Bài tập lớn Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan Chủ đề Nguyên hàm tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TỐN Hồng Nguyễn Mỹ Anh CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Học phần : Lý luận dạy học toán nâng cao đánh giá dạy học toán GVHD : Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, 4/2017 Mục đích chủ đề nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt nhiệm vụ xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, trình bày số điểm cần tránh soạn câu hỏi Giả sử giáo viên phải soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho phần nội dung chương trình giáo viên biết mức độ khả để đặt câu hỏi Địi hỏi sau đặt điều phải cân nhắc cho người viết câu hỏi, thứ câu hỏi phải mức độ khó thứ chũng phải bao quát mức độ tư đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay khả cao Sau ví dụ chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi truyền thống xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp I Câu hỏi truyền thống Giả sử cần viết hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả toán học sinh tình cụ thể sử dụng cơng thức phương pháp khác để tính ngun hàm hàm số Trong kì thi thơng thường, điều làm tốt cách dùng cơng cụ câu hỏi sau: Bài tốn: Tìm ngun hàm hàm số: I1 ³ x dx x 4 Nhiệm vụ học sinh sử dụng kiến thức nguyên hàm học để giải tốn Bước liên quan đến khả hệ thống kiến thức học sinh, khả áp dụng lý thuyết, cơng thức vào tốn tính ngun hàm cụ thể Ở toán học sinh thấy mẫu số bậc phương pháp giải thích hợp đổi biến số để đơn giản hóa tốn Và gặp dạng bậc có chứa a  x cơng cụ hữu hiệu mà em có phương pháp đổi biến lượng giác hóa Nếu hàm f(x) có chứa a  x đặt: x adt ­ °°dx d a tan t cos 2t a tan t o ® ° x2  a2 a tan t  a °¯ a cos t Nhìn vào hàm số có dạng a  x , học sinh đặt x a tan t với a học sinh thu tích phân đơn giản tích phân ban đầu, từ tiếp tục áp dụng phép biến đổi thích hợp để đưa đáp số I x dx ³ x 4 ; a 2dt ­ tan  tan t dt dx d t ° cos t Đặt x tan t o ® ° x2  4 tan t  ¯ oI ³ 4³ tan t  tan t dt  tan t sin t sin t.cos t 4³ dt 4³ dt cos3 t cos t Đặt u oI tan t.2  tan t dt ³ sin t.d (sin t )  sin t 2 sin t § u · ³  u 2 d (u ) ăâ  u áạ du u2  ³ o I3 1 Ã Đ   ă  du 1 u 1 u â1 u 1 u Ã Đ ăâ  u   u áạ du  Đ 1  u   u à ă du u u   1 â du  du du 1  ³ ³ 1 u 1 u 1 u 1 u 2du du ³ (1  u )  ³ (1  u )  ³  u  u 2 d  u d  u  u   u d u ³  ³ 2 (1  u ) (1  u )  u  u 1   ln  u  ln u   C 1 u 1 u 1 u 1   ln C u 1 u 1 u 1 1 u 1   ln C u 1 1 u u 1 1 sin t    ln C sin t  sin t  sin t  Từ giả thiết x 2tan t œ tan t œ sin t x o cos t x 4 x x2  tan t  œ cos t o I3 x  x2  1 x2 o sin t  x2  x2 x 1  x  ln C x x 1 1  x2  x2 Khi phân tích theo cách này, ta thấy tốn cố gắng để làm nhiều thứ lúc Nếu em thất bại bước đầu, cách đổi biến số cho phù hợp tốn tự luận khơng cho ta biết điều khả học sinh khía cạnh khác câu hỏi, ví dụ như: ¾ Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa ¾ Xử lí gặp tích phân chứa hàm lượng giác Bởi vì, đặt ẩn phụ, học sinh thu tích phân hàm lượng giác Qua đó, kiến thức nguyên hàm hàm lượng giác bản, công thức hàm lượng giác công thức nhân đôi, cơng thức nhân 3, hạ bậc,…sẽ thể ¾ Đổi biến số cách xử lí hàm hữu tỉ Nếu tích phân lượng giác thu phức tạp, học sinh áp dụng nguyên hàm lượng giác để tính khía cạnh cụ thể thể toán tự luận khả đổi biến, đưa hàm lượng giác hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm Trắc nghiệm khách quan cho hội để tìm phần tốn học sinh trả lời II Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Khía cạnh 1: Đầu tiên kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa Với cách đổi biến ví dụ trên, số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kiến thức sau: Ví dụ 1: Đổi biến x 3tan t tích phân I 9dt A ³ cos C dt ³ cos 2t t ³ x  trở thành: dt B ³ cos t D ³ cos tdt 3dt ­ dx d t 3tan °° cos 2t Đặt x 3tan t o ® ° x2  9 tan t  °¯ cos t ³ oI 3dt dt ³ cos t cos t cos t Đáp án B Phương án gây nhiễu: B, C, D gây nhầm lẫn cho học sinh trình biến đổi tương đương, nhẫm lẫn chia cho phân số, rút gọn cos t Ví dụ 2: a 2a A I 2a C I dx ³ Nếu đặt x a tan t I 2 x  a ; a ! trở thành tích phân nào? S /4 ³  cos t dt B I S /4 2a ³  cos 2t dt a ³  cos 2t dt D I 1  cos 2t dt 2a ³0 a tan t Ÿ dx d a tan t Ở toán với x S /4 adt cos2t ­x Ÿ t Đổi cận: ® ¯x a Ÿ t S / S /4 I2 ³ cos a3 adt t a  a tan t S /4 ³ cos tdt 2a S /4 a3 ³ dt cos t cos t S /4 ³  cos 2t dt Đáp án B Ở câu trắc nghiệm có sẵn hướng đi, việc em cần làm biến đổi tương đương Phương án gây nhiễu: Phương án A, C kiểm tra xem học sinh có nắm công thức hạ bậc không Khi học sinh kết quả, phương án D đánh bẫy học sinh quên đổi cận Ví dụ 3: Nếu đổi biến x tan t I ³x phân nào? dx ; a ! tương đương với tích 3 S /3 A I S /3 ³S dt B I /4 S /4 S /3 dt S³/3 C I Ở toán với x dt S /4 t 3³ dt S³/4 D I tan t Ÿ dx d tan t 3dt cos 2t ­° x 3Ÿt S /4 Đổi cận: ® °¯ x Ÿ t S / S /3 3dt ³ 2 S /4 cos t.3  tan t I S /3 S /3 dt S³/4 t S /4 Đáp án D Câu trắc nghiệm u cầu học sinh phải tính tốn cẩn thận, đổi cận xác Phương án gây nhiễu: A,B kiểm tra xem học sinh có mắc sai lầm tính tốn hay khơng Phương án C làm em nhầm lẫn khơng ý vị trí cận S / S / Ví dụ 4: dx ³0 x  x 2tan t Khẳng định sai? Đặt I tan t  A  x 2 C I B dx tan t  dt S /4 ³ dt 3S D I Ở toán với x tan t Ÿ dx d tan t 2dt cos 2t  tan t ­x Ÿ t Đổi cận: ® ¯x Ÿ t S / S /4 I ³ 2dt cos t.4  tan t S /3 dt S³/4 S /4 t S Đáp án D Ở câu trắc nghiệm theo tốn gốc, hàm f(x) có chứa a  x đặt: x adt ­ dx d a t tan °° cos 2t a tan t o ® ° x2  a2 a tan t  a °¯ a cos t Tương tự; tốn khác hàm f(x) có chứa a2  x2 , x  a ta chọn cách đổi biến sau: Dấu hiệu a2  x2 x2  a2 Cỏch chn ê ôx ô ôơ x ê ôx ô ô ôx a sin t a cos t ê S S t ô ; ằ 2ẳ t > 0;S @ a sin t ê S S t ô  ; ằ \ ^0` 2ẳ a cos t ưS ẵ t > 0;S @ \ đ ắ ¯2¿ Ví dụ ta biến đổi: Nếu hàm f(x) có chứa a  x t: Đ ê S S à dx d a sin t a cos tdt x a sin t ă t ô  ; ằ o đ 2 â 2 ẳạ a  a sin t ¯ a x Nếu hàm f(x) có chứa x a cos t x  a đặt: ­ § a · a cos tdt dx d ă sin t sin t â a Đ ê S S à t  ; \ ^0` o đ sin t ăâ ôơ 2 ằẳ a a2 2 x a a   ° sin t cot t ¯ Từ dấu hiệu đó, ta xậy câu trắc nghiệm tương tự ví dụ Khía cạnh 2: Sau đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa, thu tích phân dạng lượng giác Ở đây, ta viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước toán gốc biết vận dụng công thức lượng giác thường gặp (CT nhân đơi, CT hạ bậc, CT góc nhân 3, CT đổi tích thành tổng…), mẫu nguyên hàm lượng giác hay gặp từ suy cách đổi biến số thích hợp Ví dụ 5: Phát biểu sau đúng? dx  tan x  C cos x C  ³ dx  cot x  C cos x dx tan x  C cos x D  ³ dx cot x  C cos x A  ³ Ta có: I ³ B  ³ dx  tan x  C cos2 x Đáp án A Theo bảng nguyên hàm tích phân lượng giác ta có: ³ cos x dx tan x  C Đáp án gây nhiễu B, C, D kiểm tra xem học sinh có nắm chắn dấu nguyên hàm hay khơng Ví dụ 6: §S · Cho F x nguyên hàm hàm số f x tan x v F ă â4ạ Khi ú ta có F x là: A ³ tan xdx tan x  x  C ³ tan xdx x  tan x  Ta có: I ³ tan xdx S B ³ tan xdx tan x  x D ³ tan xdx x  tan x  S S § ·  ă â cos x áạ dx tan x  x  C S ĐS à F ă 1  C C â4ạ S Đáp án A Phương án gây nhiễu: Phương án B học sinh dễ nhầm quên số C tính nguyên hàm Phương án C, D gây nhầm lẫn dấu số C ta chuyển vế sai nhớ nhầm dấu nguyên hàm tích phân Ví dụ 7: dx Nguyên hàm tích phân I ³ cos x sin x  A  ln sin x  B sin x  ln sin x  1 sin x  C  ln sin x  D sin x  ln sin x  1 cos xdx x dx ³ cos x ³ cos Ta có: I bằng: cos xdx x ³  sin Đặt u sin x Ÿ du cos xdx du ³1 u ŸI ³ du u  u  1 u 1  ln u 1  du · Đ du  ă â u 1 u 1¹ sin x   ln sin x  Đáp án C Ở ví dụ học sinh phải có kỹ xử lí hàm số lương giác, thêm lượng để từ đặt ẩn Phương án gây nhiễu: A, B, D đánh bẫy học sinh em cần biến đổi tương đương sai lỗi dấu đáp số phương án sai Ví dụ 8: S /4 Cho I ³  tan x cos x dx a a a ; nguyên dương tối giản Tìm khẳng b b b định đúng? A a  b B ab C a  10b D a  b Ta có: S /4 I ³  tan x d  tan x  tan x 6 S /4 64  21 ­a 21 Ÿ® ¯b Ÿ a  10b Đáp án C Ở câu trắc nghiệm giúp học sinh phát cách đổi biến nhanh gặp hàm số lượng giác bản, đơn giản hóa biểu thức tính tốn Ví dụ 9: S /4 Biết I ³ cos tan x x tan x  dx a  b (với a, b số tự nhiên.) Tìm đáp án đúng? A a  b B ab C a  b2 12 D a  b Đặt t tan x  Ÿ t I tdt ³ t ³ dt tan x  Ÿ tdt tan x dx cos x ­a 3 2Ÿ® ¯b Ÿ ab Đáp án B Phương án gây nhiễu: Phương án D gây nhầm sai sót học sinh tính I  sau em nhầm lẫn cho a 3; b Phương án A, C kiểm tra xem học sinh biến đổi tương đương kết có hay khơng Khía cạnh 3: Nếu tích phân lượng giác thu phức tạp, học sinh áp dụng nguyên hàm lượng giác để tính học sinh phải có khả đơn giản hóa tốn, cụ thể đưa hàm lượng giác hàm hữu tỉ , từ xử lí hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm Ví dụ 10: Giá trị tích phân I dx bằng:  ³ x x A  ln C   ln B D  ln  ln 2 Ta có: x x  1 x   x  x  x x  x  x x  x  x  x  x   x   x  x x  x  1 1§ 1 ·   ă  x 1 x â x 1 x 1 ¹ 1   x  x x  ŸI 3 dx dx dx  ³ ³ ³ x 1 x 1 x ln x  2 §1 3· ln  ln ă ln  ln  ln â2 2ạ 2  ln  ln 2 §8 2à ln ă  ln ©3 3¹ 2 Đáp án D Ở câu trắc nghiệm cần sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số Từ giản ước suy tích phân có dạng để tính tốn Phương án gây nhiễu: Phương án A, B, C gây nhầm lẫn học sinh phân chia tính tốn số theo hàm ln Ví dụ 11: Biết I ³x dx x a ln  b ln  c ln 5; a, b, c  A B C  D Tổng a  b  c bằng: Ta có: x   xdx dx  dx ³3 x  x ³3 x ³3 x  I x ln x 1 ln  ln ln  ln  ln  ln 4ln  ln  ln Ÿ a  b  c 11 Đáp án B Ví dụ 12: Biết I x3dx ³0 x4  3x2  ln a  b ln c a, b, c  Khẳng định đúng? C b  2c c  2a a  2b ! A a  b  c 3c b D a ! c ! b B a Ta có: t x Ÿ dt t dt ³0 t 23t  I xdx; t  > 0;1@ 1 tdt ³ t  t  1 ln t   ln t  1 ln  ln  ln ln  ln 2 ­a ° ° Ÿ ®b  Ÿ a ! c ! b ° °¯c Đáp án D Ở ví dụ 11, 12 này, học sinh bấm máy mà phải giải tay để tìm số a, b, c Nắm rõ công thức hàm ln để chuyển dạng mà đề cho  ... đích chủ đề nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt nhiệm vụ xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, trình bày số điểm cần tránh soạn câu hỏi Giả sử giáo viên phải soạn câu. .. mức độ tư đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay khả cao Sau ví dụ chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi truyền thống xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp I Câu hỏi truyền thống... phải soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho phần nội dung chương trình giáo viên biết mức độ khả để đặt câu hỏi Địi hỏi sau đặt điều phải cân nhắc cho người viết câu hỏi, thứ câu hỏi phải mức