THÔNG TIN TÀI LIỆU
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUẬN BẮC TỪ LIÊM NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 1 1 A = + ÷ + x y x + y + xy a) Rút gọn biểu thức A Cho biểu thức: Câu 2: (4,0 điểm) a) b) Câu 3: A x = a + b3 + c = 3abc 3+ 3− Chứng minh rằng: với a , b, c ≠ thỏa P.Q = 5− x − x x ÷ x + ÷= x +1 x +1 ( x − 1) x + = ( x + 1) + x − (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: để: y + xy − x − 12 = A = n 2012 + n 2002 + số nguyên tố (6,0 điểm) Cho tam giác tia HC lấy điểm D ABC vng A có cạnh cho a) Chứng minh: HD = HA ∆ADC ∽ ∆BEC AC > AB , đường cao Đường vng góc với Cho AB = m , tính b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh rằng: c) Tia AM cắt BC G.Chứng minh rằng: Câu 5: ;y= Giải phương trình sau: x, y Câu 4: ) a −b b −c c − a c a b + + ;Q = + + c a b a−b b−c c −a P= mãn: ( b) Tính giá trị biểu thức a≠b≠c 1 x− y + ÷: y÷ x+ y x xy xy BC BE AH H ( D theo cắt m ∆BHM ∽ ∆BEC thuộc AC BC E Tính góc ) Trên ·AHM GB HD = BC AH + HC (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho x, y , z số dương thỏa mãn: Chứng minh 1 + + =6 x+ y y+z z+x 1 + + ≤ 3x + y + z 3x + y + z x + y + z ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUẬN BẮC TỪ LIÊM NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 1 1 A = + ÷ + x y x + y + xy A a) Rút gọn biểu thức Cho biểu thức: a) ĐKXĐ: x > 0; y > 0; x ≠ y = = xy ( x+ y x+ y + x + y + xy xy ( x+ y ) ( ) x = 3+ ;y= 3− ( thỏa P.Q = 1 x− y + ÷: y÷ x+ y x xy xy ( x+ y x+ y Chứng minh rằng: Lời giải với a , b, c ≠ )( ) ) x y ) xy xy x− y xy xy xy xy = xy x − y b) Với ) 1 1 A = + ÷ + x y x + y + xy = A a + b + c = 3abc x+ y 1 x− y + : ÷ x ÷ xy xy y a −b b −c c − a c a b + + ;Q = + + c a b a−b b−c c −a P= a≠b≠c ( b) Tính giá trị biểu thức mãn: x− y xy x− y x = 3+ y = 3− ; ta có: x > y đó: xy >0 x− y A= A2 = ( xy ) ( x + y − xy )( ) 3+ 3− = (3 + 5) + (3 − 5) − 32 − ( 5) = 42 =8 − 2.2 Mà Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A= =2 Vậy Ta có: a + b3 + c3 = 3abc ⇔ a + b + c − 3abc = ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − ac − bc ) = a + b + c − ab − ac − bc = Mà Do đó: (1) (a − b) + (b − c) + (c − a) ≠ ⇔ a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b+ c = − a (Do (1) a≠b≠c ) (2) Mặt khác: a − b b − c c − a ab(b − a ) + bc(b − c) + ac(c − a ) + + = c a b abc 2 2 ab(a − b) + b c − bc + ac − a c (a − b)(b − c)(a − c) P= = (3) abc abc P= Hơn nữa: Đặt a − b = z b − c = x c − a = y Ta có: x − y = a + b − 2c = −3c y − z = b + c − 2a = −3a z − x = a + c − 2b = −3b (do (2) ) Vì thế: Q= c a b 1 x− y y− z z− x + + =− + + ÷ a −b b−c c−a 3 z x y ( x − y ).(y − z).(x − z) =− xyz (Biến đổi tương tự rút gọn P) (−3c).(−3a).[ − ( −3b)] =− (a − b).(b − c ).(c − a ) = −9abc ( a − b).(b − c).(c − a) P.Q = Từ (3), (4) ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word (4) (a − b).(b − c).(a − c) −9abc =9 abc (a − b ).(b − c).(c − a ) mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy P.Q = Câu 2: (4,0 điểm) a) b) Giải phương trình sau: 5− x − x x ÷ x + ÷= x +1 x +1 ( x − 1) x + = ( x + 1) + x − Lời giải a) ĐKXĐ : Ta có : Mà Với Với x ≠ −1 Đặt 5− x x ÷= a x +1 ; 5− x =b x +1 − x 5x − x + x2 + x + − x 5− x a +b = x =5 ÷+ x + ÷= x +1 x +1 x +1 a.b = Do a = 2; b = a = 3; b = a = ab = b = ⇔ a = a + b = b = thì x − 3x + = ⇔ x = x2 − x + = ( x − 1) b) Giải phương trình : Đặt x+ x + = y ( y ≥ 1) x = (PT vô nghiệm) x + = ( x + 1) + x − (1) Ta có : (1) ⇔ (4 x − 1) y = y + x − ⇔ y − xy + x + y − = ⇔ ( y − xy + y ) − ( y − x + 1) = ⇔ y ( y − x + 1) − ( y − x + 1) = y = 2x −1 ⇔ ( y − x + 1).(2 y − 1) = ⇔ y = < (L) ⇔ x2 + = 2x −1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu (ĐK : word x ≥1 môn ) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ x2 + = 4x2 − x + x = 0( KTM ) ⇔ x = (TM ) ⇔ x(3 x − 4) = Vậy phương trình có tập nghiệm Câu 3: 4 S = 3 (4,0 điểm) x, y a) Tìm số nguyên b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: y + xy − x − 12 = A = n 2012 + n 2002 + để: số nguyên tố Lời giải x, y a) Tìm số nguyên thỏa mãn: y + xy − x − 12 = y + xy − x − 12 = ⇔ y + xy − 28 x − 48 = ⇔ (2 y − 7)(2 y+ + x) = −1 TH1: TH1: 2 y − = x = −4 ⇔ y + + x = −1 y = 2 y − = −1 x = −3 ⇔ 2 y + + x = y = x = − 4, y = Vậy b) Tìm số tự nhiên n để: Xét n = Xét n = 1thì Xét n >1 = n ((n ) Liên hệ tài 039.373.2038 : 670 A = x = − 3, y = A = n 2012 + n 2002 + A = số nguyên tố nguyên tố; nguyên tố A = n 2012 − n + n2002 − n + n + n + − 1) + n.(( n3 ) 667 − 1) + ( n + n + 1) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà ( n3 ) 670 − Tương tự, chia hết cho ( n3 ) 667 − Do A chia hết cho Số tự nhiên cần tìm Câu 4: n3 − chia hết cho n2 + n + n = , suy (n3 )670 − n2 + n + chia hết cho n2 + n + > nên A hợp số (6,0 điểm) Cho tam giác tia HC D lấy điểm a) Chứng minh: ABC AC > AB vuông A có cạnh cho HD = HA ∆ADC ∽ ∆BEC , đường cao Đường vng góc với AB = m Cho , tính BE BC theo b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh rằng: ·AHM m AH H ( D cắt thuộc AC BC E ) Trên ∆BHM ∽ ∆BEC Tính góc c) Tia AM cắt BC G.Chứng minh rằng: GB HD = BC AH + HC Lời giải a) Chứng minh hai tam giác C/m: ∆CDE Tam giác CD CA = CE CB ADC ∆CAB ADC BEC đồng dạng Biết AB = m , tính BE theo m đồng dạng (g.g) tam giác (Vì hai tam giác BEC CDE : CAB đồng dạng) C Góc : chung Suy tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ADC word đồng dạng tam giác mơn tốn: BEC (c.g.c) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C/m: Tam giác ∆ADC AHD vuông cân đồng dạng với ∆BEC H => ·ADH = 45° ⇒ ·ADC = 135° (cmt) · ADC = BEC · ⇒ · ⇒ BEC = 135° ⇒ ·AEB = 45° ⇒ ∆AEB vuông cân A BE = m Do đó, b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh rằng: ∆BHM #∆BEC Tính góc ·AHM AB = BH BC - Có: (Hệ thức lượng tam giác vng) ⇒ AB = BH BC ⇒ BE = BH BC ⇒ BE BH BM BH = ⇒ = BC BE BC BE (Vì BE = BM) ∆BEC ∆BHM - C/m: đồng dạng (c.g.c) ∆BEC ∆BHM - Vì đồng dạng (cmt) · · ⇒ BHM = BEC = 135° ⇒ ·AHM = 45° c) Tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: Tam giác Suy ra: ABE cân E nên GB AB = GC AC - C/m: ⇒ AM GB HD = BC AH + HC phân giác góc BAC (T/c đường Phân giác) (1) ∆AHC ∆BAC đồng dạng (g.) AH HC AH AB HD AB = ⇒ = ⇒ = ( Do AH = HD) (2) AB AC HC AC HC AC Từ (1), (2) suy : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Câu 5: (2,0 điểm) x, y , z Cho số dương thỏa mãn: Chứng minh 1 + + =6 x+ y y+z z+x 1 + + ≤ 3x + y + z 3x + y + z x + y + z Lời giải x, y , z Cho số dương thỏa mãn: Chứng minh 1 + + =6 x+ y y+z z+x 1 + + ≤ 3x + y + z 3x + y + z x + y + z Áp dụng BĐT 1 + ≥ a b a+b (Với a,b > 0) => 11 1 ≤ + ÷ a+b 4 a b Ta có: 1 1 1 = ≤ + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + y + z x + y + z = 1 1 1 1 + + + + ≤ ÷ ( x + y ) + ( x + z ) (x + y) + (y+ z) x + y x + z x + y y + z = 1 1 + + ÷ 16 x + y x + z y + z Tương tự: 1 1 ≤ + + ÷ x + y + z 16 x + z x + y y + z 1 1 ≤ + + ÷ x + y + 3z 16 y + z x + y x + z Cộng vế theo vế, ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 4 + + ≤ + + ÷ 3x + y + z x + y + 3z x + y + 3z 16 x + y x + z y + z 4 1 = + + ÷ = = 16 x + y x + z y + z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUẬN BẮC TỪ LIÊM NĂM HỌC 2018-2 019 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 1 1 A = + ÷ + x y x + y + xy A a) Rút... P) (−3c).(−3a).[ − ( −3b)] =− (a − b).(b − c ).(c − a ) = −9abc ( a − b).(b − c).(c − a) P.Q = Từ (3), (4) ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word (4) (a − b).(b − c).(a − c) −9abc =9 abc... giác) (1) ∆AHC ∆BAC đồng dạng (g.) AH HC AH AB HD AB = ⇒ = ⇒ = ( Do AH = HD) (2) AB AC HC AC HC AC Từ (1), (2) suy : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:51
Xem thêm: