Sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Hình học: Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia - Phần 1

Cuốn sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tập 2: Hình học là sản phẩm của đội ngũ giáo viên đầy nhiệt huyết của CCBook. Sách bao gồm kiến thức 3 lớp 10, 11,12 với mong muốn hỗ trợ học sinh ôn thi THPT đạt điểm số môn Toán cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia. Phần 1 chúng ta sẽ tìm hiểu về phần hình học lớp 12. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Ứng dụng phương pháp tọa độ tốn hình chóp Phương pháp giải Cách chọn hệ trục tọa độ: - Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đôi vuông góc - Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạnh đó, theo giả thiết toán Một số cách chọn hệ trục tọa độ:  Tứ diện  Hình chóp đáy tứ giác lồi Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA  OB  a;OC  2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC bằng: A 2a B 2a 5 C 2a D 2a Hướng dẫn Gắn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Trang 153 Trang 155 a a  O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0;a;0  , C  0;0; 2a  , M  ; ;0  2      a a  AC  a;0; 2a  , OC  0;0; 2a  , OM   ; ;0  2    a OM, AC    a; a;      2   a 3a OM, AC   a   a 2       2       OM, AC  OC  a  OM, AC  OC  a     Khoảng cách hai đường thẳng    OM, AC  OC a 2a   d  OM, AC       3a OM, AC    OM AC → Chọn A Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với AB  6a, AC  7a, AD  4a Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP là: A a B 14a C 28 a D 7a Hướng dẫn Do AB; AC; AD đơi vng góc với chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ Chọn a = 1, ta có tọa độ điểm: A  0;0;0  , B  0;6;0  , C  7;0;0  , D  0;0; 4 Khi để tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A; M; N; P M; N; P trung điểm BC; CD; BD ta có tọa độ đỉnh sau: 7  M trung điểm BC nên có tọa độ M  ;3;0  , 2  7  N trung điểm CD nên có tọa độ N  ;0;  , 2  P trung điểm BD nên có tọa độ P  0;3;         AM   ;3;0  , AN   ;0;  , AP   0;3;  2  2    21    21  AM, AN    6; 7;   ;  AM, AN  AP  3.7   42      2 Tính thể tích V tứ diện AMNP là:    V   AM, AN  AP  Thay a = vào đáp án, ta thấy đáp án D đáp án → Chọn D Trang 154 Trang 156 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA   ABCD  SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) B a A a C a D a 2 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AS Khi đó:  a  A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , M  0;0;a  , N  0; ;a        Ta có: BC   0;a;0  , BM   a;0;a    BC, BM    a ;0;a  Mặt phẳng (BCM)    n   BC, BM   1;0;1 a có vectơ pháp tuyến Phương trình (BCM) là: x + z – a = Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) là: d  A,  BCM    a 12  12  a → Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác mp  SAD   mp  ABCD  Gọi M, N, P, K trung điểm DC, BC, SB, SD Tính khoảng cách hai đường thẳng MK AP A a 10 B a 10 C a D a 12 Hướng dẫn Gọi O trung điểm AD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: a   a   a   a   A  0;  ;0  , B  a;  ;0  , C  a; ;0  , D  0; ;0           a 3 a a  N  a;0;0  ,S  0;0;  , M  ; ;0    2    a a 3 a a a 3 K  0; ;  , P  ;  ;   4  2 4    a a a  a MK    ;  ; 2;1;     4     Đường thẳng MK có vectơ phương a  2;1;    Trang 155 Trang 157   a a a  a AP   ; ;   2;1; 4      Đường thẳng AP có vectơ phương b  2;1;       3a a  Ta có: a, b   3; 4 2;0 , AK   0; ;   4     a, b  AK 3a 3a   Vậy d  MK; AP       15 a, b      → Chọn A Bài tập tự luyện Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 45 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a 3 Đáp án 1-B 2-A Dạng 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ tốn hình lăng trụ Bài tập tự luyện Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M N trung điểm AD BB’ Tính thể tích khối tứ diện A’CMN A a3 B a3 C a3 16 D a3 32 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có: A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , A '  0;0;a  , B'  a;0;a  , C '  a;a;a  , D '  0;a;a  Thể tích khối tứ diện A’CMN là:    V   A ' N, A ' M  A 'C Ta có: Trang 156 Trang 158 a   a    a    a    N  a;0;  , M  0; ;0   A ' N   a;0;   , A ' M   0; ; a  , A 'C   a;a; a  2   2        a    a a3 a2    A ' N, A ' M    ;a ;   A ' N, A ' M  A 'C   a   a 4 2  3 a3 Vậy thể tích khối tứ diện A’CMN là: V  a  → Chọn B Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân, AA '  2a, AB  AC  a Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ I tâm hình chữ nhật AA’B’B Tính khoảng cách hai đường thẳng IG G’C, biết hai đường thẳng song song với A 2a 41 B a 41 C 3a 41 D 4a 41 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A  O  0;0;0  Khi tọa độ điểm là: a a  a a  a  B  a;0;0  , C  0;a;0  , A '  0;0; 2a  , B'  a;0; 2a  , C '  0;a; 2a  , G  ; ;0  , G '  ; ; 2a  , I  ;0;a  3  3  2  ( I I’ trung điểm AB’ A’B)   a a    a 2a    a 2a   IG    ; ; a  , G 'C    ; ; 2a  , GC    ; ;0     3   3    G 'C, GC    d  IG, G 'C   d  G, G 'C    G 'C    4a 2a  Ta có G 'C, GC    ; ;0    Vậy d  IG, G 'C   2a 41 → Chọn A Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc đường thẳng OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng (MC’D’) (MAB) bằng: A 13 65 B 85 85 C 17 13 65 Trang 157 D 85 85 Trang 159 Hướng dẫn Khơng giảm tính tổng qt, giả sử cạnh hình lập phương Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cho gốc tọa độ trùng với điểm B’ Khi đó, C '  6;0;0  , D '  6;6;0  , M  3;3;1 , A  0;6;6  , B  0;0;6    MC'  3; 3; 1 , MD '   3;3; 1 Suy vectơ pháp tuyến (MC’D’) là:    n1   MC', MD '   6;0;18   1;0;3    MA  3;3;5 , MB   3; 3;5 Suy vectơ pháp tuyến (MAB) là:    n1   MA, MB   30;0;18    5;0;3  Gọi  góc hai mặt phẳng (MC’D’) (MAB), ta có   n1.n 14 cos =    340 n1 n Vậy sin    cos   85 85 → Chọn B Bài tập tự luyện Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) A a 13 B 13a 13 C 3a 13 D a 13 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  AD  a, AA '  b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M A V  a 2b B V  a 2b C V  a 2b D V  a 2b 16 Đáp án 1-C 2-B Phần 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là: A 10 B 5 10 C D 10 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC) A a2 16 B a 10 16 C a 10 32 Trang 158 D a2 32 Trang 160 Câu Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh AB  AD  a, AA'= a   60 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Tính khoảng cách hai góc BAD đường thẳng A’C MN A a 15 10 B a 15 C a 15 20 D a 15 15 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, có AA1  2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1 Lấy điểm M di động AA1 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MC1D A SMC1D  3a B SMC1D  5a C SMC1D  a 42 D SMC1D  a 15 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a mặt phẳng (C’AB) hợp với mặt đáy (ABC) góc   0    90  Tìm  để hai mặt phẳng (ABC’) (A’B’C’) vng góc với A   90 B   60 C   45 D   30 Câu Cho tứ diện S.ABC có SC  CA  AB  a 2,SC   ABC  , tam giác ABC vuông A Các điểm M  SA, N  BC cho AM  CN  t   t  2a  Tính t để MN ngắn A t  a B t  2a C t  a D t  a Câu Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA  4, AC  3, BC  Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính góc  tạo hai mặt phẳng (SHB) (SBC) A   8235'57 '' B   97 24 ' '' C   6330 ' D   1514 '13'' Câu Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD hình thang vng A B, AB  BC  a, AD  2a Gọi E, F trung điểm AD SC Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE A I  a; 2a;3a  , R    a 11  C I 2a;a 2;a , R   B I a;a 2;a , R  a 11 a 11  a 3a 3a  D I  ; ;  , R  2 2  a 11 Đáp án: 1-D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B Trang 159 7-A 8-D Trang 161 PHẦN 2: LỚP 10 & 11 162 CHƯƠNG VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa véc tơ Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối   A Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu: AB a     Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, B  Vectơ – không vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vec tơ phương, hướng, hai vec tơ Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ    Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu AB Ta có AB  AB Hai vectơ có giá song song trùng gọi vectơ phương Hai vectơ hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ Hai vectơ phương chúng hướng độ dài Chú ý: Vectơ – không hướng với vectơ Các quy tắc vec tơ    Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta có AB  AC  CB    Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành ta có: AC  AB  AD    Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điểm bất kì: 2MI  MA  MB     Quy tắc trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC: GA  GB  GC      3MG  MA  MB  MC (M điểm bất kỳ)    Quy tắc tam giác hiệu hai vectơ: với ba điểm A, B, C ta có: AB  CB  CA        Vec tơ đối vectơ a kí hiệu a Đặc biệt a  a  0, AB   BA   PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho điểm khơng thẳng hàng, xác định vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm trên? A 21 B 42 C 12 D Hướng dẫn Lấy điểm điểm ta đoạn thẳng, có C27  21 đoạn thẳng Trang 160 Trang 163   Mỗi đoạn thẳng tạo thành vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB tạo hai vectơ AB BA Vậy số vectơ tạo 2C27  42 → Chọn B Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳng định sau sai?         A MN  QP B QP  MN C MQ  NP D MN  AC Hướng dẫn MN / /PQ Ta có  (do song song AC ) MN  PQ Nên MNPQ hình bình hành       Do MN  QP, QP  MN , MQ  NP đáp án     Đáp án MN  AC sai MN  AC → Chọn D Bài tập tự luyện Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ khơng, phương với có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác là: A B C D Câu Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng?         A MN CB B AB MB C MA MB D AN CA Câu Hai vectơ gọi khi: A Giá chúng trùng độ dài chúng B Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác D Chúng hướng và độ dài chúng Đáp án: 1–B 2–B 3–D Dạng 2: Các phép toán vectơ Ví dụ minh họa     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  Mệnh đề sau đúng? A M trung điểm BC B M trung điểm AB C M trung điểm AC D ABMC hình bình hành Hướng dẫn          MA  MB  MC   MA  MB  MC  BA  MC Trang 161 Trang 164 Hướng dẫn Bước 1: AD  CD D CD  AD Bước 2:   CD   SAD  CD  SA Bước 3: Kẻ AH  SD AH  SD  AH   SCD  Bước 4:  AH  CD CD  SAD        Do d A,  SCD   AH Xét tam giác vuông SAD, đường cao AH, ta có: 1 1    2  2 2 AH SA AD a  2a  4a   d A,  SCD   AH  2a 5 → Chọn C Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AD  AC  4; AB  3; BC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) A 34 17 B 34 17 C 34 17 D 34 17 Hướng dẫn Cách 1: Bước 1: Kẻ AE  BC E AE  BC Bước 2:   BC   AED  BC  AD Bước 3: Kẻ AH  DE AH  DE  AH   DBC Bước 4:  AH  BC BC   ADE    Do AH  d A;  DBC    Ta có ABC vng A, nên 1 1 25      2 16 144 AE AB AC AH đường cao tam giác ADE nên ta có: 1 1 25 17 34       AH  2 16 144 72 17 AH AD AE   Vậy d A;  DBC   34 17 Trang 344 Trang 347 Cách 2: Ta thấy AD; AB; AC đôi vng góc với nên tứ diện ABCD tứ diện vng Vì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) tính theo cơng thức  d A;  DBC      1 1 1    2 2 2 2 AD AB AC 4  d A;  DBC   34 17 → Chọn A Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ba kích thước AB  a, AD  2a, AA1  3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A1BD  bao nhiêu? A a B a C a D a Hướng dẫn Bước 1: Kẻ AH  BD H BD  AH Bước 2:   BD   A1AH  BD  AA1 AA1   ABCD    Bước 3: Kẻ AK  A1H AK  A1H  AK   A1BD  Bước 4:  AK  BD BD   A1AH      Do d A,  A1BD   AK Ta có 1 1 1   mà   2 2 AH AB AD2 AK AH A1A Do 1 1 1 49     2 2  2 2 AK AB AD A1A a 4a 9a 36a2 6 Vậy AK  a hay d A,  A1BD   a 7   → Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy 2a chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên: A a B 2a C a 10 D a Hướng dẫn Hình chóp tam giác S.ABC nên SO   ABC  Bước 1: Kẻ OM  AB M Trang 345 Trang 348 AB  OM  AB   SOM  Bước 2:  AB  SO SO   ABC    Bước 3: Kẻ OK  SM K OK  SM  OK   SAB  Bước 4:  OK  AB AB   SOM      Do d O;  SAB  OK Ta có tam giác ABC nên CM  2a a 1 a OM  CM  a  3 SO chiều cao nên SO  a Xét tam giác vuông SOM vng O, đường cao OK, ta có: 1 1     2 2 OK OM SO a 3 a           Vậy d O;  SAB  a  OK  a 10 10 → Chọn C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình vng cạnh a Góc tạo SB đáy 300 Khoảng cách từ AB đến (SCD) bằng: A 2a B a C a D a Hướng dẫn Vì AB / /CD nên AB / /  SCD  ,    d AB;  SCD   d A;  SCD   Bước 1: AD  CD D CD  AD Bước 2:   CD   SAD  CD  SA Bước 3: Kẻ AH  SD H AH  SD  AH   SCD  Bước 4:  AH  CD CD   SAD        Do d AB;  SCD   d A;  SCD   AH Trang 346 Trang 349 Góc tạo SB đáy: SB   ABCD   B SA   ABCD   Do SB;  ABCD   SBA  30 SA a  SA  AB.tan 300  AB Xét tam giác SBA vng A, ta có: tan 300  Xét tam giác vng SDA, đường cao AH, ta có: 1 1      2 2 AH SA AD a a 3 a           Vậy d AB;  SCD   d A;  SCD   AH  a → Chọn C   600 Đường thẳng Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD SO vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SO  A a B 3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: 3a C 3a D 3a Hướng dẫn Ta có ABD BCD cạnh a AC cắt (SBC) C, O trung điểm AC Vì AO   SBC   C nên ta có:  d A,  SBC  AC    d  O,  SBC  OC   d A,  SBC   AC d O,  SBC   2d O,  SBC  OC     Bước 1: Kẻ OH  BC H Bước 2: BC  OH  BC   SOH   BC  SO SO   ABCD    Bước 3: Kẻ OK  SH OK  SH  OK   SBC  Bước 4:  OK  BC BC   SOH      Do d O,  SBC   OK Trang 347 Trang 350 Xét OBC vng O có OH đường cao, ta có: 1   2 OH OB OC2 Xét SOH vng O có OK đường cao, ta có: 1 1 1 1 64          2 2 2 2 2 OK OH SO OB OC SO 9a  a   a   3a  2    4        OK  3a   Vậy d A,  SBC   2OK  3a → Chọn D Bài tập tự luyện Câu (ID:18902) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có tất cạnh a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bao nhiêu? a A B a C a D a Câu (ID:18906) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị giá trị sau? A a C a B 2a D a Câu (ID:18947) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, tâm O có tất cạnh a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD) bao nhiêu? A a B a a C D a Câu (ID:18960) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  AA '  a, AC  2a Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD') là: A a B 2a C a 21 D a 21 Đáp án: 1–A 2–D 3–C 4–D Dạng 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải Cách dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Khi a  b Trang 348 Trang 10 351 Dựng mp  P   b,  P   a H Trong  P  dựng HK  b K Đoạn HK đoạn vng góc chung a b Cách 2: Dựng  P   b,  P  / /a Lấy M  a dựng đoạn MN   P  , lúc a' đường thẳng qua N song song a Ta a' hình chiếu vng góc a lên mặt phẳng  P  Gọi H  a  b , dựng HK / /MN  HK đoạn vng góc chung cần tìm Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao a, hai mặt phẳng  SAB  SAD  vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD A a B a C a D a Hướng dẫn  SAB   ABCD    SA   ABCD   SAD    ABCD    SAB   SAD   SA Gọi O  AC  BD , kẻ OH  SC, H  SC (1) BD  AC Ta có   BD   SAC   BD  OH (2) BD  SA Từ (1) (2) ta có OH đường vng góc chung SC BD  d  SC,BD   OH Do ABCD hình vng nên AC  a Trang 349 Trang 11 352 Kẻ AK  SC, K  SC Ta có 1 1    2 2 AK SA AC a a OH  1 a a AK   2   Vậy d  SC,BD   OH   a  AK  2a a 6 → Chọn C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SD  a 2, SA  SB  a , mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC SD A a B 5a C a D 3a Hướng dẫn Theo giả thiết  ABCD    SBD  theo giao tuyến BD Do dựng AO   SBD  O  BD Mặt khác AS  AB  AD  OS  OB  OD hay SBD tam giác vuông S BD  SB2  SD2  a2  2a2  a 3a2 a  AO  AB2  OB2  a2  Trong SBD dựng OH  SD H (1)  H trung điểm SD Theo chứng minh AO   SBD   AO  OH Từ (1) (2) chứng tỏ OH đoạn vng góc chung AC SD a Vậy d  AC,SD   OH  SB  2 → Chọn C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D SA vng góc với đáy SA  AD  a Tính khoảng cách AB SC A a B a C a D a Hướng dẫn Ta có: AB / /DC nên AB / /  SCD  , đó: Trang 350 Trang 12 353    d  AB,SC   d AB,  SDC   d A,  SCD   Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ AH  SD, H  SD (1) Ta có: DC  AD    DC   SAD   DC  AH (2) DC  SA  Từ (1) (2) suy AH   SCD    AH  d AB,  SDC   d  AB,SC  Xét tam giác SAD vuông A, ta có: 1 1 a       AH  2 2 AH SA AD a a a Vậy d  AB,SC   a 2 → Chọn B Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác ABC cân A có AB  AC  2a ; BC  2a Tam giác A'BC vuông cân A' nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) Khoảng cách đường thẳng AA' BC là: A a B a C a D a Hướng dẫn Gọi H trung điểm cạnh BC  AH   ABC   AH  HC HC  HA ABC cân A  AH  HC   HC  HA  HC   AAH   BC   AAH  Kẻ HP  AA  P  AA   BC  HP HP đường vng góc chung AA' BC  d  AA,BC   HP Xét ABC vuông cân A  AH  BC a Cạnh HA  AB2  BH  4a2  3a2  a Xét AHA vuông cân H, đường cao HP, ta có: 1 1 a       HP  2 2 HP AH HA 3a a 3a Trang 351 Trang 13 354 a Vậy d  AA,BC   → Chọn D Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a 3, BC  2a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng AM B'C biết AA  a A a 10 10 B a C a 30 10 D 2A Hướng dẫn Gọi N trung điểm BB' suy MN//B'C    Do d  AM,BC   d BC,  AMN   d C,  AMN      Mà M trung điểm BC nên d B,  AMN   d C,  AMN   Ta có BA, BM, BN đơi vng góc với Nên  d B,  AMN  Mặt khác BM  Suy    BC a  a, AB  a 3,BN  BB  2 d B,  AMN    1   2 BA BM BN  d B  AMN     1  a a     a     2  10 3a2 a 30 a 30  d  AM,BC   10 10 → Chọn C Bài tập tự luyện Câu (ID:18905) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC  a , BC  a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách SD BC A 2a B a C 3a D a Câu (ID :18927) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Khoảng cách đường thẳng BC' CD' là: A a B a C a D a Câu (ID :18963) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với đáy (ABCD), SA  a Khoảng cách đường thẳng SC BD bao nhiêu? A a B a C a Trang 352 D a Trang 14 355 Đáp án: 1–D 2–B 3–A Dạng 4: Tính khoảng cách phương pháp sử dụng thể tích Phương pháp giải Ta có hình chóp S.ABC, việc tích thể tích khối chóp thực dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC)), ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE Vì thể tích hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm  S, A, B, C  đỉnh ta biết diện tích khoảng cách cần tìm CE  3V SSAB Phương pháp tính CE gọi phương pháp tính thể tích lần Chú ý: Khi áp dụng phương pháp ta cần nhớ công thức tính diện tích tam giác hay sử dụng: SSAB  p  p  a  p  b  p  c  với p nửa chu vi a, b, c kích thước cạnh Ví dụ minh họa  Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC  30 ; SBC tam giác cạnh a nặt bên SBC vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ C đến (SAB) A a 39 13 B a 39 39 a 13 13 C D a 13 39 Hướng dẫn Gọi E trung điểm BC SE   ABC  SE  Ta có BC  a  AB  a a a ; AC  thể tích khối chóp là: 2 3a a a a VS ABC   2 2 16 Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích SAB  a   a 2 a 2 ; SB  a; SA  SE  EA   Ta có: AB          Trang 353 Trang 15 356 Áp dụng công thức Heron ta được: 39 a 16 SSAB  p  p  SA  p  SB  p  AB   với p  aa  a  Vậy d C,  SAB  3VS.ABC a 39  SSAB 13 → Chọn A 3a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD  A a B 2a C a D 4a Hướng dẫn Gọi E trung điểm AB SE   ABC  , dùng định lý Pitago ta tính SE  a Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) Ta quan sát hình chóp S.ADB tích 1 1 VSABD  SE.SABD  a2 a  a3 3 Ta có BD  a 2; SD  3a ; SB  a 2 Áp dụng công thức Heron ta được: SSBD  p  p  SB p  SD  p  BD   với p  a 2  a 3a  a 2  Vậy d A,  SBD   3VS.ABD SSBD a3 2a  62  a → Chọn B Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' lên (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A'C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ B đến (ACC'A') Trang 354 Trang 16 357 A a 13 B 3a 13 C a 13 13 D 3a 13 13 Hướng dẫn Gọi E trung điểm AB  A' E  ( ABC ),60  ( A' C , ( ABC ))  A' CE Ta có CE  a (đường cao tam giác đều)  AE  tan 600.CE  Ta cần tính khoảng cách từ B đến (ACC'A') tức từ B đến (AA'C) Khối chóp A'.ABC tích là: 3a a2 a3 VA.ABC   2 a 3  a 10 CE Ta có AC  a; AA      a   ; AC  a cos600 2 2  Áp dụng công thức Heron ta được: SAAC  p  p  AA  p  AC  p  AC       Vậy d B,  ACCA   d B,  AAC   39 a với p  a a 10 a 2 3VA.ABC 13  a SAAC 13 → Chọn D  Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AC  a 3; BC  3a; ACB  30 Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng  ABC    ABC  Điểm H  BC,BC  3BH mặt phẳng  AAH    ABC  Tính theo a khoảng cách từ B đến (A'AC) A 3a B a C 3a D a Hướng dẫn Ta có:  AAH    ABC    AH   ABC   ABC    ABC    AAH    ABC   AH   Khi góc cạnh bên A'A mặt đáy  ABC  A' AH tức A' AH  60 Trang 355 Trang 17 358 Ta lại có: AH  AH  CA  2CH.CA.cos300  a AH  AH.tan 600  a Thể tích khối lăng trụ là: 1  9a3 VABC.ABC  a  3a 3a.sin 300   2  Khối chóp A'ABC thể tích AH  2a; AC  cos600  2a 3a VAABC  VABC.ABC  có là: Ta tính diện tích AAC Ta có: AC  a 3; AA     a a Diện tích AAC là: SAAC  p  p  AA  p  AC  p  AC   a2 với p    Vậy d B,  AAC   a  2a  a 3VA.ABC 3  a SAAC → Chọn A Bài tập tự luyện Câu (ID:19090) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Các cạnh bên SA  SB  SC  SD  a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB là: A a B a 42 C a D a  Câu (ID:19058) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD  60 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SO  3a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là: A a B 3a C 3a D a Đáp án: 1–C 2–C PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu (ID:18900) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Qua điểm cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước B Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đơi Khi ba đường thẳng nằm ba mặt phẳng song song với đôi Trang 356 Trang 18 359 C Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại D Qua điểm cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu (ID:19080) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng C Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng D Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng Câu (ID:18904) Cho mặt phẳng  P  điểm M  P  , khoảng cách từ M đến  P  Lấy A thuộc  P  N AM cho 2MN  NA Khoảng cách từ N đến  P  bao nhiêu? A B C D Câu (ID:18915) Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  bao nhiêu? A 2a B a C 3a D a Câu (ID :18924) Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a bằng: A 2a B a C a D 2a Câu (ID :18945) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có ba kích thước AB  a, DA  b, AA '  c Trong kết sau kết sai? A Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABD  a  b  c2 a2  b B Khoảng cách hai đường thẳng BB' DD' C Khoảng cách hai đường thẳng AB CC' b D độ dài đường chéo BD' a  b  c2 Câu (ID :18946) Cho hình lăng trụ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H A mặt phẳng  ABC  thuộc đường thẳng BC Khoảng cách hai đường thẳng AA BC là: A a B a C a D a Câu (ID:18955) Cho hình thang vng ABCD vng A D, AD  2a Trên đường thẳng vng góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DC (SAB) Trang 357 Trang 19 360 A a B a C a D 2a Câu (ID :18959) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh bên hợp với đáy góc 600 , đáy ABC tam giác cạnh a A' cách A, B, C Tính khoảng cách hai đáy hình trụ B a A a C 2a D a Câu 10 (ID :18983) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600 Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  A1B1C1  trung điểm B1C1 Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? A a B a C a D a Câu 11 (ID :19043) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy  Khoảng cách từ tâm đáy đến mặt bên bằng: A a cos B a tan  C a sin  D a cot  Câu 12 (ID :19088) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  AA '  a, AC  2a Tính khoảng cách AC' CD': A a B a C a D a 30 10 Câu 13 (ID:19061) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB  SA  2a Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bao nhiêu? A a B a C a D a Đáp án: 1–C 2–A 3–A 11 – C 12 – D 13 – B 4–B 5–B 6–A Trang 358 7–A 8–D 9–A 10 – A Trang 20 361 ...    a 11  C I 2a;a 2;a , R   B I a;a 2;a , R  a 11 a 11  a 3a 3a  D I  ; ;  , R  2 2  a 11 Đáp án: 1- D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B Trang 15 9 7-A 8-D Trang 16 1 PHẦN 2: LỚP 10 & 11 16 2 CHƯƠNG... n1.n 2 .1  1. 1 3 10 cos  ? ?1 ,    cos n1 , n       10 10 n1 n 22  12 12  12    Chọn C Trang 2 01 Trang 11 204 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với A  3;3 , B  ? ?1;  , C  4 ;1? ??...  13 4   Chọn C x   t Ví dụ 7: Tìm cơsin góc hai đường thẳng ? ?1 :10 x  5y    :  y   t A 10 B 10 10 C 10 10 D  10 10 Hướng dẫn   Vectơ pháp tuyến ? ?1  n1   2 ;1? ?? n  ? ?1; 1