Bài tập lớn Đánh giá trong giáo dục Toán Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN  -Sinh viên thực hiện: Trần Mỹ Kỳ Dun MƠN HỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TỐN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Lớp: Toán 4T Huế, tháng 04 năm 2017 §2 CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ĐỀ TÀI BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC MẶT TRÒN XOAY Câu Một lọ nước hoa thương hiệu Chloé thiết kế sau: vỏ dạng hình nón có đỉnh 𝑆 đáy hình trịn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao hình nón ℎ; phần chứa dung dịch nước hoa lại hình trụ nội tiếp hình nón Hỏi nhà thiết kế nên thiết kế để vỏ nước hoa hình nón mà lọ nước hoa chứa nhiều dung dịch nước hoa nhất? Giải Giả sử ta có hình trụ nội tiếp hình nón hình vẽ Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 chiều cao hình trụ (0 < 𝑥 < ℎ) Gọi 𝑟 bán kính đường trịn đáy hình trụ, 𝑉 thể tích khối trụ Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂, ta có: 𝑟 𝑅 = 𝑆𝐻 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂−𝑂𝐻 Suy ra: 𝑟 = 𝑆𝑂 = ℎ −𝑥 ℎ 𝑅(ℎ−𝑥) ℎ Thể tích khối trụ tính công thức 𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ′ = 𝜋 ( 𝑅(ℎ−𝑥) 𝜋𝑅 ) 𝑥 = (ℎ − 𝑥)2 𝑥 ℎ ℎ Đưa toán cho trở thành tốn: Tìm mối liên hệ ℎ 𝑥 để thể tích khối trụ lớn nhất? Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có: ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥 ≥ Suy ra: (ℎ − 𝑥) 2𝑥 ≤ Do đó, ta có: 𝑉 ≤ (2ℎ )3 27 𝜋𝑅 4ℎ ℎ2 27 ⟹ (ℎ − 𝑥) 𝑥 ≤ = ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 2𝑥 4ℎ 27 4𝜋𝑅 ℎ Vậy 𝑉 đạt giá trị lớn 27 4𝜋 𝑅 ℎ 27 ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 = ℎ Vậy nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ nội tiếp hình nón cho với tỉ lệ chiều cao hình trụ chiều cao hình nón  Phân tích Nhiệm vụ học sinh sử dụng thông tin mà tốn cho để thành lập mơ hình toán Bước liên quan đến khả tưởng tượng em học sinh, liên quan đến kiến thức hiểu biết em hình dạng hình nón, hình trụ hình trụ nội tiếp hình nón Ở bước tối thiểu em phải tưởng tượng hình dạng mơ hình tốn mà tốn đặt Giả sử học sinh có đủ kiến thức khả em vẽ mơ sau Sau đó, học sinh phải nhận em phải đưa toán cho toán liên quan đến mặt tròn xoay, cụ thể hình trụ nội tiếp hình nón có đỉnh 𝑆 đáy hình trịn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao hình nón ℎ cho khối trụ tích lớn Học sinh phải nhận em phải có thơng tin để tính thể tích khối trụ so sánh xem đề cho Nếu đề khơng cho phải biết đặt ẩn phụ tìm mối liên hệ với thơng tin đề cho Rồi học sinh phải gọi cơng thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ với ℎ chiều cao hình trụ, 𝑟 bán kính đường trịn đáy hình trụ Học sinh biến đổi công thức dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất biểu diễn theo thông tin mà đề cho cuối tiến hành làm toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn biểu thức 𝑉 Ở khả giải tốn liên quan đến bất đẳng thức học sinh bộc lộ, mà cụ thể kĩ thuật biến đổi tương đương, kĩ thuật phân tích đẳng thức, kĩ thuật thêm bớt số,…  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Giả sử bước học sinh thực được, bước kiểm tra khả tương tượng đọc hiểu đề học sinh Đồng thời kiểm tra khả thể câu hỏi lời thành hình vẽ Tiếp theo, toán kiểm tra khả nhớ học sinh cơng thức tính thể tích mặt trịn xoay, cụ thể thể tích khối trụ Ta xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả sau: Ví dụ Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn (𝑂, 𝑅) (𝑂′ , 𝑅), hình trụ có chiều cao ℎ Gọi 𝑉 thể tích khối trụ cho Hãy viết cơng thức tính 𝑉? A 𝑉 = 2𝜋𝑅ℎ B 𝑉 = 𝜋𝑅ℎ C 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ D 𝑉 = 𝜋𝑅 ℎ Câu hỏi mức độ nhận biết, với câu hỏi học sinh cần nhớ kiến thức liên quan đến thể tích khối trụ dễ dàng chọn đáp án xác đáp án C Tuy nhiên có học sinh chọn phương án nhiễu, đặc biệt phương án D, nhắc đến thể tích em thường hay làm 𝑉= 𝑆đá𝑦 ℎ Bước toán khả giải tốn liên quan đến hình học phẳng, cụ thể giải tốn tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂 Tương tự, ta viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến khía cạnh để kiểm tra khả học sinh Ví dụ Cho tam giác I, II, III, IV sau đây: (I) (III) (II) (IV) Cho mệnh đề sau: Trong tam giác I, II, III, IV tam giác có đủ thơng tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵 là: (1) Chỉ có hai tam giác I, II (2) Chỉ có ba tam giác I, II, III (3) Chỉ có hai tam giác III, IV (4) Cả bốn tam giác I, II, III, IV Số mệnh đề là: A B C D Câu trả lời bốn tam giác I, II, II, IV có đủ thơng tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵 Vậy phương án trả lời xác phương án A: có mệnh đề (4) mệnh đề Ở câu hỏi này, học sinh cần ý tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂 có 𝐻𝐵//𝑂𝐴 trả lời câu hỏi Tuy nhiên phương án nhiễu câu hỏi làm cho học sinh dễ nhầm lẫn, đặc biệt đọc qua loa câu hỏi, học sinh chọn sai phương án trả lời Bước khả biểu diễn thơng tin đề cho dạng kí hiệu tìm mối liên hệ thông tin đề cho thơng tin tốn hỏi Ta xây dưng câu hỏi trắc nhiệm khách quan sau: Ví dụ Cho tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂 có 𝑆𝑂 = ℎ, 𝑂𝐴 = 𝑅 (𝑅 > 0, ℎ > 0) Gọi điểm 𝐻, 𝐵 thuộc cạnh 𝑆𝑂, 𝑆𝐴 cho 𝐻𝐵//𝑂𝐴 Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 (0 < 𝑥 < ℎ) Độ dài đoạn 𝐻𝐵 biểu diễn biểu thức là: A 𝑟 = C 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥) ℎ 𝑥 𝑅(ℎ−𝑥) B 𝑟 = D 𝑟 = 𝑅ℎ ℎ −𝑥 𝑅𝑥 ℎ Phương án trả lời phương án A Ở câu hỏi này, học sinh cần áp dụng định lí Thales tam giác 𝑆𝑂𝐴 học sinh biểu thức biểu diễn độ dài đoạn 𝐻𝐵 Trong phương án nhiễu câu hỏi phương án D học sinh dễ nhầm lẫn nhất, học sinh không để ý 𝑆𝐻 = 𝑆𝑂 − 𝑂𝐻 chọn đáp án D câu trả lời Tuy nhiên, phương án nhiễu lại phương án B C làm cho học sinh nhầm lẫn, có học sinh biến đổi nhầm áp dụng định lý Thales tam giác sai dẫn đến chọn phương án sai Phương án phương án A 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥) ℎ Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂, ta có: 𝐻𝐵//𝑂𝐴 Suy ra: 𝑟 𝑅 = 𝑆𝐻 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂−𝑂𝐻 Suy ra: 𝑟 = 𝑆𝑂 = 𝑅(ℎ−𝑥) ℎ ℎ −𝑥 ℎ Tiếp đến khả giải toán liên quan đến bất đẳng thức học sinh Các toán liên quan đến bất đẳng thức thường gây nhiều khó khăn cho học sinh việc tìm cách giải tốn Ta kiểm tra kiến thức học sinh bất đẳng thức thông qua câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau: Ví dụ Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Bất đẳng thức sai là: A C 𝑎 +𝑏 +𝑐 3 (𝑎+𝑏+𝑐)3 27 ≥ 𝑎𝑏𝑐 B 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 D 𝑎 +𝑏 +𝑐 27 ≥ 𝑎𝑏𝑐 Ở câu hỏi đòi hỏi học sinh phải nắm rõ bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Phương án trả lời câu hỏi phương án D Trong phương án nhiễu phương án A nhiều học sinh lựa chọn học sinh thường nhầm lẫn khơng chắn phương án A có hay không? Đa số học sinh nghĩ mẫu phân số phải 27 nên học sinh thường chọn bất đẳng thức sai phương án A, phương án D bất đẳng thức Bước cuối khả giải tốn tìm giá trị lớn biểu thức việc áp dụng bất đẳng thức học, phổ biến bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunyakovsky Ta xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả đó: Ví dụ Cho số thực dương ℎ, 𝑥 với < 𝑥 < ℎ Với giá trị 𝑥 biểu thức 𝑃 = (ℎ − 𝑥)2 𝑥 đạt giá trị lớn nhất? A 𝑥 = C 𝑥 = 2ℎ B 𝑥 = ℎ D 𝑥 = ℎ 3ℎ Ở câu hỏi đòi hỏi học sinh phải có kĩ giải tốn liên quan đến bất đẳng thức, cụ thể dùng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 Ta có phương án trả lời xác phương án B Phương án nhiễu: câu hỏi này, phương án mà học sinh lựa chọn nhiều thường phương án C Rất nhiều học sinh gặp toán thường nghĩ tới áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ℎ − 𝑥, 𝑥 Vì vậy, dấu " = " xảy ℎ ℎ − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có: ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥 ≥ Suy ra: (ℎ − 𝑥) 2𝑥 ≤ Do đó, ta có: 𝑃 ≤ 4ℎ (2ℎ )3 27 ⟹ (ℎ − 𝑥) 𝑥 ≤ ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 2𝑥 4ℎ 27 27 Vậy 𝑃 đạt giá trị lớn 4ℎ 27 ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 = ℎ Câu Một người có dải ruy băng dài 130 𝑐𝑚, người cần bọc dải ruy băng quanh hộp q hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 𝑐𝑚 dải ruy băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh hoạ) Hỏi dải dây ruy băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? Giải Gọi 𝑥 𝑐𝑚 , 𝑦 𝑐𝑚 bán kính đáy chiều cao hình trụ (𝑥, 𝑦 > 0; 𝑥 < 30) Theo đề ra, ta có: độ dài dải ruy băng lại thắt nơ 120 𝑐𝑚 Ta có: 2𝑥 + 𝑦 = 120 ⇔ 𝑦 = 30 − 2𝑥 Thể tích khổi hộp quà là: 𝑉 = 𝜋 𝑥 𝑦 = 𝜋 𝑥 (30 − 2𝑥) Yêu cầu toán là: tìm giá trị lớn biểu thức 𝑉? Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥) với < 𝑥 < 30 Tìm giá trị lớn hàm số? Ta có: 𝑦 ′ = −6𝑥 + 60𝑥 𝑦 ′ = ⟺ −6𝑥 + 60𝑥 = ⟺ Ta có bảng biến thiên sau: 𝑥 = (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 = 10 Hàm số 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn 1000 𝑥 = 10 hay max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000 (0;30) Vậy dải dây ruy băng bọc hộp q tích lớn là: 𝑉 = 1000𝜋 𝑐𝑚3  Phân tích Ở tốn thứ hai này, phân tích tốn thứ Giả sử học sinh có đủ khả để vẽ mơ hình tốn minh hoạ Từ thơng tin đề cho, giả sử học sinh diễn đạt toán lời thành biểu thức toán học cụ thể, tìm mối liên hệ thông tin đề cho đề hỏi Nếu đề khơng cho phải biết đặt ẩn phụ tìm mối liên hệ với thông tin đề cho Rồi học sinh phải gọi cơng thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ với ℎ chiều cao hình trụ, 𝑟 bán kính đường trịn đáy hình trụ Cơng việc hồn tồn tương tự tốn thứ phân tích rõ ràng Tuy nhiên, bước cuối tốn thứ nhất, học sinh biến đổi cơng thức thể tích dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất biểu diễn theo thông tin mà đề cho cuối tiến hành làm tốn bất đẳng thức: tìm giá trị lớn biểu thức 𝑉 tốn này, sử dụng cơng cụ mạnh nhiều, khảo sát hàm số để tính giá trị lớn biểu thức 𝑉  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Ở toán này, ta làm số câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước cuối để giải toán Bước cuối khả tính giá trị lớn biểu thức công cụ khảo sát hàm số Ta xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau: Ví dụ Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥) liên tục (0;30) Bảng biến thiên hàm số bảng bảng biến thiên đây? A B C D Câu hỏi kiểm tra khả vẽ bảng biến thiên hàm số cho, kiểm tra khả hiểu vận dụng thấp học sinh Nếu học sinh bình thường trả lời câu hỏi này, phương án phương án D Tuy nhiên với phương án nhiễu phương án A, có học sinh chọn phương án A xét dấu đạo hàm 𝑦′, học sinh quên để ý đến dấu hệ số 𝑎 = −2 < 10 Ví dụ Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục (0;30) có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau sai? A Hàm số đồng biến khoảng −1; B Hàm số nghịch biến khoảng 15; 27 C Hàm số đồng biến khoảng (0;10) D Hàm số nghịch biến khoảng (10;30) Phương án trả lời phương án A Học sinh cần dựa vào bảng biến thiên hình vẽ bên chọn phương án trả lời Loại câu hỏi mức độ nhận biết, phương án nhiễu câu hỏi không phát huy nhiều, câu hỏi không phân loại học sinh Tuy nhiên, câu hỏi kiểm tra khả hiểu vẽ bảng biến thiên học sinh, từ bảng biến thiên suy ngược thông tin Bước cuối khả giải tốn tìm giá trị lớn biểu thức việc áp dụng công cụ khảo sát hàm số Ta xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả đó: Ví dụ Tính giá trị lớn hàm số 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥) (0;30)? A max 𝑦 = C max 𝑦 = 1000 (0;30) (0;30) (0;30) (0;30) B max 𝑦 = 648 D max 𝑦 = 76 Câu hỏi đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách tìm giá trị lớn hàm số cách khảo sát hàm số học đầu chương trình lớp 12 phần Đại số Giải tích Loại câu hỏi mức độ đánh giá khả vận dụng em học sinh vào việc giải vấn đề Phương án trả lời phương án C Ta có: 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥), 𝑥 ∈ (0;30) 𝑦 ′ = −6𝑥 + 60𝑥 𝑦 ′ = ⟺ −6𝑥 + 60𝑥 = ⟺ 𝑥 = (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑥 = 10 11 Ta có bảng biến thiên sau: Hàm số 𝑦 = 𝑥 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn 1000 𝑥 = 10 hay max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000 (0;30) 12 ... tính giá trị lớn biểu thức