TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên Hoàng Lê Thu Hằng Lớp Toán 4T Mã sinh viên 13S[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T Mã sinh viên: 13S1011044 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, tháng năm 2017 Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Chủ đề: Lớp: Tốn 4T Ngun hàm – Tích phân ứng dụng 𝟑 Bài tốn 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫ 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 Bài giải: 𝑢 = ln 𝑥 Đặt {𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ (𝑥 + 1)2 𝑣=− { 2(𝑥 + 1) Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: 3 ln 𝑥 | ∫ 𝐼=− + 𝑑𝑥 2(𝑥 + 1) 1 2𝑥 (𝑥 + 1) ln 3 =− + ∫ 𝑑𝑥 20 𝑥 (𝑥 + 1) ln 3 𝑥 ) 𝑑𝑥 =− + ∫ ( − 20 𝑥 𝑥 + ln 1 =− + (ln 𝑥 − ln(𝑥 + 1))| 20 2 ln 1 =− + (ln − ln 10 + ln 2) 20 2 = ln − ln 20 Vậy 𝐼 = ln − ln 20 Phân tích: Để tính tích phân này, học sinh cần phải hiểu phương pháp tính tích phân phần, phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ kiến thức phép tính đạo hàm hàm bản, phép tính đạo hàm hàm hợp Ngay từ đầu, em phải xác định phương pháp tính tích phân sử dụng tốn Sau xác định phương pháp làm (phương pháp tích phân phần), -1- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T học sinh cần phải hiểu lượng đặt làm 𝑢 lượng đặt làm 𝑑𝑣 để tìm ngun hàm Sau đó, kỹ tính tốn thân, em thu kết Câu hỏi trắc nghiệm: 𝑏 Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), 𝑃(𝑥) đa thức, phương pháp 𝑎 tích phân phần 𝑏 𝑑𝑢 = 𝑃′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 ′( ) 𝑃 (𝑥 ) 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑃 (𝑥 ) | −∫ A Đặt { ⟹{ ⟹𝐼= 𝑑𝑥 𝑥 𝑎 𝑥 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝑎 𝑥 𝑃(𝑏) 𝑑𝑢 = 𝑃′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑏) ′ ( ) 𝑃 (𝑥 ) 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑃 (𝑥 ) | B Đặt { ⟹{ ⟹𝐼= −∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑃(𝑎) 𝑥 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝑃(𝑎) 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑏 𝑄(𝑥) 𝑢 = ln 𝑥 𝑥 C Đặt { ⟹{ ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑏𝑎 − ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑎 𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑏 𝑒 𝑄(𝑥) 𝑢 = ln 𝑥 𝑒𝑏 D Đặt { ⟹{ ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑒 𝑎 − ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑎 𝑒 𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) Đáp án: C Học sinh thường gặp sai lầm làm tốn tích phân liên quan đến hàm 𝑦 = ln 𝑥, em bị nhẫm lẫn đạo hàm nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai lượng 𝑢 𝑑𝑣 (phương án nhiễu A, B) Ngoài ra, số học sinh mắc sai lầm việc chọn cận, em nghĩ phương pháp tích phân phần ta phải đổi cận phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa kết sai (phương án nhiễu B, D) Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹 (𝑥) = ∫ + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ +1 C 𝐹 (𝑥) = + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ 2(𝑥 + 1) A 𝐹 (𝑥) = 𝑥2 (𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 1) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ +1 D 𝐹 (𝑥) = − + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ 2(𝑥 + 1) B 𝐹 (𝑥) = − -2- 𝑥2 Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Đáp án: D Để tìm nguyên hàm này, học sinh dử dụng phương pháp đổi biến số, đặt 𝑡 = 𝑥 + Và đây, học sinh thường mắc phải sai lầm kỹ đạo hàm, kỹ tìm nguyên hàm hàm dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C) Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ Bước 1: 𝑑𝑥 , học sinh làm sau: 𝑥 (𝑥 + 1) 1 𝑥 = − + 1) 𝑥 𝑥 + 𝑥 (𝑥 𝑥 𝑥 3 ( ( ))| Bước 2: 𝐼 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − ln 𝑥 + 1 = ln | 𝑥 +1 𝑥 +1 1 𝑥 Bước 3: 𝐼 = ln − ln = ln − ln 10 Bài giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước B Sai từ Bước C Sai từ Bước D Đúng Đáp án: B 𝑥 tìm nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥) = dẫn đến 𝑥 +1 sai sót q trình làm (phương án nhiễu D) Học sinh thường thiếu giá trị Bài tốn 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑| đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 Bài giải: Gọi 𝑆 phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 − 4𝑥 + 3| đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + Gọi 𝑆1 𝑆2 phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + với đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + trục hoành Suy ra: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2 Ta có: -3- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T 𝑥=0 𝑥 − 4𝑥 + = 𝑥 + ⟺ 𝑥 − 5𝑥 = ⟺ [ 𝑥=5 Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥 = ∫ |𝑥 − 5𝑥|𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 5𝑥 𝑥 =( − )| = 125 𝑥=1 𝑥 − 4𝑥 + = ⇔ [ 𝑥=3 Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥 − 4𝑥 + 3|𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 𝑥3 = (− + 2𝑥 − 3𝑥)| 4 = − (− ) = 3 Vậy: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2 = 125 109 (đvdt) − = 6 Phân tích: Để tính diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 − 4𝑥 + 3| đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định phần hình phẳng mặt phẳng tọa độ Do đó, việc vẽ đồ thị hai hàm số đóng vai trị quan trọng việc định hướng giải toán Sau xác định phần hình phẳng cần tính diện tích, học sinh cần phải có khả quan sát, tư duy, suy luận để tìm cách tính cho hợp lý, dễ dàng thuận tiện -4- Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Ngồi ra, học sinh cần phải hiểu cách tính tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính tốn xác Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) cho hình vẽ: Trong đồ thị sau, đâu đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)|? A B C D -5- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Đáp án: B Nhiều học sinh nhầm lẫn cách vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)| 𝑦 = 𝑓 (|𝑥|) chưa hiểu rõ chất loại hàm số (phương án nhiễu A) Cũng chưa hiểu rõ chất hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)| mà học sinh có cách vẽ hình khơng (phương án nhiều C, D) Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) y= 𝑔(𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Gọi 𝑆𝐷 diện tích hình phẳng 𝐷 Lúc đó, 𝑆𝐷 biểu diễn theo công thức nào? 𝑏 A 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 B 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑏 C 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 𝑏 D 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 𝑎 Đáp án: B Một vài học sinh chưa hiểu rõ chất vấn đề nên việc học, nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn hai phép tính cộng trừ (thay tính 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C) Ngoài ra, sai lầm nhiều học sinh mắc phải quên đặt biểu thức 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) vào dấu giá trị tuyệt đối Từ đó, học sinh đưa kết sai (phương án nhiễu C, D) Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥), trục hoành hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình vẽ đây) Gọi 𝑆𝐷 diện tích hình phẳng 𝐷 Khi đó, 𝑆𝐷 tính công thức nào? -6- ... Hằng Chủ đề: Lớp: Tốn 4T Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng