Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x ( x ; x 0) thỏa mãn điều kiện: biểu thức: B x5 x x2 7 x2 Tính giá trị Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Câu 3: (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x 9 x m 2 n 2) Tìm hai số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 0 ; x 2nx 0 Câu 4: (3 điểm) 1) Cho phương trình: x 2( m 3) x m 0 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z , t x y z t 2 y z z t t x x y số thực dương Chứng minh rằng: Câu 5: (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung trịn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Câu 6: (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho x 7 ( x ; x 0) x 2) Cho số x thỏa mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức: B x5 x Lời giải 2 1) Ta có: n 4n n 4n ( n 1)( n 1) 2(2n 3) Do n lẻ nên n n hai số chẵn liên tiếp ( n 1)( n 1) 8 Mà 2n lẻ 2n không chia hết cho 2(2n 3) không chia hết cho (n 1)( n 1) 2(2n 3) (n 1)(n 1) 2(2n 3) không chia hết cho x 7 x 2) Ta có: 2 1 x 9 x 3 x x (do x ) 1 1 x 27 x x 27 x 18 x x x x 1 1 x x 18.7 126 x x 126 x 123 x x x x x Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 1 Tổng quát: 1 n (n 1)2 (n 1)2 n n (n 1) n(n 1) n(n 1) 2n(n 1) n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) X 1 Vậy 1 n(n 1) 1 1 n(n 1) n(n 1) 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2017.2018 2017 1 1 1 1 4072323 2018 2 3 2017 2018 2018 2018 Câu 3: (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x 9 x m 2 n 2) Tìm hai số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 0 ; x 2nx 0 Lời giải 1) 3x 27 x 9 x Điều kiện: x 2 Pt 3x (3x 2)(9 x x 4) 9 x x x (3 x 2)(9 x x 4) x 0 x2 6x 3x 0 x x 3x 2 x x x 0 x 1 ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm 2 1 x ; 3 2) Do m, n dấu nên: m n m 2n - Nếu m 0; n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m n m 2n (m 2n ) - Nếu m 0; n Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình ta được: có nghiệm chung x0 mx0 0 x0 2nx0 0 x02 (m 2n ) x0 0 có nghiệm x0 ( m 2n) 4.2.8 0 m 2n 8 (m 2n )2 64 m n 8 m 2n m 2n 8 m 2 n Vậy đạt GTNN m 2n 2 + TH1: m 2n 8 , ta x0 x0 0 x0 x0 0 x0 Ta có ( 2)2 m.( 2) 0 ( 2) 2n.( 2) 0 m 3 n (thỏa mãn) 2 + TH2: m 2n 8 , ta x0 x0 0 2( x0 2) 0 x0 2 Ta có m n (thỏa mãn) m.2 0 2n.2 0 Vậy với m 3 n Vậy với m hai phương trình có nghiệm chung x0 n hai phương trình có nghiệm chung x0 2 Câu 4: (3 điểm) 1) Cho phương trình: x 2( m 3) x m 0 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t 2 y z z t t x x y Lời giải 1) Xét phương trình: x 2( m 3) x m 0 Giả sử x1 x2 x1 x2 m x x 2(m 3) Áp dụng Vi-et ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn thì: ' ( x1 2)( x2 2) ( m 3) m x1 x2 2( x1 x2 ) m 5m 12 11 m 3m 11 (do m 5m 12 lớn ) 11 phương trình có nghiệm nhỏ Vậy với nghiệm lớn m A 2) Đặt N x y z t x y z t M y z z t t x x y , x y y z z t t x y z t x x y y z z t t x M N x y z t y z t x 4 x y y z z t t x x y y z z t t x N A Ta có y t x z y t x z x y y z z t t x 1 1 4( y t ) 4( x z ) (y t) ( x z) 4 x y z t y z t x x y z t x y z t Chứng minh tương tự ta có A M 4 A M A N 8 A 2 Dấu “=” xảy x y z t Câu 5: (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21cm x 29,7cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vuông ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung trịn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thông dụng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Lời giải 2 Ta có: AC DB AB BC 21 (cm) Mà AC AF ( C , F thuộc đường tròn tâm A ) AF AC 21 EB Xét ABE vng B ta có AE AB BE 212 (21 2)2 21 21 EM EB 2 Áp dụng định lí Py-taXét FME vng E ta có: 21 21 FM FE ME 21 go ta có: 2 21 FM AE 21 ME 21 21 Ta có: EF ; Xét AEF FME ta có: AFE FEM 90 AEF ∽ FME ( c g.c) FEA FME AE FM EF ME Mà FEA HEM 90 FME MEH 90 FM AE Câu 6: (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi I giao điểm BM CD Ta có EI // AB EI ME AB AM Kẻ OX vuông góc với Khi DM OXD ∽ ADE ( g g ) DX DE DE 1 DX R DM R OD AE 10 10 10 DE AD ME DE MD ME DE MD DEM ∽ AEC CE AE AC AE CE AC 10 Ta có ME ME 1 1 EI AB CD ID EI DE CD AE AM 6 CMI ∽ BNF ( g c g ) BF CI BC (đpcm) …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC