Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x ( x ¡ ; x 0) thỏa mãn điều kiện: biểu thức: B x5 x x2 7 x2 Tính giá trị Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Câu 3: (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x x m 2 n 2) Tìm hai số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx ; x 2nx Câu 4: (3 điểm) 1) Cho phương trình: x 2( m 3) x m Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t x y z t 2 y z z t t x x y số thực dương Chứng minh rằng: Câu 5: (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung trịn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Câu 6: (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x ( x ¡ ; x 0) thỏa mãn điều kiện: biểu thức: B x5 x x2 7 x2 Tính giá trị Lời giải 1) Ta có: n 4n n 4n (n 1)(n 1) 2(2n 3) Do n lẻ nên n n hai số chẵn liên tiếp ( n 1)( n 1) M8 Mà 2n lẻ 2n không chia hết cho 2(2n 3) không chia hết cho ( n 1)(n 1) 2(2n 3) (n 1)(n 1) 2(2n 3) không chia hết cho 2 1 x 7x 9 x 3 x x x 2) Ta có: (do x ) 1 1 x 27 x x 27 x 18 x x x x 1 x x 18.7 126 x x 126 x 123 x x x x x Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 1 Tổng quát: 1 n (n 1)2 (n 1)2 n n (n 1)2 n(n 1) n(n 1) 2n(n 1) n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) X 1 Vậy 1 n( n 1) 1 1 n(n 1) n (n 1) 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2017.2018 2017 1 1 1 1 4072323 2018 2 3 2017 2018 2018 2018 Câu 3: (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x x m 2 n 2) Tìm hai số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx ; x 2nx Lời giải 1) 3x 27 x x Điều kiện: x 2 Pt 3x (3x 2)(9 x x 4) x x x (3 x 2)(9 x x 4) 3x x x 3x x x 3x 2 x x2 x x ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm 2 1 x ; 3 3 2) Do m, n dấu nên: m n m 2n - Nếu m 0; n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m n m 2n ( m 2n ) - Nếu m 0; n Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình ta được: có nghiệm chung x02 (m 2n ) x0 x0 mx0 x0 2nx0 có nghiệm x0 ( m 2n ) 4.2.8 m 2n ( m 2n )2 64 m 2 n 8 m 2n 8 m 2n m 2 n Vậy đạt GTNN m 2n 8 2 + TH1: m 2n , ta x0 x0 x0 x0 x0 2 Ta có m ( 2)2 m.( 2) ( 2) 2n.( 2) n (thỏa mãn) 2 + TH2: m 2n , ta x0 x0 2( x0 2) x0 m 3 2 m.2 2 2n.2 n Ta có (thỏa mãn) Vậy với m n Vậy với m 3 hai phương trình có nghiệm chung x0 2 n hai phương trình có nghiệm chung x0 Câu 4: (3 điểm) 1) Cho phương trình: x 2( m 3) x m Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t 2 y z z t t x x y Lời giải 1) Xét phương trình: x 2( m 3) x m Giả sử x1 x2 Áp dụng Vi-et ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x1 x2 m x1 x2 2(m 3) mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn thì: ( m 3) m ' ( x1 2)( x2 2) x1 x2 2( x1 x2 ) m 5m 12 11 m 3m 11 (do m 5m 12 lớn ) 11 phương trình có nghiệm nhỏ Vậy với nghiệm lớn m 2) Đặt N A x y z t x y z t M y z z t t x x y , x y y z zt t x y z t x x y y z zt t x M N Ta có x y z t y z t x 4 x y y z z t t x x y y z z t t x N A yt x z yt x z x y yz zt t x 1 4( y t ) 4( x z ) (y t) ( x z) 4 x y zt y z t x x y zt x y zt Chứng minh tương tự ta có A M A M A N A Dấu “=” xảy x y z t Câu 5: (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung trịn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Lời giải 2 Ta có: AC DB AB BC 21 (cm) Mà AC AF ( C , F thuộc đường tròn tâm A ) AF AC 21 EB Xét ABE vng B ta có AE AB BE 212 (21 2) 21 Xét FME vng E ta có: EM 21 EB 2 Áp dụng định lí Py-ta2 21 21 FM FE ME 21 go ta có: 2 21 FM AE 21 ME 21 EF 21 Ta có: ; Xét AEF FME ta có: · ·AFE FEM 90 · · AEF ∽ FME (c g.c ) FEA FME AE FM EF ME · · · · Mà FEA HEM 90 FME MEH 90 FM AE Câu 6: (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com EI ME AB AM Gọi I giao điểm BM CD Ta có Kẻ OX vng góc với Khi DM OXD ∽ ADE ( g g ) EI // AB DX DE OD AE DE 1 DX R DM R 10 10 10 DE AD ME DE MD ME DE MD DEM ∽ AEC CE AE AC AE CE AC 10 Ta có ME ME 1 1 EI AB CD ID EI DE CD AE AM 6 BC (đpcm) …………… HẾT…………… CMI ∽ BNF ( g c g ) BF CI Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 1 2 2 3 2017 2 0182 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2017.2 018 2017 1 1 1 1 4072323 2 018 2 3 2017 2 018 2 018 2 018 Câu 3: (4 điểm) 1) Giải phương trình:... 18 x x x x 1 x x 18. 7 126 x x 126 x 123 x x x x x Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 2 0182 ... AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh