Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC Câu 1: (4,0 điểm) x2 x x x x 1 P x x 1 x x , với x 0; x Rút gọn biểu thức: A x2 x Cho x , tính giá trị biểu thức Câu 2: 100 x2 4x 50 2016 (4,0 điểm) x Tìm nghiệm tự nhiên phương trình y Giải phương trình: Câu 3: x 12 x x (3,0 điểm) x y z xy z Giải hệ phương trình: Câu 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Câu 5: x2 y2 z2 yz zx x y (7,0 điểm) d cắt đường tròn tâm O hai Cho đường tròn tâm O đường thẳng d không qua O ) Trên tia đối tia BC lấy điểm A ( A nằm điểm B, C ( ngồi đường trịn tâm O ) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q ( P nằm A O ), BC cắt MN K a, Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn AK AI AM b, Gọi D trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 1 x x 1 x x , với x 0; x A x2 x Cho x , tính giá trị biểu thức x2 4x 100 50 2016 Lời giải Ta có P x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x2 x 1 2 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x x x x x 1 2 Ta có: ra: A 1 Câu 2: 100 Suy 1 2016 2024 50 (4,0 điểm) x Tìm nghiệm tự nhiên phương trình y Giải phương trình: x 12 x x Lời giải Với x y y 2 Với x y (loại) Với x VT chia dư Vì VT số tự nhiên lẻ nên y số tự nhiên lẻ Từ suy VP chia dư vơ lí Vậy nghiệm tự nhiên phương trình x; y 0; x 12 x x x Để phương trình có nghiệm ta có: x 12 x x x2 x 12 3 x 2 Khi x2 x2 x2 x 1 x 2 x 2 x2 x 12 Do x ta chứng minh x2 x 12 Vậy tập nghiệm phương trình Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: S 2 x 1 x 5 3 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: (3,0 điểm) x y z xy z Giải hệ phương trình: Lời giải Ta có: z x y x y z z x y z x y 2 2 2 xy x y 2 xy z 2 xy z x y 1 2 x y 2 Từ phương trình (2) ta giải Thay vào phương trình (1) ta z 2 Câu 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2 yz zx x y Lời giải x2 yz Vì x, y, z nên áp dụng BĐT Côsi hai số dương y z ta được: x2 yz x2 y z x 2 2 x yz yz 1 Tương tự ta có: y2 zx y zx z2 x y z x y Cộng 3 1 2 3 , ta được: P x yz Dấu “=” xảy Câu 5: 2 xyz x yz 1 2 P x y z Vậy (3,0 điểm) d cắt đường tròn tâm O hai Cho đường tròn tâm O đường thẳng d không qua O ) Trên tia đối tia BC lấy điểm A ( A nằm điểm B, C ( ngồi đường trịn tâm O ) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q ( P nằm A O ), BC cắt MN K Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a, Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn AK AI AM b, Gọi D trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn Lời giải M Q P A B O D H K I E d C N a, * Ta có I trung điểm BC (dây BC không qua O ) nên · OI BC OIA 90o Suy I thuộc đường trịn đường kính AO (1) o · O ) nên M thuộc đường trịn đường Ta có AMO 90 (do AM tiếp tuyến kính AO (2) o · O ) nên N thuộc đường tròn đường Ta có ANO 90 (do AN tiếp tuyến kính AO (3) Từ (1), (2), (3) suy điểm A, M , N , O, I thuộc đường trịn đường kính AO Suy điểm O, M , N , I thuộc đường tròn đường AO O cắt A nên OA tia phân * Ta có AM , AN hai tiếp tuyến · giác góc MON Mà OMN cân O nên OA MN Ta có AMO vng M có đường cao MH nên suy AH AO AM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com o · · · Ta có AHK đồng dạng với AIO (vì AHK AIO 90 OAI chung) nên AK AI AH AO Vậy AK AI AM (đpcm) · O nên PMQ 90o b, Ta có M thuộc đường trịn · · · · · Xét MHE QDM có MEH DMQ (cùng phụ với DMP ), EMH MQD · (cùng phụ với MPO ) ME MH MHE : QDM MQ DQ Suy Do ta PMH : MQH Tương tự ta có MP MH MH MP ME MQ HQ DQ MQ MQ Suy ME 2MP Vậy P trung điểm ME (đpcm) * Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1 m Vì đường kính đường tròn lớn 0,1 m nên đường trịn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt không q đường trịn số đường trịn khơng q 9.6 54 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường trịn …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 1