Luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán theo chủ đề: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Phân dạng 32 chủ đề quan trọng luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán tiếp tục trình bày 16 chủ đề còn lại của cuốn sách. Với mỗi chủ đề, các em sẽ ôn lại kiến thức nền tảng phục vụ cho từng dạng bài toán khác nhau. Sau mỗi chủ đề các em có thể hệ thống kiến thức từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em tăng tốc độ làm bài và đạt hiệu quả hơn. Mời các em cùng tham khảo.

CHỦ ĐỀ 17: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A KIẾN THỨC NỀN TẢNG xa Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng , x  b tính theo cơng thức b S   f  x   g  x  dx a (1) (Dạng 1)  Quy ước: Trong học ta gọi đường thẳng x  a cận thứ nhất, x  b cận thứ hai  Chú ý: Khi đề không cho hai cận hai cận có dạng x  x1 , x  x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ya yb Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  f  y , x  g  y hai cận , tính theo cơng thức: b S   f  y  g  y dy a (2) (Dạng 2) Tổng hợp phương pháp (gồm bước)  Bước 1: Xác định rõ hai hàm y  f  x  , y  g  x  x  f  y , x  g  y  Bước 2: Xác định rõ cận x  a , x  b y  a , y  b  Bước 3: Lắp vào công thức (1) (2) sử dụng máy tính casio B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường hai cận Ví dụ (Chuyên Thái Nguyên): Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  2x2  3x  y  x2  x  A Giải B   cos   S Tính 2 C D Ta hiểu y  f  x   2x  3x  y  g  x   x  x  Tìm cận x  a , x  b phương trình hồnh độ giao điểm: 2  x  3 2x2  3x   x2  x   x2  4x      x  1 a b Sau có đầy đủ thông số f  x  , g  x  , , ta lắp vào công thức: 1 S    2x2  3x  1   x2  x  2 dx  3 S 1  x 3  4x  3dx   4  3   3   cos   cos     S  4 Vậy  Chọn B Phân tích Chú ý tốn khơng cho hình phẳng giới hạn cận a , b ta tìm cận cách tìm Trang Trang 183 nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Chú ý thứ hai giá trị: b b a a  f  x  dx   f  x  dx Ví dụ (Chun Nguyễn Bỉnh Khiêm): Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  3x  2x , trục hoành đường thẳng x  là: A Giải B C D Trục hồnh có phương trình y  x  x  3x  2x    x   x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Trong cận ta phải chọn lựa xem cận hợp với đường thẳng = để tạo thành miền phẳng Đó cận x  Do diện tích hình phẳng là: S x  3x2  2x dx   Chọn C Bình luận Việc xác định xem cận lấy cận không? Cận hợp với cận cho tạo thành miền phẳng khép kín cơng tác quan trọng cấu tạo nên tích phân tính diện tích yc Ví dụ (vn.math): Đường thẳng chia hình phẳng giới hạn đường cong y  x đường thẳng y  x thành hai phần Tìm c A 16 Giải B C 2 D 3 Tiến hành tìm cận: x   x  2 y4 y  x2 Diện tích hình phẳng giới hạn là: S  x 2  4dx  32 Trang Trang 184 yc y  x2 Vậy diện tích giới hạn S1  S 16  Tiến hành tìm cận: x  c  x   c S1  16  c   x  c dx  16 (*)  c Khi Sử dụng máy tính Casio thay c vào (*) xem giá trị thỏa mãn Ta thấy  Chọn A S1  16 thỏa mãn (*) Bình luận Ta loại đáp án C D c phải thuộc khoảng từ đến Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cận Ví dụ (Chun Quốc Học Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   x  4x  , trục hoành, x  , x  A C B D Giải Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận x  x2  x     x  Ta thấy nghiệm x  thuộc miền giới hạn x  , x  ta coi x  cận Khi phần hình phẳng cần tìm chia thành phần hình phẳng nhỏ Phần thứ nằm cận x  , x  ta gọi S1 phần thứ nằm cận x  , x  ta gọi S2 Tính Tính S1  S2  2  x x  4x  3dx    4x  3dx  2  3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S  S1  S2   2 3 Trang Trang 185  Chọn D Phân tích Với cận tìm ta phải chia thành hình phẳng nhỏ tính hình phẳng dẫn đến kết sai lầm Ngồi cịn