PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu (4,5 điểm) 4 3 A : : 5 5 a) Tính giá trị biểu thức x 2 b) Tính giá trị biểu thức B x 3x với x y y z ; c) Tìm số x, y, z biết rằng: x y z 110 Câu (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31 1 : x : 3,2 4,5.1 : 21 18 45 2 1 1 x x x x x 11x x , 12 20 110 b) Tìm biết: c) Tính giá trị biểu thức C x y 2015 x, y thỏa mãn: 20 x y 2 Câu (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: : a b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho: 37 b 45 b 45 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh : ADC ABE · b) Chứng minh rằng: DIB 60 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN · d) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0: a1 , a2 , a3 , , a20 có tính chất sau: * a1 số dương *Tổng ba số viết liền số dương *Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1.a14 a14 a12 a1.a12 ĐÁP ÁN Câu 4 3 a) A : : 5 5 4 3 : : 7 5 1 x x 2 b) Vì 1 A 2. x 2 Với 1 1 A 2. x 2 2 Với 1 x A với Vậy A với x y x y y z y z x y z ; 14 14 35 14 35 c) Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x yz 110 2 14 35 14 35 55 x 2.6 12; y 2.14 28; z 2.35 70 Vậy x 12, y 28, z 70 x Câu 5 41 18 : 5 41 a)Ta có: 18 Lại có: 31 16 76 43 38 2 43 2 2 : 3,2 4,5.1 : 21 : 1 45 16 45 43 43 2 5 x mà x ¢ x 4; 3; 2; 1 Do b) Nhận xét: Vế trái đẳng thức nên vế phải 11x x Với x ta có: 1 1 x x x x 11x 12 20 110 1 1 x x x x x 11x 12 20 110 10 x (tm) 11 11 10 x 11 Vậy x c) Do x 0; y 20 x y 2 20 Kết hợp x y 2 20 với x, y x x 0 20 y y 2 Giá trị biểu thức C x y 2015 x 1, y 2 là: C 2.15 5. 2 2015 2057 Vậy C 2057 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a b c , ta có: a b c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a b c a b c 18 a b c 27 a b c abc Theo đề ta có: Như a b c chia hết cho 6, nên a b c 18 Từ suy a 3, b 6, c Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn Vậy hai số cần tìm 396,936 b) Nhận xét : với x x x x Với x x x Do x x ln số chẵn với b ¢ a a Suy 37 số chẵn lẻ a Khi b 45 b 45 38 Nếu b 45 , ta có: b 45 b 45 38 38(ktm) Nếu b 45 , ta có: b 45 38 b 64(tm) Vậy a, b 0;64 Câu · · a) Ta có: AD AB, DAC BAE AC AE ADC ABE (c.g c) · · · ·AKD (đối đỉnh) b) Từ ADC ABE ABE ADC mà BKI · · Khi xét BIK DAK suy BIK DAK 60 (dfcm) · · c) Từ ADC ABE CM EN , ACM AEN · · ACM AEN (c.g.c) AM AN CAM EAN · · MAN CAE 600 Do AMN d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ IB BIJ BJ BI · · · · JBI DBA 600 IBA JBD , kết hợp BA BD · · IBA JBD(c.g.c) ·AIB DJB 1200 mà BID 600 · · DIA 600 Từ suy IA phân giác DIE Câu Ta có: a1 a2 a3 a4 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a1 0, a2 a3 a4 0; ; a11 a12 a13 0; a15 a16 a17 0; a18 a19 a20 a14 Cũng vậy: a1 a2 a3 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a13 a14 Mặt khác, a12 a13 a14 a12 Từ điều kiện a1 0; a12 0; a14 a1.a14 a14 a12 a1a12 (dfcm) ... 2.6 12; y 2.14 28; z 2.35 ? ?70 Vậy x 12, y 28, z ? ?70 x Câu 5 41 18 : 5 41 a)Ta có: 18 Lại có: 31 16 76 43 38 2 43 2 2 :... 2.15 5. 2 2015 20 57 Vậy C 20 57 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a b c , ta có: a b c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên... 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a b c a b c 18 a b c 27 a b c abc Theo đề ta có: Như a b c chia hết cho 6, nên a b c 18 Từ suy a 3, b 6, c