Bài tập Đặc trưng hình học của tiết diện docx

Các định nghĩa Xét mặt cắt ngang có diện tích A.. Tại điểm Mx,y thuộc mặt cắt ngang lấy vi phân diện tích Da... Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện tích m

Chương

4

Đặc trưng hình học của tiết diện

4.1 Tóm tắt lý thuyết

4.1.1 Các định nghĩa

Xét mặt cắt ngang có diện tích A Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt ngang

lấy vi phân diện tích Da

a Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:

Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:

( )

x A

S = ∫ y dA

dA

( )

y A

S = ∫ x (4.2)

Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương,

bằng 0, hoặc âm

b Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox

( )

x A

I = ∫ y dA (4.3)

Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox

2 ( )

y A

I = ∫ x dA (4.4)

Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn

dương

c Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang A

đối với một điểm )

( )

A

I = ∫ ρ dA I= +I (4.5)

Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài4 ], giá trị của nó luôn

luôn dương

d Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối

với một hệ trục )

( )

xy A

I = ∫ xydA (4.6)

Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài4 ], giá trị của nó có thể

là dương, bằng 0, hoặc âm

4.1.2 Các khái niệm

1 Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện

tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0

2 Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm

3 Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô

men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0

4 Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ

trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang

4.1.3 Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang

Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ

trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(xC, yC) trong hệ

trục này Ta có:

y C

S x A

C

S y A

= (4.7)

Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản A i với tọa độ trọng tâm

mỗi hình đơn giản là C i ( x Ci ,y Ci ) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:

1

1

n

Ci i

i i

x A S

x

=

=

∑ ;

1

1

n

Ci i

i i

y A S

y

=

=

∑ (4.8)

Chú ý:

- Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn

trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng

tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt

- Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm

4.1.4 Công thức chuyển trục song song

Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,

O'v//Oy và:

u x b= + ; v y a= + (4.9)

v

u x y

a

b y v

x u

dA

O O Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:

A

A

S =S +b

2

2

I = +I aS +a (4.10)

2

2

I =I + bS + A b

A A

A

I =I +aS +bS +abA

Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của

mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (4.8) có dạng đơn giản hơn:

u

v

2

2

I =I + A b

uv xy

I =I +abA

Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên

hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái y)

4.1.5 Công thức xoay trục

Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy Hệ trục mới Ouv xoay một góc

α so với hệ trục Oxy như hình vẽ (αtheo chiều ngược chiều kim đồng hồ)

Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là:

+

u xcos= α ysinα ; v= −xsinα+ osyc α (4.12)

O

y v

u x

dA

u x

α

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là:

S = −S α +S c α

S =S c α +S α

os2 - sin 2

u

I = + + − c α I xy α (4.13)

os2 + sin 2

2

I I

4.1.6 Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản

a Hình chữ nhật

3

12

x

bh

I = ;

3

12

y

hb

I = (4.14)

b Hình tròn

4

0,1

p

4

0,05

c Hình tam giác

3

12

x

bh

I = (4.16)

b

x

x x

4.2 Đề bài tập tự giải

Bài 4.1: Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây

α

α

x

y

a

4

R

y

x

R

y

x

y

1

Bài 4.2: Xác định các mô men quán tính ,

C

x x

I I của các tiết diện sau (C là trọng tâm tiết diện):

x x

3

2 1

4

D

y

x

C

C

y

C

C

x

x

y

C

a

b

b a

x

b

Bài 4.3: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện

R

R

2a

4a

Bài 4.4: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (đơn vị

đo trên hình vẽ bằng mm)

150

30

120

100

20

100

Bài 4.5: Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép góc đều cạnh Cho a=1cm

160x160x10

a

a

Bài 4.6: Biết các mô men quán tính Ix=365cm4, Iy=117cm4 và Iu=281,6cm4 của thép góc không đều cạnh L125 80 12mm × × Tìm các trục chính và các mô men quán tính chính của mặt cắt ngang

y

x

u

600

Bài 4.7: Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ

27 100x100x10

Bài 4.8: Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau

N o 24

N 20 o