A = 2a 2b + 2b 2c + 2a 2c − a − b − c = 4a 2b − ( 2a 2b − 2b 2c − 2a 2c + a + b + c ) = ( 2ab ) − ( a + b − c ) = ( 2ab + a + b − c ) ( 2ab − a − b2 + c ) 2 2 = ( a + b ) − c   c − ( a − b )  = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( c + a − b ) ( c − a + b )    a, b, c Do cạnh tam giác nên a + b + c > 0; a + b − c > 0; c + a − b > 0; c − a + b > ⇒ A > a5 − a = a ( a − 1) = a ( a − 1) ( a + 1) = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) + 5   = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) + 5a ( a + 1) ( a − 1) b) Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp ( 6,5) = ln có ba số ngun liên tiếp mà tích chúng chia hết cho a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) M 30 5a ( a + 1) ( a − 1) M 30 Suy a − aM 30 Vậy Câu x − xy + y + 3x − y − + = x − x − 3x + ⇔ ( x − y + 1) + x − + ( x − 1) ( x − ) = x − (1) Do ( x − y + 1) + x − + ( x − 1) ( x − ) ≥ (∀x, y ) ⇒ 2x − ≥ ⇔ 2( x − 2) ≥ ⇔ x ≥ ( x − y + 1) + x − = ( x − y + 1) + x − 2; ( x − 1) ( x − ) = x − 3x + x≥2 Với Khi từ phương trình (1) ⇒ ( x − y + 1) + x − + ( x − 1) = ( x − ) ⇔ ( x − y + 1) = ( x − ) ( − x + − 1) = − ( x − ) 2 ⇔ ( x − y + 1) + ( x − ) = ⇔ x − = 2 Vậy tập nghiệm phương trình : x − y + = ⇔ x = 2; y = 3(tm) ( x; y ) = ( 2;3) Câu Giả sử a + b > ⇔ ( a + b ) > 23 ⇔ a + b3 + 3ab ( a + b ) > ⇔ + 3ab ( a + b ) > 8( a + b3 = 2) ⇔ 3ab ( a + b ) > ⇔ ab ( a + b ) > ⇔ ab ( a + b ) > a + b ( a + b3 = ) ⇔ ab ( a + b ) > ( a + b ) ( a − ab + b ) ⇔ ab > a − ab + b ⇔ a − 2ab + b < ⇔ ( a − b ) < 0(Vo a+b≤2 Vậy Câu Xét ∆ABD OE / / AB ⇒ có OE OD = AB DB (Hệ định lý Talet) (1) ly ') Xét Xét ∆ABC ∆ABC OF / / DC ⇒ có OF / / AB ⇒ có OE / / DC ⇒ OF OB = CD BD OF OC = AB AC (hệ định lý Talet ) (2) (hệ định lý Ta let ) (3) OE AO = DC AC ∆ABD Xét có (Hệ định lý Ta let ) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy OE OF OF OE OD OB OC AO + + + = + + + AB CD AB DC DB BD AC AC OE OF OF OE OD OB OC AO ⇔ + + + = + + + AB AB CD DC DB BD AC AC EF EF BD AC EF EF 1 ⇔ + = + ⇔ + =2⇔ + = AB DC BD AC AB DC AB CD EF Câu Kẻ DI , DJ AK , CK vng góc với 1 S AND = AN DI = S ABCD 2 Ta có: (Do chung đáy AD, chiều cao hạ từ N) (1) 1 SCDM = CM DJ = S ABCD 2 (Do chung đáy CD, chiều cao hạ từ M ) (2) 1 AN DI = CM DJ ⇔ DI = DJ AN = CM ) 2 Từ (1) (2) suy : (Vì · ⇒ IKD = ·JKD ⇒ ∆DIK = ∆DJK (cạnh huyền-cạnh góc vng) ·AKC ⇒ KD tia phân giác