xuất sai Tuyệt đối khơng tính chung lầm thường xảy đề cho cận x  2; x  bạn thường lười tìm cận thứ  f  x  dx Ví dụ (THPT Tam Quan): Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  sin x với  x  2 A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  sin x  x  sin x   x  k k   x  0  x  2   k  2   k   x    k   x  2 Với  S  S1  S2   sin xdx  Vậy  Chọn A 2  sin xdx  Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cận Ví dụ (Sở GD-ĐT Bình Phước): Cho Parabol y  x  4x  hai tiếp tuyến với Parabol A1;2 B 4;5 y  2x  y  4x  11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường B A Giải C D Ta hiểu tiếp tuyến y  2x  tiếp xúc Parabol điểm x   x  cận thứ Tương tự x  cận thứ tạo tiếp tuyến y  4x  11 Parabol Để cẩn thận ta thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm tiếp tuyến để tìm cận thứ Ta có: 2x   4x  11  x  Với cận x  1; x  15 15 ;x  ta chia thành khoảng cận  15 1;    15   ;4   tương ứng với hình phẳng S1 S2 Trang Trang 186 S1  Tính S2  Tính 15 1  x   x 15  4x  4   2x  4dx   4x  4   2x  dx  Vậy tổng diện tích  Chọn C S  S1  S2  9   8 Phân tích Việc chọn hàm hàm cho khoảng cận việc khó khăn Ta xử lý cách vẽ phác họa đồ thị hàm quan sát ta lập luận sau: Cận bên trái cận x  chứa y  2x  Parabol (không chứa y  4x  11) nên diện tích hình phẳng tạo nên đường Ví dụ (Chuyên KHTN Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn đường gấp khúc y   x , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  A B 16 C D Giải y  4 x x0 Đường gấp khúc y   x thực chất đường thẳng tương ứng với (phần nằm bên phải trục tung) y   x tương ứng với x  (phần nằm bên trái trục tung) Hai đường thẳng giao điểm M  0;4 Vậy cận thứ x0 S  S1  S2  Vậy  Chọn D thuộc miền cận ban đầu  1;1    x  dx  0   x  dx  1 Dạng 4: Diện tích hình phẳng chứa đường cong có nhánh Trang Trang 187 Ví dụ (ThukhoA.edu.vn): Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip  3 9 C A B Giải Cách 1: Ứng dụng tích phân x2  y2 1 7 D Ta biến đổi hàm số cho dạng y  f  x  y  g  x  :  y   x2  y  f  x  y2 2 x    y  1  x     y  3  x2  y  g  x  Vậy đường cong ban đầu ta biến đổi dạng y  f  x  y  g  x  2 Tiến hành tìm cận:  x  3  x   x   x  1 S Vậy diện tích (E):  Chọn B  1   x2  3  x2 dx  16   x2 dx  9.42  3 Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Ta có diện tích Elip tính theo cơng thức S  ab với 2a độ dài trục lớn 2b độ dài trục nhỏ x2  Áp dụng a2  a  y2  1    S  ab  3 b  b    Bình luận Để tách đường cong thành nhánh ta tiến hành 2 Bước 1: Cô lập y đưa dạng y  A y   A x2 y2 a2  b2   1 b ứng dụng vào toán ta Chú ý Elip ln có dạng a S2 x2 y2  1 Ví dụ (Chuyên Sơn La): Gọi diện tích hình phẳng giới hạn Elip diện S S tích hình thoi có đỉnh đỉnh Elip Tính tỉ số S1 S1  A S2  S1   C S2 S1  B S2  S1   D S2 Giải Cơng thức Elip có dạng a2  a  x2 y2   1    S1  ab  3 a b b  b    Trang Trang 188 Tọa độ đỉnh Elip A  a;0 , B  0; b , C  a;0 , C  0;  b  tương ứng A 3;0 , B  0;1 , C  3;0 , D  0; 1 Đây hình thoi ABCD có hai đường chéo AC  2a  BD  2b  1  S2  AC.BD  6.2  2 S1 3    S Tính tỉ số  Chọn D Bình luận Ngồi tọa độ đỉnh ABCD giới thiệu Elip cịn điểm đặc biệt tiêu cự F1  c;0 F2  c;0 với c2  a2  b2 Ví dụ 10 (Chuyên Sư phạm HN): Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc tọa độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn 2 trục nhỏ hình vẽ Trong đơn vị diện 100 tích cần bón trồng hoa là? A 30 kg Giải 2  1  B 40 kg Diện tích hình trịn Diện tích Elip là: kg phân bón Hỏi tổng số phân bón cần sử dụng để S1  r  S2  ab   Diện tích trồng hoa C 50 kg  2 2  2 S  S2  S1           2 1  2  2 1 Tổng số phân bón cần tìm  Chọn C D 45 kg 100  2 1   50(kg) Bình luận Ngồi cách tính nhanh cho diện tích Elip đường trịn ta thực tập cách tách đường cong thành nhánh x2 y2 x2    y   1 Ví dụ có Elip: Dạng 5: Diện tích hình phẳng dạng đảo trục ya yb Cho hàm x  f  y , x  g  y hai cận , diện tích hình phẳng giới hạn đường là: Trang Trang 189 b S   f  y  g y  dy a Ví dụ 11 (Sách tập nâng cao): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  y , đường cong x  y  , trục hoành A B 5 C D Giải Ta coi x  y  x  f  y 4 Lại có x  y   x   y  x  g  y  Trục hồnh có phương trình y  Giải phương trình tung độ giao điểm: y   y  y   23  S    y    y4  dy  0  Khi diện tích hình phẳng:  Chọn A Bình luận Việc tách hàm thành y  f  x  y  g  x  khó khăn ta tách hàm thành dạng x  f  y x  g  y áp dụng cơng thức tương tự học Ví dụ 12 (Báo THTT): Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  4x , đường thẳng x  S Giá trị S A Giải Cách 1: Cách đảo trục B 8 C D 16 y2 y  4x  x   x  f  y Ta có Lại có x   x  g  y  x  g  y   y  2 y2  1  y  Giải phương trình tung độ giao điểm: Trang Trang 190 S Khi diện tích hình phẳng:  Chọn C  y2  2   1dy  Cách 2: Cách thông thường  y  4x y  f  x y2  4x     y   4x  y  g x Ta có Giải phương trình hồnh độ giao điểm: Khi diện tích hình phẳng: S 0  4x   4x  4x   x   4x   4x dx  0   4x dx  2.67  Bình luận Qua cách giải cho bạn đọc cách nhìn tồn diện cách làm thông thường cách đảo trục Các bạn tự so sánh rút kinh nghiệm riêng C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Chun Lê Hồng Phong - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x đường thẳng y  2x 23 A 15 B 3 C D Câu (Chun Biên Hịa - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P : y  x  4x  trục Ox 4   B C D A 3 Câu (THPT TH Cao Ngun - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  ; y  ; x  ; x  A B C D 2 Câu (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; 27 x2 y y x 27 ; S 234 S 27ln3 26 26 S S 27ln3  3 A B C D Câu (Sở GD-ĐT Tp HCM - 2018) Diện tích hình phẳng hình vẽ bên Trang Trang 191 22 A 16 C B 10 D Câu (Đề Minh Họa - 2018) Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y  f  x  , trục x  1, x  hoành hai đường thẳng sau đúng? A S  b  a C S   b  a (như hình vẽ bên) Đặt a  f  x  dx, b  0 f  x  dx , mệnh đề 1 B S  b  a D S   b  a Câu (Sở GD-ĐT Bình Dương) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  , x  e2 A S  e  B S C S  e  D S  e  Câu (Chuyên KHTN HN - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x đường thẳng y   x , trục hoành miền x  B A C D x Câu (THPT Thanh Thủy - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  xe , y  , x  1 , x  e2  2 e e2  2 e e2   e C e2   e D A B Câu 10 (THPT Phan Đình Phùng - 2018) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị y  3ex , y   x trục tung 9 S  S  ln3 ln3 B A S  ln3 S  ln3 C D Câu 11 (THPT Vĩnh Thạnh - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x  , x   đồ thị hàm số y  cos x , y  sin x A B 2 C D Câu 12 (THPT Tam Quan – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình: y  x  sin x y  x với  x  2 A B -4 C D Câu 13 (Chuyên ĐHSP HN - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường tròn x2  y2  2, y  parabol y  x2  1 A B   C  D Trang 10 Trang 192  Chọn B Tổng kết Mặt cầu (S) tiếp xúc với d R  IH  d  I ; d  Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu với yếu tố cho trước Ví dụ (THPT Hai Bà Trưng - 2017): Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm O, A 1;0;0  A  0; 2;0  , C  0;0;  A ( S ) : x  y  z  x  y  z  B ( S ) : x  y  z  x  y  z  C ( S ) : x  y  z  x  y  z  D ( S ) : x  y  z  x  y  z  Giải Cách 1: Đi từ phương trình tổng qt Phương trình mặt cầu có dạng ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  (a  b  c  d  0) Vì mặt cầu (S) qua O, A 1;0;0  A  0; 2;0  , C  0;0;  nên ta có: d 0 d   12    2.1.a  d   a      (  2)   (  2) b  d   b  1    42  2.4.c  d    c   (S ) : x2  y  z  x  y  z   Chọn C Cách 2: Đi từ tâm I mặt cầu Gọi I (a; b; c) tâm mặt cầu IO  IA  IB  IC  R  IO  IA2  a  b  c  (a  1)  b  c   Ta có:  IO  IB  a  b  c  a  (b  2)  c  IO  IC  a  b  c  a  b  (c  4)   Rút gọn giải hệ bậc phương trình ẩn ta I ( ; 1; 2) Trang Trang 376  R  OI  21 1  2 1 21 2   ( S ) :  x     y  1   z    2  Bình luận Có cách để giải này, cách Đi từ phương trình tổng qt buộc phải có máy tính Vinacal 570 VN Plus giải hệ bậc phương trình ẩn Ví dụ (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2017): Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 1;  , N  3;1;  Tìm phương trình mặt cầu có đường kính MN A ( S ) :  x    y   z  3  B ( S ) :  x    y   z  3  C ( S ) :  x    y   z  3  D ( S ) :  x    y   z  3  2 2 2 2 Giải Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu 1  a 2  1     I (2;0;3) Ta có: b   24  c 3  Bán kính mặt cầu là: R  MI    1    1    2 2   Chọn B Tổng quát Mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính có tâm I trung điểm AB có bán kính R  AB Ví dụ (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2; 4  thể tích khối cầu tương ứng 36 A ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    2 B ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    2 Trang Trang 377 C ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    D ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    2 Giải R  36  R  3 Gọi R bán kính khối cầu Ta có: Mặt cầu lại có tâm I 1; 2; 4  nên có phương trình:  x  1  ( y  2)   z     Chọn A Ghi nhớ Thể tích khối cầu V  R , diện tích mặt cầu S  4R ta có mối quan hệ V '  S  S dx  V Ví dụ (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  2; 4;5  Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A cắt trục Oz hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông A ( S ) :  x    ( y  4)   z    40 B ( S ) :  x    ( y  4)   z    82 C ( S ) :  x    ( y  4)   z    58 D ( S ) :  x    ( y  4)   z    90 2 2 2 2  Chọn A Ví dụ (THPT Hoằng Hóa - 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I  a; b; c  ; bán kính R, qua điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C (1;1;1) tâm I thuộc mặt phẳng x  y  z   Tính  a  2b  3c  R A 12 B C D  Chọn D Ví dụ 10 (Sở GD-ĐT Điện Biên Phủ - 2017): x t  x   2t   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  6  t , :  y   t mặt phẳng  z  2t  z  1  t   ( P) : x  y  z   Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với  ( P) Biết hoành độ điểm I số Trang Trang 378 nguyên Tung độ điểm I A B C -4 D -2  Chọn C Dạng 3: Khoảng cách tốn mặt cầu Ví dụ 11 (THPT Lê Quý Đôn - 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  10 z  14  Mặt phẳng ( P) : x  y  z   cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có chu vi bao nhiêu? A 2 B 6 C 4 D 8 Giải Ta có ( S ) :  x    ( y  1)   z    16  ( S ) có tâm I  2;1; 5  bán kính R  d  I ( P)   2 1  12  12  12   Bán kính đường tròn giao tuyến là: r  R  d  16   2 Chu vi đường tròn : 2r  2.2  4  Chọn C Tổng quát Mặt cầu ( S ) cắt ( P) cắt theo giao tuyến đường trịn tâm J bán kính r Lại có IJ  ( P) có hệ thức R  IJ  r Ví dụ 12 (THPT Chuyên Hà Giang - 2017): Cho mặt cầu  x  1  ( y  2)   z    16  ( S ) điểm A 1; 2; 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt 2 cầu cho độ dài đoạn AM lớn A M  3;6;9  B M 1; 2; 9  C M 1; 2;9  D M  1; 2;1 Giải Tâm mặt cầu I 1; 2; 5  Ta nhận thấy A mặt cầu Để AM lớn AM đường kính hình cầu Trang Trang 379  x M  x1  x A  2.1      y M  y1  y A  2.2    M 1; 2; 9    z M  z1  z A  2.(5)   9  Chọn B Phương pháp Cho điểm A cố định , điểm M điểm thuộc mặt cầu AM lớn nhỏ đường thẳng AM qua tâm I mặt cầu Ví dụ 13 (Sở GD-ĐT Thanh Hóa - 2017): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  y 1 z 1   điểm I  2; 1;1 2 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A,B cho tam giác IAB vuông I A ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  B ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  C ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  D ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  2 2 2 2 80 Giải Gọi H hình chiếu I lên đường thẳng d  H (2t  2; 2t  1; t  1)  Đường thẳng d có vecto pháp tuyến ud   2; 2; 1    1 Sử dụng IH ud   t    H  ;  ;    IH   3 3 Tam giác IAB tam giác vuông cân I nên IA  IH  2 bán kính mặt cầu cần tìm  Chọn C Tổng kết IAB vng cân R  2d ( I , d ) cịn IAB vng R  d (I , d ) Trang Trang 380 Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ví dụ 14 (Chun Sư phạm - 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A  1;0;0  , B  0;0;  , C  0; 3;0  Bán kính mặt cầu tiếp tứ diện OABC A 14 B 14 C 14 D 14 Giải Ngoài cách giải đặt I  a; b; c  thiết lập hệ bậc phương trình ẩn ta sử dụng cơng thức giải nhanh  Vì OA  1, OB  2, OC  đơi vng góc  Tứ diện OABC tứ diện vuông R OA2  OB  OC 14  2  Chọn C Cơng thức giải nhanh Bán kính mặt cầu tứ diện vuông OABC đỉnh O với cạnh bên OA  a, OB  b, OC  c R a  b2  c2 Ví dụ 15 (Chuyên Sư phạm - 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;0; 2  , B  4;0;0  Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, qua O, A, B có tâm A I  2;0; 1 B I  0;0; 1 C I  2;0;0  2 4 D I  ;0;   3 3 Giải   Ta có: OA   0;0; 2  , OB   4;0;0    Suy ra: OA.OB   OAB vuông O Gọi M tâm ngoại tiếp OAB M trung điểm cạnh huyền AB  trục OAB nên  qua M   OAB  M    (OAB) Vì tâm I mặt cầu ngoại tiếp O, A, B IA  IB  IO  I   IO  R Để IO đạt giá trị nhỏ IO  d  O;   I hình chiếu vng góc O lên  hay IO   Trang Trang 381 Lại có   (OAB)    OM  hình chiếu vng góc O lên   M  I Vậy tọa độ tâm mặt cầu I  2;0; 1  Chọn A Kiến thức Tâm đường tròn ngoại tiếp  vuông trung điểm cạnh huyền,  trọng tâm  đều, hình chữ nhật hình vng giao điểm đường chéo C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;0  , B  2;3;  đường thẳng d : x 1 y z   Mặt 2 cầu (S) qua A,B có tâm I thuộc đường thẳng d A  x  1  ( y  1)   z    17 B  x  1  ( y  1)   z    17 C  x  1  ( y  1)   z    16 D  x  1  ( y  2)   z    16 2 2 2 2 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  1;0;0  , B  0;0;  , C  0; 3;0  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A 14 14 B C 14 D 14 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d: x y 1 z    tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x  z   0;(Q) : x  y   là: 1 A ( S ) :  x  1  ( y  2)   z  3  B ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    C ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    D ( S ) :  x  1  ( y  2)   z  3  2 2 2 2 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2;1 , B  3; 1;1 , C  1; 1;1 Gọi ( S1 ) mặt cầu tâm A, bán kính 2; ( S ) ( S3 ) hai mặt cầu có tâm B,C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu ( S1 ) , ( S ) , ( S3 ) ? A B C D Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2;3 Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: A  x  1  ( y  2)   z    2 B  x  1  ( y  2)   z  3  2 Trang 10 Trang 382 C  x  1  ( y  2)   z  3  D  x  1  ( y  2)   z    16 2 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   0;(Q) : x  y  z   có bán kính R bằng: A B C D Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   mặt cầu ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  Mệnh đề đúng? 2 A (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính bé B (P) tiếp xúc với (S) C (P) không cắt (S) D (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I 1; 2;5  tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình A  x  1  ( y  2)   z    B  x  1  ( y  2)   z    C  x  1  ( y  2)   z    D  x  1  ( y  2)   z    2 2 2 2 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 4;0  , B  0;0;  , C  1;0;3 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A x  y  z  x  y  z  B x  y  z  x  y  z  C x  y  z  x  y  z  D x  y  z  x  y  z  Câu 11: Trong khơng gian Oxyz, đâu phương trình mặt cầu đường kính AB với A 1; 1;1 A  3; 1;3 ? A  x  1  ( y  1)   z    B  x  1  ( y  1)   z    C  x  1  ( y  1)   z    20 D  x  1  ( y  1)   z    20 2 2 2 2 Câu 11: Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I  1; 2; 1 tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   0? A  x  1  ( y  2)   z  1  B  x  1  ( y  2)   z  1  C  x  1  ( y  2)   z  1  D  x  1  ( y  2)   z  1  2 2 2 2 Trang 11 Trang 383 Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình ( S ) :  x  3  ( y  5)   z    mặt 2 phẳng ( P) : x  y  z   Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng ( P) theo đường tròn (C) Tính chu vi đường trịn (C) A 8 B 4 D 4 C 2 Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  3;0; 2  mặt cầu ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    25 2 Một đường thẳng d qua A, cắt mặt cầu hai điểm M,N Độ dài ngắn MN là: A B 10 C D Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   0, (Q) : x  y  z   Gọi (S) mặt cầu có tâm thuộc (Q) cắt (P) theo giao tuyến đường tròn tâm E  1; 2;3 , bán kính r  phương trình mặt cầu (S) A x  ( y  1)   z    64 B x  ( y  1)   z    67 C x  ( y  1)   z    D x  ( y  1)   z    64 2 Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng có phương trình ( P1 ) : x  y  z   0, ( P2 ) : x  y  z   0, ( P3 ) : x  y  z   0, ( P4 ) : x  y  z   Cặp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm I 1; 1;1 bán kính R  A ( P1 ) ( P2 ) B ( P1 ) ( P3 ) C ( P2 ) ( P3 ) D ( P2 ) ( P4 ) Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 2;1 , B  0;0;3 , C  2;1;1 Gọi (S) mặt cầu có bán kính nhỏ qua ba điểm A,B,C Tính diện tích mặt cầu (S) A 18 B 162  17 C 54  17 D 9 Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  11  Tìm tọa độ tâm I bán kính R (S) A I  2; 3;1 R  25 B I  2; 3;1 R  C I  2;3; 1 R  D I  2;3; 1 s Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I (2; 4;1) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho (S) cắt ( P) theo đường trịn có đường kính A  x    ( y  4)   z  1  B  x    ( y  4)   z  1  C  x    ( y  4)   z  1  D  x  1  ( y  2)   z    2 2 2 2 Trang 12 Trang 384 Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn Đường trịn giao tuyến có bán kính r A r  B r  C r  D r  Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) :  x  1  ( y  3)   z    49 2 điểm M (7; 1;5) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm M A x  y  z  15  B x  y  z  34  C x  y  z  55  D x  y  z  55  Câu 21: Tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu: x  y  z  2(m  1) x  2(2m  3) y  2(2m  1) z  11  m  A  m  B m  1, m  C m  0, m  D 1  m  Câu 22: Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  10  mặt phẳng ( P) : x  y  z  m  ( S ) ( P) tiếp xúc với khi: A m  7, m  5 B m  7, m  C m  2, m  D m  2, m  6 Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;1;3 , B  1;3;  , C  1; 2;3  Tính bán kính r mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) B r  A r  C r  D r  Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;1 , B  3; 1;1 , C  1; 1;1 Gọi ( S1 ) mặt cầu có tâm A, bán kính 2; ( S ) ( S3 ) hai mặt cầu có tâm B,C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu ( S1 ) , ( S ) , ( S3 ) ? A B C D Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y   Chọn phát biểu sai A Mặt cầu (S) có tâm I 1;3;0  B Mặt cầu (S) có bán kính C Điểm A  2;3;1 nằm mặt cầu (S) D Điểm A 1; 2;1 nằm ngồi mặt cầu (S) Câu 26: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 mặt phẳng ( P) : x  y  z   Biết mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán Phương trình mặt cầu (S) kính A  x  1  ( y  2)   z    2 B  x  1  ( y  2)   z  3  2 Trang 13 Trang 385 C  x  1  ( y  2)   z    2 D  x  1  ( y  2)   z    2 28 Câu 27: Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho điểm A  0;0; 2  đường thẳng : x2 y2 z 3   Phương trình mặt cầu tâm A, cắt  B,C cho BC  là: A  x    y  z  25 B x  y  ( z  2)  25 C x  y  ( z  2)  25 D x  ( y  2)  z  25 Câu 28: Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2; 3 qua A 1;0;  có phương trình A  x  1  ( y  2)   z    53 B  x  1  ( y  2)   z    53 C  x  1  ( y  2)   z    53 D  x  1  ( y  2)   z    53 2 2 2 2 Câu 29: Trong mặt cầu ( S ) :  x  1  ( y  2)   z    12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? 2 A (S) có tâm I  1; 2;3 B (S) có bán kính R  C (S) qua điểm M 1;0;1 D (S) qua điểm N  3; 4;  Câu 30: Cho mặt phẳng () : x  y  z   mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  Khi đó, mệnh đề sau mệnh đề sai? A () cắt (S) theo đường trịn B () có điểm chung với (S) C () tiếp xúc với (S) D () qua tâm (S)  x  2t  x  1 t '   Câu 31: Phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vng góc chung d1 :  y  t d :  y   t ' làm z4 z    đường kính A  x    ( y  2)   z    B  x    ( y  2)   z  1  C  x    ( y  1)   z    D  x  1  ( y  2)   z  1  2 2 2 2 Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   0, đường thẳng : x y 1   z Mặt phẳng (P) vuông góc với  tiếp xúc với (S )có phương trình là: 2 A x  y  z   x  y  z  16  B x  y    x  y    C x  y    x  y    D x  y  z   x  y  z  16  Trang 14 Trang 386 Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () : x  y  z   0, mp () cắt mặt cầu ( S ) tâm I 1; 3;3 theo giao tuyến đường tròn tâm H  2;0;1 , bán kính r  Phương trình (S) A  x  1  ( y  3)   z    18 B  x  1  ( y  3)   z  3  18 C  x  1  ( y  3)   z  3  D  x  1  ( y  3)   z  3  2 2 2 2 x   Câu 34: Cho mặt cầu ( S ) có tâm I  4; 2;0  bán kính R  104 đường thẳng d :  y   5t  z  8  5t  Mệnh đề sau đúng? A d tiếp xúc với S điểm có tọa độ  2; 4; 8  B d qua tâm S C d S cắt điểm có tọa độ  2; 4; 8   2; 6;  D d S không cắt Câu 35: Đường tròn giao tuyến mặt cầu ( S ) tâm I  3; 1; 4  , bán kính R  mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tâm H đường tròn điểm sau đây? A H 1;1;3 B H 1;1; 3 C H  1;1;3 D H  3;1;1 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình  x  1  ( y  2)   z  3  đường thẳng  : x6 y2 z 2   Phương trình mặt phẳng (P) 3 2 qua H  4;3;  song song với đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S ) là: A x  y  z  19  B x  y  z   C x  y  z  12  D x  y  z  10  Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( P) : x  y  z   0, (Q) : x  y  z   đường thẳng d : x 1 y  z    Một mặt cầu (S ) tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) cắt (Q) theo 1 đường trịn có chu vi 2 Tìm phương trình mặt cầu (S ) có hồnh độ tâm lớn -5 A  x    ( y  1)   z    B  x    ( y  5)   z    C  x  3  ( y  5)   z    D  x    ( y  3)  z  2 2 2 Câu 38: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng () : x  y  z  15  điểm J  1; 2;1 Gọi I điểm đối xứng J qua () Viết phương trình mặt cầu (C) tâm I, biết cắt () theo đường trịn có chu vi 8 Trang 15 Trang 387 A (C ) :  x    ( y  4)   z    25 B (C ) :  x    ( y  4)   z    C (C ) :  x    ( y  4)   z  5  D (C ) :  x    ( y  4)   z    25 2 2 2 2 Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) qua điểm A 1; 2;1 , B  3; 2;3  , có tâm thuộc mặt phẳng ( P) : x  y   0, đồng thời có bán kính nhỏ nhất, tính bán kính R mặt cầu (S) A B C 2 D 2 Câu 40: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x  y  z  x  y  z  m  phương trình mặt cầu A m  14 B m  14 C m  D m  14 x  t  Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1 hai mặt phẳng (P) (Q)  z  t  có phương trình x  y  z   0; x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc hai mặt phẳng (P) (Q) A  x  3  ( y  1)   z  3  B  x  3  ( y  1)   z  3  C  x  3  ( y  1)   z  3  D  x  3  ( y  1)   z  3  2 2 2 2 x  t  Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1 hai mặt phẳng (P)  z  t  (Q) có phương trình x  y  z   0; x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc hai mặt phẳng (P) (Q) A  x  3  ( y  1)   z  3  B  x  3  ( y  1)   z  3  C  x  3  ( y  1)   z  3  D  x  3  ( y  1)   z  3  2 2 2 2  Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) nhận n  3; 4; 5  vecto pháp tuyến (P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) :  x    ( y  1)   z  1  Phương trình mặt phẳng (P) là: 2 A x  y  z  15  x  y  z  25  B x  y  z  15  x  y  z  25  C x  y  z  15  x  y  z  25  D x  y  z  15  x  y  z  25  Trang 16 Trang 388 Câu 44: Trong không gian tọa độ Oxyz gọi (S) mặt cầu qua điểm A  0; 2;1 , B  2;0;1 , có tâm thuộc mặt phẳng ( P) : x  y  z   có bán kính nhỏ nhất, tính bán kính R mặt cầu (S) A R  B R  C R  D R  18 Câu 45: Trong không gian tọa độ mặt phẳng Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z   mặt phẳng () : x  y  z  m  Giá trị m để () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn có diện tích 7 là: A m  3, m  15 B m  3, m  15 C m  6, m  18 D m  Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;8;  mặt cầu (S) có phương trình ( S ) :  x    ( y  3)   z    72 điểm B  9; 7; 23 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A  tiếp xúc với (S) cho khoảng cách từ B đến (P) lớn Giả sử n 1; m; n  vecto pháp tuyến 2 (P) Khi đó: A m.n  B m.n  2 C m.n  Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : D m.n  4 x 1 y z    mặt cầu (S) tâm I 1 1 có phương trình ( S ) :  x  1  ( y  2)   z  1  18 Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A,B Tính diện 2 tích tam giác IAB A 11 B 16 11 C 11 D 11 Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0;6  Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy B, tiếp xúc với Oz C (S) qua A? A  x    ( y  3)   z    61 B  x    ( y  3)   z    61 C  x    ( y  3)   z    61 D  x    ( y  3)   z    61 2 2 2 2 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;1;1 , mặt phẳng () : x  y  z   mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  18  Phương trình đường thẳng  qua M nằm () cắt mặt cầu ( S ) theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ A x  y 1 z 1   2 1 B x  y 1 z 1   2 C x  y 1 z 1   3 D x  y 1 z 1   1 2 Trang 17 Trang 389 1  ;0  mặt cầu ( S ) : x  y  z  Đường thẳng d Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  ; 2  thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S  C S  B S  D S  2 D BẢNG ĐÁP ÁN 1B 2C 3A 4B 5A 6A 7A 8C 9D 10A 11D 12C 13D 14B 15A 16B 17B 18C 19C 20C 21C 22A 23C 24A 25D 26D 27C 28D 29D 30C 31C 32A 33C 34A 35B 36A 35C 38C 39D 40B 41B 42B 43B 44A 45A 46D 47A 48C 49B 50B Trang 18 Trang 390 ... C S dài D 25 0 m  125 m  D BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2A 3B 4B 5D 6A 7D 8B 9B 10D 11B 12B 13C 14B 15A 16B 17C 18D 19D 20 D 21 A 22 D 23 C 24 A 25 D 26 A 27 B 28 B 29 B Trang 195 30D Trang 13 Trang 14 Trang 196... quãng đường là: t2 t2 t1 t2 2  v(t) dt   (10t  t )dt   (10t  t )dt  1 62  t3    5t   3  t2  1 62  5t 22  t23  1 62  t2  Từ ta suy vận tốc lúc chạm đất v(9)  10.9  92  9(m / s... hình  H  (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB 22 0  A D 4 D BẢNG ĐÁP ÁN 98  B 22 4  C 1B 2C 3D 4A 5D 6C 7D 8D 9A 10C 11C 12D 13B 14B 15C 16A 17D 18D 19A 20 B Trang 10 Trang 20 6 CHỦ ĐỀ 19: