Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 -2019 MÔN: TOÁN Ngày thi: 23/10/2018 Thời gian làm bài: 150 phút - ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Cho Bài (4,0 điểm) Chứng minh rằng: số nguyên Giải phương trình : Nhà tốn học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tơi x tuổi vào năm Hỏi năm ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) số phương b) Chữ số tận bên phải A số c) số phương Bài (4,0 điểm) a) Tìm x y biết b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; b) Biết Chứng minh rằng: ABC tam giác Cho tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao AH Gọi M N thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Bài (1,0 điểm) Với ba số dương thỏa mãn , chứng minh: LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Cho Chứng minh rằng: Lời giải 1a) ĐK: số nguyên Ta có: ) Ta có b Vậy MinP = x = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Từ Vậy Bài (4,0 điểm) số nguyên Giải phương trình : Nhà tốn học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tơi x tuổi vào năm Hỏi năm ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) số phương b) Chữ số tận bên phải A số c) số phương Lời giải ĐKXĐ : (*) Ta có : Đặt (Điều kiện: (**)), phương trình trở thành Với y = ta có pt Vậy phương trình có nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Nhà tốn học De Morgan sinh năm 1806, ơng x tuổi vào năm nên ta có: mà x x – hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 43 Vậy năm 1849 ông De Morgan 43 tuổi Nếu mệnh đề b) A + 51 có chữ số tận A – 38 có chữ số tận nên hai số khơng số phương Vậy mệnh đề b) sai mệnh đề a) c) Giả sử hay (m – n)(m + n) = 89 Vì 89 số nguyên tố nên m + n = 89 m – n = => m = 45 n = 44 nên A = 1974 Bài (4,0 điểm) a) Tìm x y biết b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn Lời giải a) Ta có: (1) Mặt khác: (2) Từ (1) (2) ta suy Vậy x = -1 y = b) Phương trình Vì khơng nghiệm nên ta có Vì suy x = (loại); (loại) Vậy phương trình có nghiệm Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; b) Biết Liên hệ tài 039.373.2038 Chứng minh rằng: ABC tam giác liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao AH Gọi M N thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng Lời giải 1a) Vẽ hình đến câu a) C/m tam giác AKC đồng dạng với tam giác AIB suy C/m tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB (cgc) b) Tương tự Mà nên nên tam giác ABC tam giác Vẽ hình Vẽ đường kính AK đường trịn (O;R) C/m C/m (c.g.c) C/m C/m tương tự nên ba điểm M, O, N thẳng hàng Bài (1,0 điểm) Với ba số dương thỏa mãn , chứng minh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học Website:tailieumontoan.com Lời giải Vì nên Đặt , với Khi đó: Chứng minh tương tự ta có: Dấu xảy (Trái với giả thiết) Vậy dấu = không xảy suy đpcm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: Tài liệu tốn học