THI CHỌN HS GIỎI CẤP TRƯỜNG NH 2012-2013 Mơn: TỐN - Lớp 11 Ngày thi: 31/01/2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) TRƯỜNG THPT KON TUM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu ( 3.0 điểm) x y Giải hệ phương trình sau x3 y x y Câu ( 5.0 điểm) Chứng minh với số thực m , phương trình: x3 m x m x ln có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình f biến điểm M x; y thành điểm M ' x 1; 2 y 3 Chứng minh f phép đồng dạng Câu ( 3.0 điểm) Đặt f n n n Xét dãy số un cho un f 1 f f f 2n 1 , n * Tính lim n un f f f f 2n Câu ( 3.0 điểm) Tìm tất đa thức P x có hệ số thực cho: P 12 P x x x P x với x Câu ( 3.0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 a b2 b3 b2 c c3 c a2 Câu ( 3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi N, P trung điểm SB AD Gọi I trung điểm NP G giao điểm SI với mp(ABCD) Tính tỷ số IS IG - HẾT - ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Nội dung Ý Điểm Ta có: x3 y3 x y x3 y3 x y 0.5 x3 y3 x y x y 0.5 x3 y3 x3 x y xy y3 x3 x2 y xy y x y x xy y 0.5 x y 0.5 0.5 Thay x y vào PT x y ta y 1 Vậy hệ có hai nghiệm 1; 1 , 1;1 0.5 PT cho tương đương x3 m2 x x 1 x x 1 x m2 x 1 2 x m x 1 0.5 0.5 1 PT (1) có m 4m PT (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1.x2 12 Suy x1,1, x2 lập thành cấp số nhân Vậy PT ban đầu ln có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Lấy N x1; y1 f N N ' x1 1; 2 y1 0.5 0.5 Ta có: M ' N '2 x1 x 2 y1 y 2 x1 x y1 y 4MN Từ suy với M, N tùy ý M’, N’ ảnh chúng qua f ta có M ' N ' MN Vậy f phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng 0.5 n 1 n 2n n 1 n 1 1 2 f 2n 1 4n 4n n 1 2n 1 Do f 2n 4n2 1 4n2 4n 2 2n 12 Ta có f n n n n 2n n n 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 12 52 n 1 Suy un 2 13 2n 1 2n 2n Suy n un Vậy lim n un n 2n 2n 1 Cho x ta P , cho x ta P 1 P 1 P 1 P 1 Giả sử P x có nghiệm khác khác 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta có P t t t P t suy t nghiệm Điều dẫn đến P x có vơ số nghiệm thực, vơ lí Vậy P x có ba nghiệm 1 Gọi n bậc P x Khi P x có bậc 2n x x P x có 0.5 bậc n + Suy 2n n n Như đa thức P x có dạng sau: P x a x 1 x x 1 P x a x 1 x x 1 0.5 P x a x 1 x x 1 Thay x ta có P 12 suy 6a 12 12a 12 18a 12 Hay a a a 0.5 Thử lại ta thấy P x x 1 x x 1 thỏa mãn 0.5 Vậy P x x 1 x x 1 Ta có: a a b2 b2 a3 a b2 ab 0.5 a b2 ab 0.5 a b2 a b2 b a b a 2 a b 0.5 b3 c3 c b , 2 b c Tương tự Cộng vế theo vế ta P c a a3 a b c b3 b c 1 Vậy GTNN P a b c a 0.5 c3 c a a bc 2 0.5 0.5 S N 0.5 I A G P B H C D Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP H Suy G trung điểm PH Và H trung điểm BG 2 Suy IG NH , NH SG Suy SI IG 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5