Đề khảo sát chọn đội tuyển HSG 12 môn Toán năm học 2019-2020 - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa

Đề khảo sát chọn đội tuyển HSG 12 môn Toán năm học 2019-2020 - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa là tài liệu ôn tập môn Toán dành cho các thầy cô giáo và các em học sinh giỏi môn Toán năm học lớp 12 giúp các bạn học sinh vừa ôn tập lại kiến thức vừa trau dồi các kỹ năng làm bài sao cho đạt hiệu quả cao nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA (Đề gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2019 - 2020 Thời gian làm 180 phút Câu (4 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  x  mx   m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Câu (6 điểm) a Giải phương trình: sin x  cos x    sin x.cos x  sin x  cos x   x3   y   x  xy  b Giải hệ phương trình:   x  x  y   Câu (4 điểm) Cho dãy số  un  Đặt S n  2020  u1  xác định  , n  * 2019 2u  u  2u  n 1 n n 1 Tính lim Sn    u1  u2  un  Câu (4 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng  SMN  vng góc với mặt phẳng  ABC  Đặt AM  x, AN  y a Chứng minh x  y  xy b Tìm x , y để SMN có diện tích bé nhất, lớn Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P abc abc  3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  x  mx   m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x3  x  mx   m  (1) có nghiệm phân biệt 1,0 x3  x  mx   m   ( x  1)( x  x  m  2)  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  x  x  m   (2) có hai nghiệm phân  '   m  biệt khác    m  (*) 1   m   1,0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (2), suy tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm A, B, C là: 1,5 y '(1)  y '( x1 )  y '( x2 )  3( x1  x2 )  x1 x2  6( x1  x2 )  3m    3m Tổng HSG tiếp tuyến   3m   m  (t/m đk (*)) 0.5 ĐS: m  Giải phương trình: sin x  cos x    sin x.cos x  sin x  cos x  a 1,0    2cos x   sin 2x  2cosx -1  s inx  2cosx -1    cos2x =    sin 2x.cosx - sin2x   2cosx -1 sin x - sin2x  2cosx - 2 1,0    2cosx +1   2cosx -1   1  cosx =    s inx + cosx   2sinx.cosx - = + (1)  x   + (2)  x      2cosx -1 sin 2x - s inx +2  0.5  2  k 2 0.5  k  x    k 2 , Kết luận phương trình có họ nghiệm : ……… b  x3   y   x  xy  Giải hệ phương trình:   x  x  y  2  x  x   x  y   Viết lại hệ:   x  x  x  y  2 1,0 Đặt u  x  x, v  x  y Dễ có: u  1 u.v  Hệ trở thành:  u  v  2 0.5 u  1 Suy ra:   v  1 0.5  x  x  1 Ta có   x  y  1 0.5  x  1  y  0.5 Cho dãy số  un  2020  u1  xác định bởi:  , n  * 2019 2u  u  2u  n 1 n n Đặt S n  1 Tính: lim Sn    u1  u2  un  Ta chứng minh un  1, n  * (1) phương pháp qui nạp toán học Với n  1, u1  2020   (1) với n  2019 Giả sử (1) với n  k (k  1) ta có uk  1 gtqn  Ta phải chứng minh (1) với n  k  tức phải chứng minh uk 1  Thật uk 1   uk2  2uk u  2(uk  1) uk2 1  k     uk 1    uk 1  2 2 Theo ngun lý qui nạp tốn học ta có un  1, n  * Mặt khác un 1  un  un2  un  0, n  * dãy số un  nên dãy số  un  dãy số tăng 1,0 Với k  N*, ta có : 2uk 1  uk (uk  2)   (u  2)  uk 1 1   k     uk (uk  2) uk 1 uk (uk  2) uk 1 uk uk  uk 1 1,0 1 1    Sn   uk  uk uk 1 u1 un 1 Ta chứng minh dãy số  un  dãy số không bị chặn Giả sử phản chứng dãy số (un) bị chặn Do dãy số  un  dãy tăng (cmt) nên ta có dãy  un  tăng bị chặn dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim  un   a Vì un  Nên ta có a  Từ định nghĩa 2un 1  un2  2un Chuyển qua giới hạn ta có: 1,0  2a = a2 + 2a  a = Mâu thuẫn với a ≥1 Vậy giả sử sai, suy dãy  un  không bị chặn  un  dãy tăng nên lim  un     lim 1 1 2019   lim S n  lim (  )  un u1 un 1 u1 2020 1,0 S M B A O H N C Chứng minh x  y  xy Kẻ SO  MN , O  MN  SMN    ABC   SO   ABC  a Do hình chóp S ABC hình chóp nên O tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC Và O trọng tâm tam giác ABC 1,0     AB  AC     Ta có AB  AC  AH  AM  AN  AH  AM  AN  AO AM AN x y Vì  M  AB, N  AC  1,0    x AM  y AN  xy AO Do M , N , O thẳng hàng nên x  y  xy (đpcm) 1 SO.MN  SSMN nhỏ MN nhỏ SSMN  SO.MN  SSMN 2 lớn MN lớn S SMN  2 Ta có MN  x  y  xy.cos600  x  y  xy   x  y   xy   xy   xy 1,0 Từ giả thiết ta có  x; y  Từ (1) ta có xy  x  y  xy  xy   x  1 y  1   xy   x  y  xy   xy  xy  0.5 4 1 Đặt t = xy, t   ;   MN  9t  3t 9 2 4 1 Lập bảng biến thiên hàm số f  t   9t  3t ; t   ;  ta 9 2 MN nhỏ t  x  y  x    x  MN lớn t    y    y 1 0,5 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: abc abc  3 1  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Đặt : P  abc abc  3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  0.5 Áp dụng bất đẳng thức:  x  y  z    xy  yz  zx  x, y, z   0.5 Với a, b, c  ta có:  ab  bc  ca   3abc  a  b  c   9abc   ab  bc  ca  abc  Ta có: 1  a 1  b 1  c    abc  a, b, c  Thật vậy: 1  a 1  b 1  c     a  b  c    ab  bc  ca   abc    3 abc  3  abc   abc   abc Khi đó: P   Đặt: 3  abc    abc abc   abc abc  t  abc  t , 0.5 abc  t  abc Vì a, b, c  nên  abc    1  t 1   Xét hàm số f (t )  f '(t)  t2   t , t   0; 1 1  t   t  t 2t 2t t2  t2    t    2  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t )  0.5 (1  t )(1  t ) t2  2t   0, t  (0;1] (1  t ) (1  t ) 2 Suy f (t ) đồng biến f (t ) (0;1] ta có f (t )  f (1)  1, t  (0;1]  abc abc  3 1  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Dấu ‘=’ xảy a  b  c  Vậy MaxP  a  b  c  Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa 0.5 ...ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  x  mx   m cắt trục... - sin2x   2cosx -1  sin x - sin2x  2cosx - 2 1,0    2cosx +1   2cosx -1   1  cosx =    s inx + cosx   2sinx.cosx - = + (1)  x   + (2)  x      2cosx -1 sin 2x -. .. Tổng HSG tiếp tuyến   3m   m  (t/m đk (*)) 0.5 ĐS: m  Giải phương trình: sin x  cos x    sin x.cos x  sin x  cos x  a 1,0    2cos x   sin 2x  2cosx -1   s inx  2cosx -1  