Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 a 2018 a P a 1 a a a 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức Câu 2: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn y x x y z y z Chứng minh đẳng thức x y z x z y 2 x y z x z y z , Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd abc ab a 4321 (m 1) x y Câu 4: Cho hệ phương trình x y ( m tham số x, y ẩn số) Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Câu 5: Giải phương trình 1 x x Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A AB 12cm , AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI · Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 50 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B ), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh MB DN BH AD · b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường trịn (O ) cố định hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O ) (điểm A không trùng với điểm B C ), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng ( d ) vng góc với đường thẳng AB , đường thẳng ( d ) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O ) điểm H ln nằm đường trịn cố định Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 2 a , b , c Câu 9: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 5a 2ab 2b 2 5b 2bc 2c 2 5c 2ca 2a 2 Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 a 2018 a P a 1 a a a 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức Lời giải a Điều kiện: a Khi đó: a 2018 a 2018 a P ( a 1)( a 1) a ( a 1) ( a 2018)( a 1) ( a 2018)( a 1) a ( a 1)2 ( a 1) a 2.2017 a a 2017 a 1 ( a 1) ( a 1) a Câu 2: Cho ba số thực dương x y z y z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x, tốn: y, z thỏa mãn x y x y z TÀI LIỆU TOÁN HỌC , Website:tailieumontoan.com y x Chứng minh đẳng thức y x Ta có: x 2 2 x z x z y z y z y 2 y 2 x z y z Lời giải y x z z x y z z x z 2 y z 2 z x y z x y z x z y z x z 2 2 x y z x 2 y 2 z x 2 y 2 x z y z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd abc ab a 4321 Lời giải Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 (1) Vì a, b, c, d ¥ a , b, c, d nên 3214 1111a 4321 a Thay vào (1) ta 111b 11c d 988 (2) Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b Thay vào (2) ta 11c d 100 Mà 91 11c 100 c d (m 1) x y Câu 4: Cho hệ phương trình x y ( m tham số x, y ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Lời giải Từ phương trình x y x y vào phương trình thứ ta ( m 1)(2 y) y (2m 3) y 2m (3) Hệ có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên (3) có nghiệm y số nguyên Với m ¢ 2m (3) có nghiệm y 2m 1 2m 2m 2m m y ¢ 2m 1 m Vậy có hai giá trị m thỏa mãn 1; Câu 5: Giải phương trình 1 x x Lời giải 1 x 4 x Điều kiện xác định: 4 x (*) Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x (1 x )(4 x ) (1 x )(4 x) x 3x x ( x 3) x 3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta x 0; x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A AB 12cm , AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Lời giải Ta có BC AB AC 20cm Gọi E giao điểm BI với AC Theo tính chất đường phân AE EC AE EC BC EC 10cm AB BC AB BC 2 giác ta có: · · Ta có ICE ICM ( c g c ) EC MC 10 ; ICE ICM ; IC chung · · · · · · IBM ∽ ABE IEC IMC IEA IMB IBA Mặt khác IBM · · BIM BAE 90 BI MI · Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 50 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B ), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh MB DN BH AD · b) Tính số đo góc MON Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · · Ta có MBH ADN , MHB AND MBH ∽ ADN MB BH MB DN BH AD AD DN (1) Ta có OHB ∽ AOD Từ (1) (2) ta có BH OB DO.OB BH AD DO AD (2) MB.DN DO.OB MB OB DO DN · · · · Ta lại có MBO 180 CBD 180 CDB ODN · · MBO ∽ ODN OMB NOD · · · · · · MON 180 MOB NOD 180 MOB OMB 180 OBC 115 Câu 8: Cho đường tròn (O ) cố định hai điểm phân biệt B , C cố định thuộc đường tròn (O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O ) (điểm A không trùng với điểm B C ), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng ( d ) vng góc với đường thẳng AB , đường thẳng (d ) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O ) điểm H ln nằm đường trịn cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi D trung điểm đoạn BC , tam giác BOC , AOC tam giác cân O nên OD BC , OM AC · · Ta có: ODC OMC 90 Bốn điểm O, D,C , M nằm đường tròn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I , E cố định DE đường kính đường trịn ( I ) Nếu H E , H B : · M E BHE 90 - Với - M E, Với · DM // BH DMH 90 Khi · · · DME DMH 90 H , M , E thẳng hàng Suy BHE 90 · Vậy ta có: BHE 90 H E H B , H thuộc đường trịn đường kính BE cố định 1 2 a , b , c Câu 9: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 5a 2ab 2b 2 5b 2bc 2c 2 5c 2ca 2a 2 Lời giải 1 1 33 xyz Với x, y , z ta có: x y z xyz , x y z 1 1 11 1 x y z x y z x y z Đẳng thức xảy x y z x yz 2 2 Ta có 5a 2ab 2b (2a b) ( a b) (2a b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 11 1 2a b a a b Đẳng thức xảy a b 5a 2ab 2b 1 11 1 2 2b c b b c Đẳng thức xảy b c Tương tự 5b 2bc 2c 2 5c 2ca 2a 2 Do 11 1 2c a c c a Đẳng thức xảy c a 1 2 2 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 3 3 1 1 1 abc a b c a b c Đẳng thức xảy Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Lời giải Giả sử hình vng ABCD có cạnh a (a 0) Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn yêu cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S , E , K cho SCDSK 3S ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy được: DS CK 3( AS BK ) a AS a BK 3(AS BK) AS BK a EM a , suy E cố định d qua E Lấy F , H đoạn NQ G đoạn MP cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: FN GP HQ a TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E , F , G , H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện 2018 505 đề phải có đường thẳng qua bốn điểm E , F , G , H cố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2 018 a 2 018 a 2 018 a P a 1 a a a 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức Lời giải a Điều kiện: a Khi đó: a 2 018 a 2 018 a ... MBO 180 CBD 180 CDB ODN · · MBO ∽ ODN OMB NOD · · · · · · MON 180 MOB NOD 180 MOB OMB 180 OBC 115 Câu 8: Cho đường tròn (O ) cố định hai điểm... vng ABCD 2 018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2 018 đường