51HSG 19 LUCNAM NGUYEN QUOC HOANG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM Câu 1: (4,0 điểm)  x 1 xy  x   xy  x x 1    1: 1       xy  1  xy xy  xy      Rút gọn biểu thức: , với x  0; y  0; xy   x Cho Câu 2:   10  21   , tính giá trị biểu thức P   x2  x  2 2017 (2,0 điểm) Cho x 1  nghiệm phương trình: ax  bx   Với a, b số hữu tỉ Tìm a b 20 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  chia hết cho 100 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: a  b4  c  2a 2b  2a c  2b2 c Câu 3: (2,0 điểm) Tìm số nguyên x cho x  x  x  số phương Giải phương trình: Câu 4: x  3x  x   x  x  5 x (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB  BD  a Trên tia đối tia AB lấy điểm N , tia đối tia DB lấy điểm K cho AN  DK  2a Gọi giao điểm CN với BD AD thứ tự I M Tia BM cắt ND P Chứng minh IC.CN  IN CM · Chứng minh DM BN  a Từ tính số đo góc BPD Tìm vị trí điểm N K để diện tích tứ giác ADKN lớn Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh rằng: a5  b5  c5  1   6 a b c ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM Câu 1: (4,0 điểm)  x 1 xy  x   xy  x x 1    1: 1       xy  1  xy xy  xy      Rút gọn biểu thức: , với x  0; y  0; xy   x   10  21   Cho , tính giá trị biểu thức         x  1  xy  xy  1  xy  2017  : Lời giải a) Với x; y  xy  Ta có: A P   x2  x  2   xy  1    xy  1   xy  xy  x xy  x    xy   xy  1  xy  x  1  xy  xy  1   xy   x  1   xy    xy  x   xy  1   xy  1     xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1     xy  xy 1 x  x y  xy xy b) Ta có:  x 21   Suy ra: Câu 2:     10  x2  x 1     1    1  20    2 4   1  1 20       P   1 2017  52  1   52 (2,0 điểm) Cho x 1  nghiệm phương trình: ax  bx   Với a, b số hữu tỉ Tìm a b 20 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  chia hết cho 100 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: a  b4  c  2a 2b  2a c  2b2 c Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x Ta có: Vì 1  3 2 1 1  nghiệm phương trình ax  bx   nên: x 17 a  12a  3b  2b     12a  2b   17 a  3b  Do a, b số hữu tỉ nên 17 a  3b  12a  2b số hữu tỉ  12a  2b  Suy số hữu tỉ 12a  2b  a    Do 17 a  3b   b  6    Ta có Do p số nguyên tố lớn nên p số lẻ p 20   p  p16  p12  p  p   p  p  số chẵn  p  chia hết cho  p 20  chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn  p số không chia hết cho Lập luận ta p  chia hết cho 16 12 Lập luận ta p  p  p  p  chia hết cho 20 Suy p  chia hết cho 25  Mà  Ta có: 4; 25  20 nên p  (đpcm) a  b  c  2a 2b  2a c  2b 2c  a  b  c  2a 2b  a 2c  2b c    a  b  c    2bc   2   a  b  c  2bc   a  b  c  2bc     a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  (1) Vì a; b; c độ dài cạnh tam giác nên:  a  b  c   ;  a  b  c   ;  a  b  c   ;  a  b  c   (2) Từ (1) (2) suy đpcm Câu 3: (2,0 điểm) Tìm số nguyên x cho x  x  x  số phương Giải phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x  3x  x   x  x  mơn tốn: 5 x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải x  x  x    x    x  x  1 Ta có: 2 * Xét x    x  : thỏa mãn yêu cầu toán * Xét x  x   : Loại * Xét x   x  x  ta có: x    x  1; x  x   * TH x  2; x  Với x nguyên ta chứng minh 2 Nên x  3x  x  số phương x  x  x  số phương 2 Để x  x  số phương x  x   y với y  ¢ Tìm x  (loại x  ) x  1 Thử lại x  1 ta có x  x  x  có giá trị 1 khơng phải số phương nên  x  1 (loại) Vậy x  x  x  x  x  số phương x  3x  x   x  x  Giải phương trình: Điều kiện: x  Khi ta có: 5 x (*) x2  5x  0  *  x  x  3  x   x  x  x    x  3 x3  x x x  x   2x  x3 x x2 2 x x2        x3   x  x    2  x      x  x   x3 2  x Nếu x  x   ta có x  thỏa mãn x3 2  x Nếu ta có x  thỏa mãn S   1; 2 Vậy Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB  BD  a Trên tia đối tia AB lấy điểm N , tia đối tia DB lấy điểm K cho AN  DK  2a Gọi giao điểm CN với BD AD thứ tự I M Tia BM cắt ND P Chứng minh IC.CN  IN CM · Chứng minh DM BN  a Từ tính số đo góc BPD Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tìm vị trí điểm N K để diện tích tứ giác ADKN lớn Lời giải B A C I M N P D K + Do ABCD hình thoi nên AB  BC  CD  AD  a IC BC a   + BI đường phân giác tam giác BNC nên IN BN BN + Vì AM // BC nên áp dụng định lý Ta lét tam giác NBC ta MC AB a   có: CN BN BN MC IC  a      IC.CN  IN CM Suy CN IN  BN  + Dễ dàng chứng minh hai tam giác BNC DCM đồng dạng với (g-g) BC BN   DM BN  a DM DC o · · Ta có AB  AD  a BD  a  ABD ABD  BDM  60 a BN BD BN DM BN  a      2 DM a DM BD Lại có Từ (1) (2)  hai tam giác MDB DBN đồng dạng (c-g-c)  · ·  BND  DBM · · µ Xét hai tam giác DBP DNB có góc D chung BND  DBM · ·  hai tam giác DBP DNB đồng dạng (g-g)  NBD  BPD  60o Vì S ABD khơng đổi  S ADKN lớn S ADKN  S ABD lớn hay S NBK lớn Thật ta có: cơng thức này)  S NBK  Liên hệ tài 039.373.2038 S NBK  NB.BK sin 60o (Học sinh phải chứng minh NB.BK liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  NB  BK  NB.BK     4a  S   NBK  a Lại có Dấu “=” xảy BN  BK  2a , mà AN  DK  2a , BA  BD  a Vậy N , K cách A, D khoảng a Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh rằng: a5  b5  c5  1   6 a b c Lời giải 1  2a b5   2b c   2c a b c Áp dụng BĐT Cơsi ta có: ; ; 1 a  b5  c5      a  b  c   1 a b c Từ suy ra: 2 Mặt khác a   2a ; b   2b ; c   2c Suy ra: a5  a  b2  c   a  b  c     2 1    a b c Từ (1) (2) ta có: Dấu “=” xảy  a  b  c  a  b5  c  …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC