Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 -2019 MÔN: TOÁN Ngày thi: 23/10/2018 Thời gian làm bài: 150 phút - ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài (5,0 điểm) P x x 26 x 19 x x 3 x x 3 x 1 x 3 Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Cho a Bài (4,0 điểm) 3 Chứng minh rằng: a 64 3 3a số nguyên Giải phương trình : Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tôi x tuổi x2 x x 1 x 2 vào năm x Hỏi năm x ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) A 51 số phương b) Chữ số tận bên phải A số c) A 38 số phương Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm x y biết x x y x y xy y 2 b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x y xy x 3x Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; b) Biết S AKI S BKH SCHI Chứng minh rằng: ABC tam giác Cho tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao AH R Gọi M N thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài (1,0 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z , chứng minh: x2 y z 6 x yz y zx z xy LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Bài (5,0 điểm) p x x 26 x 19 x x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Chứng minh rằng: a Cho a 3 64 3 3a số nguyên Lời giải 1a) ĐK: x 0; x Ta có: x x 26 x 19 x x x x 26 x 19 x x 3 x2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 P x 1 x 3 x x 26 x 19 x x 3 x 3 x 1 x x 26 x 19 x x x x x 1 x x x 16 x 16 x 1 b) Ta có 2 P x 3 x 3 x 3 x 1 x x 16 x 3 x 16 x 3 x 16 25 25 x 3 x 3 6 x 3 x 3 x 3 10 x 3 Vậy MinP = x = a a 3a a3 3a Từ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn 64 a a3 a 3 a 3 toán: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 64 a 3 a 64 3 3a a 3a 3a Vậy Bài (4,0 điểm) số nguyên Giải phương trình : Nhà tốn học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tôi x tuổi x2 x x 1 x 2 vào năm x Hỏi năm x ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) A 51 số phương b) Chữ số tận bên phải A số c) A 38 số phương Lời giải ĐKXĐ : x (*) x2 x x 1 x 1 x x 1 x x x 1(1 x ) Ta có : x x 1 x x 1 Đặt x x y (Điều kiện: y (**)), phương trình trở thành y 1( KTM ) y y ( y 1)( y 3) y 3(TM ) Với y = ta có pt 1 x 1 x x x 1 x 1 x 2 x 1 x x x x 10 1 x x x 2(TM ) x Vậy phương trình có nghiệm x 2 Nhà tốn học De Morgan sinh năm 1806, ông x tuổi vào năm x nên ta có: x x 1806 x N * x( x 1) 42.43 mà x x – hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 43 x 1849 Vậy năm 1849 ông De Morgan 43 tuổi Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu mệnh đề b) A + 51 có chữ số tận A – 38 có chữ số tận nên hai số không số phương Vậy mệnh đề b) sai mệnh đề a) c) 2 Giả sử A 51 m ; A 38 n (m, n N ; m n) m2 n2 89 hay (m – n)(m + n) = 89 Vì 89 số nguyên tố nên m + n = 89 m – n = => m = 45 n = 44 nên A = 1974 Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm x y biết x x y x y xy y 2 b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x y xy x 3x Lời giải 2 2 a) Ta có: x x y 2( x 1) y y y (1) x2 y x y y Mặt khác: 2x 2x 2 x 1 y x x x (2) Từ (1) (2) ta suy y x Vậy x = -1 y = 2 b) Phương trình x y xy x x xy ( x 1) x x Vì x khơng nghiệm nên ta có xy x2 3x 2x 1 x 1 x 1 ( x 1) 1; 5 x 0; 2; 4; 6 Vì x, y ¢ suy x = (loại); x 2 y 1; x y 2; x 6 y 10 (loại) Vậy phương trình có nghiệm Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; 2; 1 ; 4; b) Biết S AKI S BKH SCHI Chứng minh rằng: ABC tam giác Cho tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao AH R Gọi M N thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1a) Vẽ hình đến câu a) C/m tam giác AKC đồng dạng với tam AK AI giác AIB suy AC AB C/m tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB (cgc) b) S AIK AI AK cos A S ABC AB AC S BHK cos B S Tương tự ABC SCHI cos C S ABC Mà S AKI S BKH SCHI nên µ B µ C µ cos A cos B cos C A nên tam giác ABC tam giác Vẽ hình Vẽ đường kính AK đường trịn (O;R) 2 C/m AN AC AH R AN AC R.2 R AO AK AN AK AO AC · · C/m NAO ∽ KAC (c.g.c) AON ACK · · · C/m ACK 90 AON ACK 90 C/m tương tự ·AOM 90 ·AON ·AOM 180 nên ba điểm M, O, N thẳng hàng Bài (1,0 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z , chứng minh: x2 y2 z 6 x yz y zx z xy Lời giải x2 x x y z 2x y z Vì x y z nên x yz x( x y z ) yz ( x y )( x z ) Đặt a x y, b y z, c z x , với a, b, c a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x ( y z )(2 x y z ) b(a c) b b ( x y )( x z ) ac c a Khi đó: x yz 1 y2 c c 1 z2 a a y xz a b z xy b c Chứng minh tương tự ta có: x2 y z b b c c a a 6 x yz y xz z xy c a a b b c x yz (Trái với giả thiết) Dấu xảy Vậy dấu = không xảy suy đpcm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... minh: x2 y z 6 x yz y zx z xy LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2018 – 2 019 Bài (5,0 điểm) p x x 26 x 19 x x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 Cho biểu thức: a) Rút gọn... 26 x 19 x x x x 26 x 19 x x 3 x2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 P x 1 x 3 x x 26 x 19 x x 3 x 3 x 1 x x 26 x 19 x ... m2 n2 89 hay (m – n)(m + n) = 89 Vì 89 số nguyên tố nên m + n = 89 m – n = => m = 45 n = 44 nên A = 197 4 Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm x y biết x x y x y xy y 2 b) Tìm cặp số nguyên