20 đề HSG TOÁN 7 cấp HUYỆN

Đề số 1: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n 16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: 2x + = x + b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa A = x − 2006 + 2007 x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau Ýt kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đáp án đề toán Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm) a) n 16 = 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( (4 ®iĨm) 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 − (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biÕt: 2x + = x + Ta cã: x + ≥ => x ≥ - + NÕu x ≥ - th× 2 x + = x + => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - ≤ x < - Th× 2x + = x + => - 2x - = x + => x = (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Không có giá trị x thoả mÃn b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 + 2007 − x Khi x thay ®ỉi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > VËy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta cã: x–y= (øng víi tõ sè 12 ®Õn số đông hồ) x : y = 12 (Do kim quay nhanh gÊp 12 lần kim giờ) Do đó: x= x 12 x y x−y 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33 12 ( vòng) = > x = (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ĩ kim ®ång hå tõ 10 đến lúc nằm đối diện đờng thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy ®iĨm D cho DM = MA Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI F E ∆ ABM = ∆ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), F ·AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID ⊥ AC A Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) B H IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le C M trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA D (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = CAB =>AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A b) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia Cho tam giác ABC cân A có A phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đáp án đề toán Bi 1:(4 im): a) (2 điểm) 212.35 − 46.9 510.73 − 255.49 10 212.35 − 212.34 510.7 − A= − = 12 12 − 9 3 + + 125.7 + 14 ( ) ( 3) + 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = 10 b) (2 điểm) 3n + − 2n + + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n ×10 − 2n ×5 = 3n ×10 − 2n−1 ×10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x − = ⇔  13  x− =−2   x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3  b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   ( x +1) 1 − ( x − ) 10  = ⇔ ( x − 7)   x +1   x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0   ⇔  x −7=010⇒ x =7  ( x −7) =1⇒ x=8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = Từ (1) ⇒ = k ⇒ a = k ; b = k ; c = 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) I ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) điểm ⇒ AC = EB K · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · Suy ·AMI = EMK · Mà ·AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) M C 0,5 H E đường 0,5 điểm · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) µ = 90o ) có HBE · Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o ⇒ HBE · · · = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o ⇒ HEM · góc đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) A 20 Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µA = 200 (gt) nên ·ABC = (1800 − 200 ) : = 800 · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ·ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ·ABM = 100 M D B C Xét tam giác ABM BAD có: · · AB cạnh chung ; BAM = ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC Đề số 3: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu Cho đa thức 9 nhỏ h¬n − 10 11 P ( x ) = x + 2mx + m vµ Q ( x ) = x + (2m+1)x + m T×m m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y a/ = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 B= x + 15 x2 + Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a Chứng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE b Gäi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lÊy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA BC Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a ≤ 0≤ a ≤ => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 nhỏ 10 11 9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70 V× 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 −70 x −77 => x = Vậy phân số cần tìm Câu Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m vµ Q ( x ) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 10 2.a 0,25 a + a + a (a + 1) + =a+ = a +1 a +1 a +1 a +a+3 a số nguyên nên số nguyên a +1 0,25 số nguyên hay a+1 ớc ta cã a +1 Ta cã : b¶ng sau : a+1 -3 a -4 -1 -2 VËy víi a ∈ { − 4,−2,0,2} th× 2.b a2 + a + số nguyên a +1 0,25 0,25 Vậy có cặp số x, y nh thoả mÃn điều kiện 0,25 đầu Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta cã: 0,5 (a+c)d=c(b+d) a c 0,5 Hay ad=bc Suy = ( §PCM) b 3.b 0,25 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trờng hợp sau : 1 − y = x = ⇒   x − = −1  y = 1 − y = −1  x = ⇒ Hc  2 x − = y = 3.a 0,25 d Gi¶ sư số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tỉng lµ n , ta cã : n(n + 1) = 111a = 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyên tố n+1 -200 6 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 200 6 ≤ x ≤ 200 7 th×: A = x – 200 6... th×: A = x – 200 6 + 200 7 – x = + NÕu x > 200 7 th× A = x - 200 6 - 200 7 + x = 2x – 4013 Do x > 200 7 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 200 6 ≤ x ≤ 200 7 Bµi HiƯn hai kim ®ång... 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a 0,25 VËy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1