81 hsg 18 vinhphuc le tung hai

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018  a  2018 P   a  a 1  Câu 1: Rút gọn biểu thức Câu 2: Cho ba số thực dương x, y, a  2018  a   a  a z  xy  thỏa mãn  y  x x  y  z y  z Chứng minh đẳng thức x y  z z x y z  , 2  x y z z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd  abc  ab  a 4321 ( m  1) x  y 2  Câu 4: Cho hệ phương trình  x  y 2 ( m tham số x, y ẩn số) Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Câu 5: Giải phương trình  x   x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A AB 12cm , AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI  Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 50 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B ), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh MB.DN  BH AD  b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường tròn (O ) cố định hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O ) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O ) (điểm A khơng trùng với điểm B C ), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng ( d ) vng góc với đường thẳng AB , đường thẳng ( d ) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O ) điểm H ln nằm đường trịn cố định Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1   2 a , b , c Câu 9: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a  Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018  a  2018 P   a  a 1  Câu 1: Rút gọn biểu thức a  2018  a   a  a Lời giải a   Điều kiện: a 1 Khi đó:  a  2018 a  2018  a  P    ( a  1)( a  1)  a  ( a  1)  ( a  2018)( a  1)  ( a  2018)( a  1) a  ( a  1)2 ( a  1) a  2.2017 a a  2017  a ( a  1) ( a  1) a Câu 2: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn  xy  x y z  x  y  z y  z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC , Website:tailieumontoan.com  y  x Chứng minh đẳng thức x y  z z 2  x y z z Lời giải  y  x Ta có:  x 2  2 x  y y x y  z  z   z  z x y x y   z  x z  y x y 2 2   y  x  z z  x  y  z z  x  z 2   y  z 2 z z 2  z x 2 y  z x 2 y  x y z z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd  abc  ab  a 4321 Lời giải Ta có: abcd  abc  ab  a 4321  1111a  111b  11c  d 4321 (1) Vì a, b, c, d   a 9 , b, c, d 9 nên 3214 1111a 4321  a 3 Thay vào (1) ta 111b  11c  d 988 (2) Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988  b 8 Thay vào (2) ta 11c  d 100 Mà 91 11c 100  c 9 d 1 ( m  1) x  y 2  Câu 4: Cho hệ phương trình  x  y 2 ( m tham số x, y ẩn số) Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Lời giải Từ phương trình x  y 2  x 2  y vào phương trình thứ ta ( m  1)(2  y)  y 2  (2m  3) y 2m  (3) Hệ có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên  (3) có nghiệm y số nguyên Với m    2m  0  (3) có nghiệm  2m  1 y     2m   Câu 5: Giải phương trình y 2m  1  2m  2m   m 2  m 1  Vậy có hai giá trị m thỏa mãn 1;  x   x 3 Lời giải 1  x 0    x 1  Điều kiện xác định: 4  x 0 (*) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với   x  x 9   x 0  (1  x )(4  x ) 2  (1  x )(4  x ) 4  x  x 0  x ( x  3) 0  x  Đối chiếu với điều kiện (*) ta x 0; x  Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A AB 12cm , AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Lời giải A E I B M C 2 Ta có BC  AB  AC 20cm Gọi E giao điểm BI với AC Theo tính chất đường phân AE EC AE  EC BC     EC  10cm AB BC AB  BC 2 giác ta có:   Ta có ICE ICM ( c  g  c ) EC  MC 10 ; ICE  ICM ; IC chung     IMB     IEC  IMC  IEA  IBM ∽ ABE  IBA Mặt khác IBM    BIM  BAE 90  BI  MI  Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 50 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B ), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh MB.DN  BH AD  b) Tính số đo góc MON Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com M H A B C O N D     Ta có MBH  ADN , MHB  AND  MBH ∽ ADN  MB BH   MB.DN  BH AD AD DN (1) Ta có OHB ∽ AOD  Từ (1) (2) ta có BH OB   DO.OB BH AD DO AD (2) MB DN  DO.OB  MB OB  DO DN     Ta lại có MBO 180  CBD 180  CDB ODN    MBO ∽ ODN  OMB  NOD            MON 180  MOB  NOD 180  MOB  OMB 180  OBC 115 Câu 8: Cho đường tròn (O ) cố định hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O ) (điểm A không trùng với điểm B C ), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng ( d ) vng góc với đường thẳng AB , đường thẳng ( d ) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O ) điểm H ln nằm đường trịn cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi D trung điểm đoạn BC , tam giác BOC , AOC tam giác cân O nên OD  BC , OM  AC   Ta có: ODC OMC 90  Bốn điểm O, D,C , M nằm đường trịn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I , E cố định DE đường kính đường tròn ( I ) Nếu H E , H B :  M E  BHE 90 - Với - M E , Với  DM // BH  DMH 90 Khi    DME DMH 90  H , M , E thẳng hàng Suy BHE 90  Vậy ta ln có: BHE 90 H  E H B , H thuộc đường trịn đường kính BE cố định 1   2 Câu 9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a  Lời giải 1 1   3 xyz Với x, y, z  ta có: x  y  z 3 xyz , x y z  1 1 1 1 1   x  y  z      9       x  y  z  x y z  Đẳng thức xảy  x y z x  y z 2 2 Ta có 5a  2ab  2b (2a  b)  ( a  b) (2a  b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1      2a  b  a a b  Đẳng thức xảy a b 5a  2ab  2b 1 1 1 1       2 2b  c  b b c  Đẳng thức xảy b c Tương tự 5b  2bc  2c  2 5c  2ca  2a Do   11 1      2c  a  c c a  Đẳng thức xảy c a 1   2 2 5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a  3 3 1 1 1          a b c   a b c   a b c  Đẳng thức xảy Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Lời giải Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a  0) Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn yêu cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S , E , K cho SCDSK 3S ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy được: DS  CK 3( AS  BK )  a  AS  a  BK 3(AS BK)  AS  BK  a  EM  a , suy E cố định d qua E Lấy F , H đoạn NQ G đoạn MP cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: FN GP  HQ  a TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E , F , G , H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện  2018     505 đề phải có   đường thẳng qua bốn điểm E , F , G , H cố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC