Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH Câu 1: (2,0 điểm) x2 x x 1 A : x x 1 x x 1 x Cho biểu thức: a, Rút gọn biểu thức A b, Chứng minh rằng: A 2 x 2 x 2 x x Cho biểu thức: với 2 x x x2 Tính giá trị biểu thức: x Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: x x x 30 Cho hai đường thẳng d1 : y m 1 x m2 2m ; d : y m x m2 m cắt G (Với m tham số) a, Xác định tọa độ điểm G b, Chứng tỏ điểm G thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Câu 3: (2,0 điểm) 24 a, Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 1M 2 b, Tìm số tự nhiên n cho A n n số phương c, Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: y xy x Câu 4: (3,0 điểm) d cố định nằm đường tròn M di Cho đường tròn tâm O , đường thẳng động đường thẳng d , kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn O; R , OM cắt AB I a, Chứng minh tích OI OM khơng đổi b, Tìm vị trí M để MAB d AB ln qua điểm cố c, Chứng minh M di động định Câu 5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x y z x yz y zx z xy ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Họ tên thí ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word sinh:…………………………………………….….Số mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH Câu 1: (2,0 điểm) x2 x x 1 A : x x 1 x x 1 x Cho biểu thức: a, Rút gọn biểu thức A b, Chứng minh rằng: A 2 x 2 x 2 Cho biểu thức: x x với 2 x x x2 Tính giá trị biểu thức: x Lời giải a, Ta có: x 0, x Khi đó: x2 x x 1 x x x x x 1 A : x 1 x 1 x x x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x 2 x 1 x x b, Vì x 0, x ta ln có A x x 1 Lại có: 2 x x 1 hay A Vậy: A a c a b c d a b c d Ta có: Áp dụng tính chất: b d 2 x 2 x 2 x 1 2 2 x 2 x 2 x 1 Từ giả thiết 2 x suy ra: 2 x x 1 2 x 0 3 2 2 x x 1 2 x Câu 2: x2 17 12 x2 (2,0 điểm) Giải phương trình: x x x 30 Cho hai đường thẳng d1 : y m 1 x m2 2m ; d : y m x m2 m cắt G (Với m tham số) a, Xác định tọa độ điểm G Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b, Chứng tỏ điểm G thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Lời giải a) Điều kiện: x 5 Khi ta có: x x x 30 x x 16 x x x 4 2 x x5 3 x x Vậy x a, Hoành độ điểm G nghiệm phương trình: m 1 x m 2m m 2 x m m x m Tung độ điểm x là: y m 1 m 1 m 2m y 2m G m 1; 2m 1 Suy y 2m 2 m 1 b, Ta có Mà x m nên y 2 x Tọa độ điểm G thỏa mãn phương trình đường thẳng y 2 x cố định Chứng tỏ G thuộc đường thẳng y 2 x cố định m thay đổi Câu 3: (2,0 điểm) p p 1 p 1 a, Ta có Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ Do p p hai số chẵn p 1 p 1 M8 liên tiếp Từ suy (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p ; p ; p Ta có p 1 p p 1 M3 Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Mà số nguyên tố nên suy p 1 p 1 M3 3;8 (2) 3.8 24 ta suy p 1M24 (đpcm) b, Ta có A n n số phương nên A có dạng: A n2 n k , k ¥ * Từ (1) (2) kết hợp với Ta có: n n k 4n 4n 24 4k 2k 2n 1 23 2 2k 2n 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 k 2n Vì 23 số nguyên tố 2k 2n 2k 2n Ta có: 2k 2n 23 k k 2n n Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy với n A số phương c, Ta có: y xy 3x x xy y x 3x x y x 1 x * Vế trái (*) số phương; Vế phải (*) tích số nguyên liên x 1 x 1, y x x 2, y tiếp nên phải có số Suy ta có: x; y 1;1 x; y 2; Vậy có cặp số nguyên Câu 4: (3,0 điểm) d cố định nằm ngồi đường trịn M di Cho đường trịn tâm O , đường thẳng động đường thẳng d , kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn O; R , OM cắt AB I a, Chứng minh tích OI OM khơng đổi b, Tìm vị trí M để MAB d AB ln qua điểm cố c, Chứng minh M di động định Lời giải A O I K B (d) M H Yêu cầu học sinh vẽ hình đến câu a O; R a, Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường tròn nên OB MB ; OA MA Dễ dàng chứng minh OAM OBM nên suy MA MB Lại có OA OB nên OM đường trung trực đoạn thẳng AB OM AB OMB vng B có BI đường cao Do đó: OB OI OM OI OM R không đổi (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b, AMB cân M (theo chứng minh trên) o o · · Để AMB góc AMB 60 góc BMO 30 OBM vng B có OB 0,5OM OM 2OB 2R d Kết luận: Vậy M điểm thuộc đường thẳng cho OM R c, Kẻ OH d , H d H cố định, OH cắt AB K Ta có OIK : OHM (g-g) nên OH OK OI OM R không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi K OH cố định Vậy K cố định (đpcm) Câu 5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x y z x yz y zx z xy Lời giải Ta có x yz x x y z yz x y z x y zx x y y z z xy y z z x Tương tự ta có , Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: x y y z z x xy yz zx 8xyz Suy ra: x y z y z x z x y x y y z z x xyz x y z x yz y zx z xy x y y z z x x y y z z x 2 xyz xyz 2 xyz x y y z z x (đpcm) Đẳng thức xảy x yz …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... sinh:…………………………………………….….Số mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH Câu 1: (2,0 điểm) x2 x x 1 A : x x