Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 A= Câu a) Cho x2 x x x 1 x2 x x x Rút gọn B 1 A x với x 1 0 b) Cho x, y, z 0 đôi khác thỏa mãn x y z Chứng 1 2016 2017 z 2018 xy yz zx x yz y 2zx z 2xy x y minh Câu a) Giải phương trình x 5 x x 3x 10 7 x y xy 2 x x y b) Giải hệ phương trình Câu a) Tìm số thực x cho x 2018 x 2018 số nguyên b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 D Câu Cho hình bình hành ABCD có góc BDC 90 , đường phân giác góc BA cắt cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O , O ' tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF 1) Chứng minh O ' thuộc đường tròn (O ) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O ) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b) Đường tròn (O ) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O ) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM 2 Câu Cho x, y , z thỏa mãn x y z 3xyz Tìm GTLN P x2 y2 z2 x yz y zx z xy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 A= Câu a) Cho x2 x x x 1 x2 x x x Rút gọn B 1 A x với x 1 0 b) Cho x, y, z 0 đôi khác thỏa mãn x y z 1 2016 2017 z 2018 xy yz zx x yz y 2zx z 2xy x y Chứng minh Lời giải a) Ta có A= x2 x x2 x x ( x x 1) x ( x x 1) = x x 1 x x 1 x x 1 x x x ( x 1) x ( x 1) 2x B 1 A x 1 x x 1 x 2 x (0 x ) 1 0 yz xz xy 0 b) Ta có x y z x yz x yz yz x yz xz xy x ( x z ) y ( x z ) ( x z )( z y ) 2 Tương tự y 2zx ( y z )( y x ); z 2xy=(z-x)(z-y) 1 x yz y xz z yx 1 ( x y )( x z ) ( y z )( y x ) ( z y )( z x ) yz zx x y 0 ( x y )( y z )( z x ) 1 2016 ( x y 2017 z 2018 ) 0 x yz y xz z yx Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu a) Giải phương trình x x 3x 10 7 x 5 x y xy 2 x x y b) Giải hệ phương trình Lời giải a) Điều kiện x 2 x 5 x x 3x 10 7 x x 10 x x ( x 5( x 1) x x 1 x 3 x 1 x So với điều kiện ta phương trình có nghiệm x 3 x y xy 2 x x y b) 3 2 3 Từ phương trình x x y 2x 2( x y ) ( x y xy )( x y ) x y x3 y x y 2 Với x y vào phương trình x y xy 2 ta y y 2 y Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) {( 2; 2);( 2; 2)} 2018 Câu a) Tìm số thực x cho x 2018 x số nguyên 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 Lời giải a) Điều kiện x 0 Đặt a x 2018 x a b x Xét b( a 2018 2018 a 2018 2018 a 2018 2018 a 2018 2018) 2025 a 2018 ab 2015 (b a ) 2018 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Với a, b Z ab 2025 Z ( a b) 2018 0 a b a b 2025 45 + a 45 x 45 2018 + a 45 x 45 2018 2 2 b) ab ba (10a b) (10b a ) 99( a b ) 2 2 ab ba chia hết cho 3267 nên a b (a b)(a b) chia hết cho 33 a, b 9 a b ,hay a 7, b 4 ; a 4, b 7 Vậy ta có số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 Câu Cho hình bình hành ABCD có góc BDC 90 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O , O ' tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF 1) Chứng minh O ' thuộc đường tròn (O ) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O ) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b) Đường tròn (O ) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O ) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) E EFC BA BAE DA E (giả thuyết); DAE FEC EFC FEC suy EFC cân C CE CF mà BEA FEC BEA BAE nên ABE cân B BA BE mà BA CD nên BE CD CE CF BE CE DC CF BE CD BC DF (1) Mặt khác O ' CF cân O ' CF O ' FC Với CE CF O ' CE O ' CF O ' CE O ' FC (2) Mà O ' C O ' F (3) Từ (1) , (2) (3) ta BO ' C DO ' F O ' BC O ' DF Nên tứ giác BDCO ' nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ') b) Tam giác BCD D ,nội tiếp đường tròn (O ) DG CG BG DG DE CG.BG BE CE GE CG.BG BE CE DE BE.CE Ta có (CE CG ) CG.BG BE.CE CE 2CE.CG CG CG.BG BE CE CE CE CG BE CE CG.BG CG CE CG CE (CE CG BE ) CG ( BG CG CE ) CE.BG CG.BE c) Tia CH cắt IK N Áp dụng phương tích đường trịn ta có NK NH NC NI NK NI mà CIMK hình bình hành, M , N , H , C thẳng hàng Suy OB O ' C OI O ' K 2 NJ Gọi T điểm đối xứng với H qua N , P giao điểm CH với OO ' PH PC NJ NP OO ' CH Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com NJ NP NP NP NP PH NP NT PC NP TC = HM Vậy OB O ' C HM 2 Câu Cho x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz Tìm GTLN P x2 y2 z2 x yz y zx z xy Lời giải Ta có x, y , z , x y z 3xyz x2 y2 z 3 xyz 2 Với x, y, z , theo BĐT Cauchy ta x y z xy yz zx 4 x yz 2 x yz 2 x x2 yz x yz yz y2 z2 ; 4 y zx zx z xy xy Tương tự ta được: P x2 y2 z2 1 1 1 1 1 4 x yz y zx z xy yz xz xy x y z xy yz zx x y z 2 2 2 xyz xyz GTLN Liên hệ tài 039.373.2038 liệu P x y z 1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC