Cuốn sách Phân dạng 32 chủ đề quan trọng luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán được biên soạn nhằm cung cấp cho các em các kiến thức trọng tâm thông qua 32 chủ đề. Phần 1 chúng ta sẽ tìm hiểu về 16 chủ đề đầu tiên, các phần đều bao gồm các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện được trích từ các dạng toán hay gặp trong các đề thi THPT Quốc Gia môn Toán. Đi cùng với cuốn sách là 2000 câu hỏi với những bí quyết, thủ thuật kèm theo giúp các em giải nhanh các bài trắc nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo.
CHỦ ĐỀ 1: Bí tìm GTLN, GTNN hàm số A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Khái niệm Giá trị lớn hàm số y = f ( x) miền D M với ọi giá trị x0 ∈ D f ( x0 ) ≤ M Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) miền D m với giá x0 ∈ D f ( x0 ) ≥ m Quy ước: GTLN, GTNN viết tắt giá trị lớn giá trị nhỏ Quy tắc tìm GTLN, GTNN Bước 1: Tìm giá trị tới hạn miền D (là giá trị làm cho f ( x) = cận D) Bước 2: Tính giá trị f ( x) điểm tới hạn Bước 3: So sánh giá trị để tìm GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN máy tính Casio Sử dụng chức MODE với thiết lập Start a End b Step b− a với D = [ a; b] 19 Quan sát bảng giá trị F ( x) để tìm GTLN, GTNN xuất hình máy tính B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Chun HN Amsterdam): Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ y = x4+ 2x2− đoạn [ −1;2] M m Khi giá trị M.m là: A -2 B 46 C -23 D 48 Giải Cách 1: Tự luận 4x = ⇔ x= Tính y ' = 4x3 4x +và y ' = ⇔ 4x( x2 + 1) = 0⇔ x +1= Vì nghiệm ∈ [ −1;2] nên nghiệm nhận Tính f (−1) = , f (0) = , f (2) = 23 Ta có: M = max − { f ( 1); f (0); f=(2)} 23 − m = min{ f ( 1); = f (0); f (2)} −1 Vậy M.m = –23 => Chọn C Cách 2: Casio Vinacal • Sử dụng tính MODE cho hàm số y = x4+ 2x2− với thiết lập Start -1 End Step 19 Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN 23 đạt x = GTLN ≈ −1 đạt x ≈ −0.052 Vậy M.m ≈ −23 => Chọn C Trang Phân tích cách tuyệt vời Khi học nhà nên chọn cách để rèn luyện kiến thức thi nên chọn cách số để tính nhanh Ví dụ (Chuyên Khoa học tự nhiên HN) Hàm số f ( x) = x+ 1− x2 có tập giá trị là: A [ −1;1] B 1; C [0;1] D −1; Giải Cách 1: Tự luận • Tìm tập xác định: − x2 ≤ ⇔ x2 ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Tính y ' = − y ' = ⇔ Vì nghiệm ± x − x2 − x2 − x − x2 = 0⇔ 1 − x2 = x2 1− x2 = x⇔ ⇔ x2= ⇔ x= ± x ≥ 2 2 nhận ∈ [ −1;1] nên nghiệm ± 2 2 Tính f (−1) = = 2, − , f (1) = , f 2 f − =0 2 2 Ta có: max f (−1); f (1); f = f (−1); f (1); f ; f − ; f − − = Vậy −1 ≤ f ( x) ≤ => Tập giá trị f ( x) −1; => Chọn D Cách 2: Casio Vinacal • Sử dụng tính MODE cho hàm số f ( x) = x+ Trang 1− x2 với thiết lập Start –1 End Step 19 Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN ≈ 1.41 ≈ đạt x ≈ 0.68 GTNN = −1 đạt x = −1 Vậy −1 ≤ f (x) ≤ => Chọn D Phân tích Tập giá trị hàm số thường kí hiệu chữ P tập hợp tất giá trị y x thay đổi Vậy ymin ≤ P ≤ Pmax Bình luận Việ tìm điều kiện x ∈ [ −1;1] điều quan trọng tốn tìm GTLN, GTNN Ví dụ (Chun Sư phạm HN) Tìm GTLN hàm số f ( x) = sin x cos2+x [0;π] A max = [0;π] B max = C max = [0;π] [0;π] D max = [0;π] Giải Cách 1: Tự luận Việc tính đạo hàm xét dấu đạo hàm hàm lượng giác sin x,cos2x việc làm khó khăn Vì để đợn giản ta tiến hành đặt ẩn phụ Đặt t = sin x , cos2 −x = − 2sin = x 2t Tiến hành đổi cận x ∈ [0; π] → t ∈ [0;1] • Thay vào hàm ta được: f (t ) = + t − 2t miền [0;1] Tính y ' = −t y ' = ⇔ t = Vì nghiệm ∈ [0;1] nên nghiệm thỏa mãn 1 f (0) = , f = , f (1) = 4 Vậy GTLN f đạt dấu = xảy x = => Chọn D Trang Cách 2: Casio Vinacal Sử dụng tính MODE cho hàm f ( x) = sin x cos2+x với thiết lập Start End π Step Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN ≈ 1.1138 ≈ p 19 đạt x ≈ 0.33 => Chọn D Phân tích Khi tìm GTLN, GTNN hàm lượng giác ta phải chuyển máy tính chế độ Radian SHIFT MODE Khi tiến hành đổi biến ta phải đổi miền giá trị biến cách khảo sát hàm t = f ( x) sin x=với chức MODE Ta thấy rõ ràng t = sin x có giá trị xuất phát từ tăng lên lại giảm ⇒ t ∈ [0;1] Trang Bình luận Việc làm cần thiết đổi cận thông thường x = → t = sin0 =0 x = π → t = sin π = Sẽ khơng tìm miền giá trị xác ẩn phụ Đây hay toán Ví dụ (Chun Lê Hồng Phong) Tìm tất giá trị m để GTNN hàm số y −= x−3 3x+2 mtrên đoạn [ −1;1] A m = m = B m = C m = D m = Giải Cách 1: Tự luận • Tính y−' = 3−x2 6x y ' = ⇔ 3−x( x +2) =0 x = ⇔ x = −2 Vì nghiệm x = ∈[ −1;1] nên ta nhận nghiệm x = • x ≥ Xét y ' ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ y ' ≥ ⇔ Ta thấy qua nghiệm x = dấu y ' đổi từ dương x ≤ qua âm nên x = cực đại hàm số f (0) GTLN hàm số khoảng [ −1;1] Vậy GTNN hàm số [ −1;1] f (−1) =− 2+ m f (1) =− 4+ m Vì −4 + m nhỏ −2 + m nên giá trị nhỏ hàm số phải −4 + m Ta cho −4 + m = tìm m = => Chọn A Cách • Thử giá trị đáp án tìm GTNN tương ứng Đáp án cho GTNN đáp án ta tìm m = GTNN thỏa mãn => Chọn A Phân tích Nếu ta làm trường hợp −2 + m = m −4 + m = ⇒ m = = chọn D sai Cái tinh tế toán việc so sánh −4 + mluôn nhỏ −2 + m Trang 3 Ví dụ (Thukhoa.edu.vn): Hàm số y = x3 −2x2 −x +2 có giá trị lớn 0; bằng: 2 A B C D => Chọn D Ví dụ (THPT Vân Canh): Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = [2;4] là: A vµ 11 B 2 vµ C vµ x2 − x + đoạn x −1 D 2 vµ 11 => Chọn D Ví dụ (THPT Tam Quan): Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = ex ( x2 3) − đoạn [ −2;2] là: A − y = e=khi =x =1 ; max y e2 x B − y = 3=khi x= = ; max y 3e x C − y = 2=e = =x ; max y e2 x D − y = 2=e == x ; max y x => Chọn C Ví dụ (THPT Nguyễn Du): Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện y ≤ 0, x2 + x = y + 12 GTLN GTNN biểu thức K = xy +x +2y +17 bằng: A 10; −6 B 5; −3 C 20; −12 D 8; −5 => Chọn C C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Chuyên Amsterdam - 2018): Gọi giá trị lớn nhỏ hàm số y = x4+ 2x2− đoạn [ −1;2] M m Khi đó, giá trị M.m là: A − C − 23 B 46 D Một số lớn 46 Câu (PTDTNT THCS&THPT An Lão - 2018): Hàm số y = x2 2x− +2x+ x2 −đạt giá trị lớn x1 , x2 Tích x1x2 bằng: A B C D -1 Câu (Chuyên Hạ Long - 2018): Tìm giá trị lớn hàm số y =− x+ 3− A max y = [ −4;−2) B max y = [ −4;−2) nửa khoảng [ −4; −2) x+2 C max y = [ −4;−2) Trang D max y = [ −4;−2) Câu (Chuyên KHTN - 2018): Hàm số f ( x) = x+ A [ −1;1] 1− x2 có tập giá trị C [0;1] B 1; D −1; Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018): Tìm giá trị lớn hàm số y = 2x3 + 3x2 −12x + đoạn [ −1;2] A max y = 11 [ −1;2] B max y = C max y = 15 [ −1;2] [ −1;2] D max y = 10 [ −1;2] Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018): Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ hàm số y −= x−3 3x+2 m đoạn [ −1;1] A m = B m = C m = D m = Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018): Tìm giá trị lớn hàm số y = f ( x) A max y = [ −1;3] = x + 3+ x −trên đoạn [ −1;3] C max y = B max y = 2 [ −1;3] [ −1;3] D max y = [ −1;3] Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018): Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = − x2+ 6x− đoạn [1;5] A vµ B vµ C vµ D vµ − C D 11 Câu (Chuyên Thái Bình - 2018): Giá trị lớn hàm số y = x+ A 2 4− x2 B Câu 10 (THPT Hà Trung - 2018): Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x.ex đoạn [1;2] A max y = 2e2 x∈[1;2] B max y = e2 x∈[1;2] C max y = x∈[1;2] e D max y = e x∈[1;2] Câu 11 (THPT Lục Ngạn Số - 2018): π π Tìm giá trị lớn hàm số y = 3sin x 4sin3−x đoạn − ; 2 A -1 B C D Câu 12 (THPT Lục Ngạn Số - 2018): Hàm số y = 3x3 +4x −1 có giá trị nhỏ [0;2] A B C D Câu 13 (THPT Lý Tự Trọng): Giá trị nhỏ hàm số y = 2cos3 x − A B -24 cos x + 3cos x + là: 2 C -12 Trang D -9 Câu 14 (THPT Minh Hà): − 6x Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = − đoạn [ 0;3] x +1 Tính M + m A 20 B 36 C D 16 Câu 15 (PTDTNT Vân Canh): Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục � có bảng biến thiên −∞ x y’ -1 + −∞ - +∞ + - y −∞ Khẳng định sau sai? A M ( 0;1) gọi điểm cực tiểu hàm số B x = −1 gọi điểm cực đại hàm sô C f ( ±1) = gọi giá trị lớn hàm số D f (1) = gọi giá trị cực đại hàm số Câu 16 (THPT Công nghiệp): Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x x+2 y+2 x− 1.+ A P = −5 C P = B P = 115 D P = Câu 17 (THPT Nghĩa Hưng C): Cho hàm số y = x + A Giá trị nhỏ hàm số ( 0; +∞ ) x B C D Câu 18 (THPT Tam Quan): Giá trị lớn nhỏ hàm số: y = e x ( x 3) trên−đoạn [ −2; 2] A y = −e x=1; max y = e x=2 B y = −3 x=0; max y = 3e x=2 C y = −2e x=1; max y = e x=2 D y = −2e x=1; max y = x=0 [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] [ −2;2] Câu 19 (THPT Trần Quang Diệu): Trang [ −2;2] [ −2;2] Câu 22: Xét I x3 x 3 dx Bằng cách đặt x , khẳng định sau đúng? A I u du 4 B I u du 12 C I Câu 23: Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) u du 16 x D I u du thỏa mãn F Khi phương x2 trình F ( x) x có tổng nghiệm A B Câu 24: Tìm nguyên hàm A sin x C sin x sin x C D C sin x C D sin x C dx Kết B sin x C Câu 25: Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) ln x A F (e) B F (e) C F (e) e Câu 26: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân 2 Câu 27: Cho A I f ( x)dx Tính f 2 B u 1 du 91 D F (e) ln x dx trở thành: 3ln x x A u 1 du 31 ln x F (1) Tính F (e) x C u 1 du u2 1 D du 91 u C I D I x dx x B I Câu 28: Cho f ( x) hàm số chẵn liên tục đoạn 1;1 1 f ( x)dx Kết I 1 f( x) 1 e x dx 1 bằng: A I C I B I m Câu 29: Cho m số thực dương thỏa mãn 7 A m 3; 2 3 B m 0; 2 x 1 x dx D I Mệnh đề sau đúng? 16 3 C m ;3 2 7 D m ;5 2 Trang 16 Trang 168 Câu 30: Cho e dx 1 e a b ln , với a, b số hữu tỉ Tính S a b3 1 x A S B S 2 C S Câu 31: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) C f ( x)dx x ln x f ( x)dx x3 x4 3x C 2x4 A 1 C x Câu 32: Tập hợp nghiệm bất phương trình A ;0 D S B f ( x)dx ln x D f ( x)dx ln x t t 1 B ; f B I B I tdt 1 C D 0; x dx Tính dx x 16 x f ( x)dx D I C I 16 Câu 34: Nếu đặt t x x 16 tích phân I dt A I t 4 dt (ẩn x) 1 C C ; \ 0 Câu 33: Cho hàm số f ( x) liên tục 1; A I trở thành: dt C I t D I tdt e Câu 35: Cho số thực m thỏa mãn m ln t dt 0, giá trị tìm m thỏa mãn điều kiện sau t đây? A 5 m B m 1 C 6 m 4 D m 2 Câu 36: Cho y ' Tính I f (sin x) cos xdx A I Câu 37: B I Cho C I f ( x) hàm liên tục D I thỏa mãn y (1) f (t )dt Tính I sin x f '(s inx)dx A I B I C I D I Trang 17 Trang 169 Câu 38: Nếu 0 xf ( x)dx f cos x sin xdx bằng: A B C y Câu 39: Cho hàm số f ( x) liên tục có A B Câu 40: Nếu sin n x cos xdx A 1 f ( x)dx Tính I f x dx D C D C n 64 B Câu 41: Cho hàm số f ( x) liên tục f (2) 16, A 13 D B 12 0 f ( x)dx Tính I xf '(2 x)dx C 20 D Câu 42: Cho hàm số f ( x) liên tục thỏa mãn f ( x) f ( x) cos x , x Tính I 3 f ( x)dx 3 A I 6 B I C I 2 Câu 43: Cho hàm số f ( x) liên tục tích phân D I f (tan x)dx x f ( x) 0 x dx Tính tích phân I f ( x)dx B I A I C I Câu 44: Cho hàm số f ( x) liên tục thỏa mãn A e B f ( x)dx e f (ln x) dx e Mệnh đề sau đúng? x e f ( x)dx D I C f ( x)dx e D f ( x)dx e Câu 45: Cho y f ( x) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn 6;6 Biết f ( x)dx 1 1 f (2 x)dx Tính I f ( x)dx bằng: Trang 18 Trang 170 A I 11 C I B I Câu 46: Cho biết 1 D I 14 f ( x)dx 15 Tính giá trị P f 3x dx A P 15 B P 37 C P 27 D P 19 Câu 47: Trong tích phân sau, tích phân khơng có giá trị với I x3 x 1dx A t t 1dt 21 Câu 48: Cho x 1 x dx C I a D I a x2 dx a ln 12 b ln 7, với a, b số nguyên Tính tổng a b 4x A -1 B 1 D x 1 t dt B I 4a t 1 Câu 50: Cho C f ( x)dx a Tính I xf ( x 1)dx theo a A I 2a Câu 49: Biết B t t 1dt 21 C D f x 1 xdx Khi I f ( x)dx A 2 B C -1 D D BẢNG ĐÁP ÁN 1A 2C 3A 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10A 11C 12C 13B 14C 15D 16B 17A 18A 19A 20D 21B 22C 23D 24D 25B 26B 27C 28A 29B 30C 31D 32C 33D 34A 35A 36C 37A 38D 39A 40A 41D 42D 43A 44B 45D 46D 47A 48C 49D 50D Trang 19 Trang 171 CHỦ ĐỀ 16 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ CÁC DẠNG LIÊN QUAN A KIẾN THỨC NỀN TẢNG b b Công thức: uv ' dx u.v a u ' vdx b a a Dấu hiệu sử dụng: tích phân chứa hàm với tính chất khác sử dụng phương pháp tích phân phần Ý nghĩa: Đưa tích phân thành phần phức tạp trở tích phân thành phần Phân biệt hàm thường gặp: + Hàm đa thức: a.x bx cx d, ax bx c + Hàm lượng giác: sinax, cosax, tanax,… + Hàm logarit: log a x, ln x, log x, + Hàm siêu việt: ex, ax,… Cách chọn thành phần u : Sao cho u’ suy biến (mất tính chất hàm) Chú ý : Nếu thành phần u , v hàm tuần hồn Đây tích phân lặp Khẩu thứ tự ưu tiên u : Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – tứ mũ B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng : Hàm đa thức + Hàm siêu việt chọn u đa thức Ví dụ 1:(Sở GD-ĐT TP HCM) x Biết F(x) nguyên hàm hàm f x x.e f 1 Tính F(4) B F e 4 A F C F 4e D F 4e Giải Cách 1: Tích phân phần x x x x x2 2 Tìm f x dx ta x 2e 'dx x.2e dx 2e dx 2xe 4e C x x Từ kiện F 1 4 C 1 C F x 2xe 4e Tính F 8e 4e 4e Chọn D Cách 2: Casio x Ta thấy: I x.e dx F F Tính giá trị tích phân I lưu vào phím A Trang Trang 172 Khi ta hiểu A F 4 F F A F 32.55 4e => Chọn D Phân tích x Ta nhận thấy tích phân chứa hàm x có tính chất hàm đa thức hàm e có tính chất hàm siêu việt rõ ràng “tích phân chứa hàm với tính chất” ta chọn phương pháp tích phân phần để xử lý Ví dụ 2: (Chuyên Sơn La) Tích phân x 3 e 2x dx 2x e 2x n C, với m, n Q m Khi tổng m n có giá trị bao nhiêu? A 10 B 65 C D 41 Giải Tiếp tục coi u x v ' e 2x Ta : e 2x 2 2x x 3 e dx x 3 x 3 e2x e2x dx x 3 e2x e2x 'dx 2 2 2 2 C Tiến hành rút gọn F(x) ta thu được: e 2x 2x C Vậy m 4, n m n 65 => Chọn B Bình luận Chú ý thành phần e-2x thành phần v’ v, lỗi mà học sinh thường xuyên mắc phải Khi v ' e 2x ta hiểu v nguyên hàm v’ v e 2x 2 Ví dụ 3: (Chun Quốc Học Huế) Tìm nguyên hàm F(x) f x x 1 e x 3x biết đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trục hoành Trang Trang 173 A F x ex 3x 3e 1 B F x e x 3x e C F x ex 3x e2 D F x ex 3x 1 Giải Ta thấy nguyên hàm chứa eu tiến hành đặt ẩn phụ t u Đặt t x 3x dt x 1 dx Khi x 1 e x 3x dt e t e x 3x dx e C C 3 t Dẫn đến hàm số y F x có dạng y ex 3x C có y ' x 1 e x x y ' Lập bảng x 1 3x biến thiên ta thấy x CT Điểm cực tiểu nằm trục hoành tức y CT e 2 e 2 e x 3x e 2 y 1 C 0C y 3 3 => Chọn A Bình luận Một tốn “Giả tích phân phần”, hàm với tính chất khác ta tính hành đặt ẩn phụ khơng thiết phải tích phân phần Trong trường hợp đặt ẩn phụ nhanh nhiều Dạng 2: Hàm đa thức + hàm lượng giác Chọn u hàm đa thức Ví dụ 4: (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Giá trị tích phân I x cos xdx biểu diễn dạng a2 b a, b Q Khi tích ab bằng: B A 32 C 16 D 64 Giải Hạ bậc cos x Khi I cos2x 2 2 2 1 x cos 2x dx xdx x cos 2xdx I1 I 2 2 I x cos 2xdx x2 Lại có: I1 ' x sin 2x sin 2x cos2x sin 2x x 2 dx dx 2 2 1 1 Vậy I 2 a ; b ab 8 32 => Chọn B Phân tích Trong VD4 ý phải hạ bậc cho cos2x có hàm lượng giác bậc cos2x tìm Trang Trang 174 nguyên hàm v sin 2x cịn cos2x khơng tìm ngun hàm Ví dụ 5: (Chuyên Lam Sơn) Biết x cos x dx a ln Tính P a b b A P B P C P D P Giải Cách 1: Tích phân phần 4 x x s inx ' dx x dx x tan x dx x tan x tan xdx dx I1 Ta hiểu: 2 cos x cos x cosx 0 0 Đặt t cosx dt=-sin xdx I1 2 dt t dt ln t t 2 ln 2 ln ln 2 1 ln 1 ln x ln dx Vậy a 4; b 4 cos x 4 => Chọn C Cách 2: Casio Tính giá trị tích phân x cos x dx lưu vào phím A Khi ta thu : A ln ln ln A b a b b a A a Sử dụng máy tính Casio với chức Mode để tìm a Ta thu X a 4; F X b 4 a b Trang Trang 175 Ví dụ 6: (Chuyên KHTN HN) x sin x cos3 x dx Nguyên hàm A x2 x tan x ln cos x C cos x B x2 x tan x ln cos x C cos x C x2 x tan x ln cos x C cos x D x2 x tan x ln cos x C cos x Giải ' x sin x sin x 2 tan x dx x dx x tan x dx x Ta hiểu: cos3 x dx cos3 x cos x x tan x x tan x x tan xdx x 1 dx 2 cos x x tan x x x2 x dx I1 1 2 cos x cos x I1 tiếp tục có hàm với tính chất khác Tiếp tục sử dụng tích phân phần lần thứ I1 x dx x tan x 'dc x tan x tan xdx x tan x ln cos x C 2 cos x Kết hợp (1) (2) ta : x sin x x2 dx x tan x ln cos x C cos3 x cos x => Chọn D Bình luận Đây tốn khó, ta sử dụng tích phân phần phải sử dụng lần hàm đa thức x2 suy biến hết Vậy ta có tổng kết “tích phân chứa hàm đa thức bậc phải tích phân phần lần” Dạng 3: Hàm đa thức + hàm logarit Chọn u hàm logarit Ví dụ 7: (Chuyên Võ Nguyên Giáp) e Biết ln x dx a be 1 với a, b Z Khẳng định đúng? x A a b B a b 3 C a b D a b 6 Giải Ta chọn u ln x v ' e e đó: x2 e e ' e e ln x 2 2 4 1 1 1 x dx 1 ln x x dx 1 ln x x dx ln x x 1 x x dx e x e Vậy a 2, b 4 a b 6 Trang Trang 176 => Chọn D Bình luận ta nhớ: Nhất lơ – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ Vậy tích phân xuất lơ (loga-rit) đa (đa thức) ta ưu tiên logarit 2lnx chọn thành phần u Ví dụ 8: (THPT Hai Bà Trừng 2) e k Đặt I k ln dx với k nguyên dương Ta có I k e khi: x A k 1; 2 B k 2;3 C k 4;1 D k 3; 4 Giải Khai triển theo cơng thức tích phân phần: e e e e e e k k k k k I k ln dx ln 1dx ln x 'dx x.ln '.x.dx e ln k 1 ln k 1 dx x x x x1 k x 1 1 x e 1 ln k e x e 1 ln k e e 1 ln k e Để I k e e 1 ln k e e 1 ln k 1 ln k ln k ln e k e Vì k nguyên dương k 1; k => Chọn A Bình luận Một tốn cực ảo, nhìn thành phần logarit ln đa thức ln k thực lại thành phần logarit n k k ln Hơn hệ số tự nhìn khơng phải hàm đa thức thực n n hàm đa thức 1.x Ví dụ 9:(THPT Quang Trung) e 1 Kết tích phân I x ln xdx x 1 e2 A e2 B e2 C 4 e2 D 4 Giải e e e 1 Tách tích phân : I x ln xdx x ln xdx ln xdx I1 I x x 1 1 Tính I1 tích phân phần: Trang Trang 177 e ' e e e x2 x2 x2 e2 x e2 x e2 e2 e2 x ln xdx ln x dx ln x dx dx 1 1 1 x 1 2 4 4 1 e e Tính I2 phương pháp đổi biến: Đặt t ln x dt e dx x 1 t2 1 Khi ln xdx tdt x 20 2 1 Tổng hợp I e2 1 e2 4 4 => Chọn C Phân tích Trong tốn nhắc nhỏ tích phân giải phương pháp chứa dấu hiệu Theo dấu hiệu chứa x.lnx tích phân phần cịn chứa , lnx đặt ẩn phụ x C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Sở GD –DT Phú Thọ -2018) Tìm nguyên hàm hàm số f x xe x A f x dx x 1 e x C B f x dx x 1 e x C C f x dx xe x C D f x dx xe x C Câu (THPT TH Cao Nguyên - 2018) Họ nguyên hàm hàm số f x x ln 2x A x2 ln 2x x C B x ln 2x x2 C C x2 ln 2x 1 C D x2 1 ln 2x C 2 Câu (Chuyên Bến Tre - 2018) Tính ln xdx Kết quả: A x ln x C B x ln x x C C x ln x x C D x ln x x C Câu (Chuyên Lê Thánh Tông - 2018) Cho hàm số y x sin 2xdx Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A y ' 24 C y ' 12 B y ' 12 D y ' 6 Câu (Chuyên KHTN - 2018) Tìm nguyên hàm I 2x 1 e x dx A I 2x 1 e x C B I 2x 1 e x C C I 2x 3 e x C D I 2x 3 e x C Câu (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm hàm số y x 1 cosx A F x x 1 sin x cosx+C B F x x 1 sin x cos x C C F x x 1 sin x cos x C D F x x 1 sin x cos x C Trang Trang 178 Câu (Chuyên KHTN HN - 2018) Biết F x ax b e x nguyên hàm hàm số y 2x 3 e x Khi a b A B C D Câu (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm hàm số y e x cosx A e x cos xdx e x sin x cos x C B e x cos xdx e x sin x cos x C C e x cos xdx e x sin x cos x C D e x cos xdx e x sin x cos x C e Câu (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho tích phân I x ln xdx Mệnh đề đúng? e e A I x ln x x ln xdx 1 e 2 1 e e e D I x ln x x ln xdx 1 C I x ln x x ln xdx e e B I x ln x x ln xdx e Câu 10 (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Ta có tích phân I x 1 ln x dx a.e b; với a, b số nguyên Tính M ab a b B M 2 A M 5 C M D M 6 Câu 11 (Sở GD-DT TP HCM - 2018) Cho ln x 1 dx a ln b, a, b Z Tính a 3 b A 25 B C 16 D Câu 12 (Đề Minh Họa - 2018) Cho hàm số f(x) thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 2f 1 f Tính f x dx A I 12 C m B I Câu 13 (Chuyên Phan Bội Châu - 2018) Biết rang I e D I 8 3x 1 dx a e , với a, b số thực thỏa b mãn a b 2 Tính tổng S a b A S 10 B S C S D S Câu 14 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Tính giá trị K x ln 1 x dx A K ln B K ln C K ln D K ln Trang Trang 179 Câu 15 (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh - 2018) Giá trị tích phân I x.cos xdx biểu diễn dạng a.2 b a, b Q Khi tích a.b A B 32 C 16 D 64 Câu 16 (Chuyên Lê Quý Đôn - 2018) Biết x cos 2xdx a b, với a, b số hữu tỉ Tính S a 2b A S C S B S 1 D S Câu 17 (THPT Hà Huy Tập – 2018) Kết phép tính tích phân ln 2x 1 dx biểu diễn dạng a.ln b , giá trị tích A B ab3 D C x Câu 18 (Chuyên ĐHSP HN - 2018) Tập hợp nghiệm phương trình sin 2tdt (ẩn x) A k k Z B k k Z C k k Z D k2 k Z Câu 19 (Chuyên KHTN HN - 2018) Với số nguyên a, b thỏa mãn 2x 1 ln xdx a ln b Tính tổng P a b A P 27 B P 28 C P 60 D P 61 Câu 20 (THPTQG nắm 2017 – Mã đề 110) Cho F x x 1 e x nguyên hàm hàm số f x e 2x Tìm nguyên hàm hàm số f ' x e 2x 2x x e C A f ' x e 2x dx x e x C B f ' x e 2x dx C f ' x e 2x dx x e x C D f ' x e 2x dx 2x e x C Câu 21 (THPTQG năm 2017 – Mã đề 103) Cho F x f x nguyên hàm hàm số x 3x Tìm nguyên hàm hàm số f’(x)lnx A f ' x ln xdx ln x C x 5x B f ' x ln xdx ln x C x 5x C f ' x ln xdx ln x C x 3x D f ' x ln xdx ln x C x 3x Trang Trang 180 Câu 22 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Lần 1) Cho hàm số y x sin 2xdx Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A y ' 24 C y ' 12 B y ' 12 D y ' 6 Câu 23 (Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hàm số f(x) liên tục đoạn 1;e , biết e f x 1 x dx 1, f e Ta có I 1 f ' x ln xdx e A I C I B I D I e Câu 24 (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Ta có tích phân I x 1 ln x dx ae b, với a, b số nguyên Tính M ab a b A M 5 B M 2 C M D M 6 e Câu 25 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp Lần - 2018) Biết ln x dx a be 1 , với a, b Z x Chọn khẳng định khẳng định sau: A a b B a b 3 C a b D a b 6 Câu 26 (THPT Quảng Xương – Lần - 2018) Biết 1 x cos 2xdx a b a, b Z * Giá trị tích ab A 32 B C D 12 a Câu 27 (THPT Chuyên KHTN – Lần - 2018) Nếu xe dx giá trị a x A B C D e Câu 28 (THPT Tiên Lãng – Lần - 2018) Kết tích phân I 2x 3 e x dx viết dạng I ae b , với a, b số hữu tỉ Tìm khẳng định A a b B a b3 28 C ab D a 2b Câu 29 (THPT Lạng Giang – Lần - 2018) Tích phân x cos 2x dx a b ln 2, với a, b số thực Tính 16a 8b A B C Câu 30 (THPT Lê Hồng Phong – Lần - 2018) Tính D x sin x cos xdx Kết A B 3 C 3 D Trang 10 Trang 181 D BẢNG ĐÁP ÁN 1B 2D 3D 4C 5A 6B 7B 8A 9D 10C 11C 12D 13A 14B 15D 16A 17D 18A 19C 20C 21B 22C 23D 24C 25D 26A 27B 28D 29A 30D Trang 11 Trang 182 ... g (1) D BẢNG ĐÁP ÁN Trang 10 Trang 22 1B 2D 3D 4D 5A 6B 7B 8A 9B 10 B 11 B 12 D 13 D 14 D 15 C 16 D 17 D 18 D 19 A 20A 21D 22B 23D 24B 25B 26A 27C 28C 29D 30B 31A 32A 33A 34D 35A Trang 11 Trang 23 CHỦ... y = ? ?1 D max y = D BẢNG ĐÁP ÁN 1C 2D 3D 4D 5C 6A 7B 8A 9A 10 D 11 B 12 A 13 D 14 A 15 C 16 C 17 A 18 C 19 C 20C 21C 22C 23B 24D 25B 26B 27C 28C 29B 30D 31B 32A 33A 34C 35A 36B 37D 38C 39A Trang 12 CHỦ ĐỀ... m A m ? ?1 D BẢNG ĐÁP ÁN 1B 2B 3B 4B 5C 6B 7C 8C 9C 10 B 11 B 12 A 13 D 14 D 15 A 16 A 17 D 18 C 19 B 20C 21A 22A 23D 24D 25D 26C 27C 28D 29C 30C 31B 32D 33B 34C 35D 36C 37A 38D 39A 40C 41B 42A 43D 44C