Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 1 x x 1 x x , với x 0; x 1 A 7 x x Cho x 2 , tính giá trị biểu thức Câu 2: 100 50 x x 2016 (4,0 điểm) x Tìm nghiệm tự nhiên phương trình y Giải phương trình: Câu 3: x 12 3 x x (3,0 điểm) x y z 2 xy z 4 Giải hệ phương trình: Câu 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z x y z 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Câu 5: x2 y2 z2 yz zx xy (7,0 điểm) d cắt đường tròn tâm O hai Cho đường tròn tâm O đường thẳng d không qua O ) Trên tia đối tia BC lấy điểm A ( A nằm điểm B, C ( ngồi đường trịn tâm O ) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q ( P nằm A O ), BC cắt MN K a, Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn AK AI AM b, Gọi D trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 1 x x 1 x x , với x 0; x 1 A 7 x x Cho x 2 , tính giá trị biểu thức 100 50 x x 2016 Lời giải Ta có P x2 x x x x 1 x x 1 x x1 x x2 x 1 x x 1 x x x 1 2 x 1 x x x 1 x1 x 1 x1 x 1 2 Ta có: Suy ra: x 2 x x 3 x x 0 x x A 7 1 Câu 2: 100 50 1 2016 2024 (4,0 điểm) x Tìm nghiệm tự nhiên phương trình y Giải phương trình: x 12 3 x x Lời giải Với x 0 y 2 y Với x 1 y 5 (loại) Với x 2 VT chia dư Vì VT số tự nhiên lẻ nên y số tự nhiên lẻ Từ suy VP chia dư vơ lí Vậy nghiệm tự nhiên phương trình x 12 Để phương trình có nghiệm ta có: x 12 3 x x x2 x 2 x 12 Do x Liên hệ tài 039.373.2038 ta chứng minh liệu word mơn tốn: x; y 0; x2 x 12 3 x Khi x2 x2 x 1 0 x 2 x2 x2 x 3 x 0 x x 12 x 1 x 5 3 30 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy tập nghiệm phương trình Câu 3: S 2 (3,0 điểm) x y z 2 xy z 4 Giải hệ phương trình: Lời giải Ta có: z 2 x y xy x y 4 x 2 y 2 Từ phương trình (2) ta giải x y z 2 xy z 4 z 2 x y 2 xy z 4 z 2 x y 2 x y 0 1 2 Thay vào phương trình (1) ta z Câu 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z x y z 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2 yz zx xy Lời giải x2 yz Vì x, y, z nên áp dụng BĐT Côsi hai số dương y z ta được: x2 yz x2 y z x 2 2 x yz yz 1 Tương tự ta có: y2 zx y zx z2 x y z x y Cộng 3 1 3 , ta được: P x y z Dấu “=” xảy Câu 5: 2 x y z x yz 1 2 P 1 x y z Vậy (3,0 điểm) d cắt đường tròn tâm O hai Cho đường tròn tâm O đường thẳng d không qua O ) Trên tia đối tia BC lấy điểm A ( A nằm điểm B, C ( ngồi đường trịn tâm O ) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q ( P nằm A O ), BC cắt MN K a, Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn AK AI AM b, Gọi D trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn Lời giải M Q P A B O D H K I d C E N a, * Ta có I trung điểm BC (dây BC không qua O ) nên OI BC OIA 90o Suy I thuộc đường trịn đường kính AO (1) o O ) nên M thuộc đường trịn Ta có AMO 90 (do AM tiếp tuyến đường kính AO (2) o O ) nên N thuộc đường trịn Ta có ANO 90 (do AN tiếp tuyến đường kính AO (3) Từ (1), (2), (3) suy điểm A, M , N , O, I thuộc đường tròn đường kính AO Suy điểm O, M , N , I thuộc đường tròn đường AO Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com O cắt A nên OA tia phân * Ta có AM , AN hai tiếp tuyến giác góc MON Mà OMN cân O nên OA MN Ta có AMO vng M có đường cao MH nên suy AH AO AM o Ta có AHK đồng dạng với AIO (vì AHK AIO 90 OAI chung) nên AK AI AH AO Vậy AK AI AM (đpcm) O nên PMQ 90o b, Ta có M thuộc đường tròn Xét MHE QDM có MEH DMQ (cùng phụ với DMP ), EMH MQD (cùng phụ với MPO ) ME MH Suy MHE QDM Do ta MQ DQ PMH MQH Tương tự ta có MP MH MH MP ME MQ HQ DQ MQ MQ Suy ME 2MP Vậy P trung điểm ME (đpcm) * Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1 m Vì đường kính đường tròn lớn 0,1 m nên đường tròn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt không đường trịn số đường trịn khơng q 9.6 54 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường trịn …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC