Dạng 3: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I Phương pháp giải: 1) Bài tốn: Tính P x Q x dx Trong P x Q x đa thức theo biến x có bậc m n Trường hợp 1: m n Lấy P x chia cho Q x để đưa nguyên hàm x3 x x dx Ví dụ 1: Tính I 2x 1 Bước 1: Thực phép chia đa thức P x x3 x 3x cho đa thức Q x x ta được: x3 x x 1 x 3x 2x 1 2x 1 x3 3x 11 1 d x ln x ln Bước 2: I x 3x 0 2x 1 2 0 Trường hợp 2: m n Phương pháp hệ số bất định Bước 1: Đưa Q x dạng Q x ax b cx d nghiệm) Bước 2: Đặt n px qx r (Trong px qx r vơ P x A B C N Mx P L 1 Q x ax b cx d cx d cx d n px qx r Bước 3: Quy đồng mẫu đồng hệ số 1 để tìm giá trị A , B , C , …, M , N , P Ví dụ 2: Tính I Ta có: x x 1 dx x x 1 A B C * x x x 1 A x 1 Bx x 1 Cx o Cách 1: * A B x2 A B C x A A B A 1 1 1 x 1;0 ta có hệ sau: 2 A B C B 1 x x x 1 A 1 C 1 x x 1 o Cách 2: Cho x : thay vào * ta được: A Cho x 1 : thay vào * ta được: C 1 Với A C 1 , ta cho x B 1 1 1 x x x 1 x x 1 2 1 x 2 d x ln ln Vậy I x x x 1 x 1 x 1 1 2) Một số trường hợp đặc biệt: a) Bậc P x nhỏ bậc Q x đơn vị ( m n ) Thử đặt t Q x tính dt du ln u u Nếu dt k P x dx sử dụng Nếu dt k P x dx sử dụng phương pháp hệ số bất định mx n b) Tích phân dạng I dx : ax bx c Nếu ax bx c có nghiệm phân biệt sử ta sử dụng phương pháp hệ số bất định mx n dx , sau đặt Nếu ax bx c có nghiệm kép x x0 I a x x0 t x x0 Nếu ax bx c vơ nghiệm ta sử dụng phương pháp lượng giác hoá c) Một số nguyên hàm cần nhớ: dx x a 2a ln dx x x a II xa xa 1 xa ln a x C dx x x a 1 x ln a xa C C Bài tập vận dụng: 1) Mức độ nhận biết: Câu 1 Tích phân x dx bằng: x 2 A 275 12 B e 1 Câu Tích phân e 1 Câu Tích phân C 196 15 D 208 17 C 1 e2 e D dx bằng: x 1 A e e 305 16 B 1 x dx bằng: 1 A ln Câu 4 Tích phân B ln A 3ln x 1 x C ln D ln dx bằng: B ln 2 C ln D ln Câu x Tích phân 1 2x dx bằng: 1 A 12 Câu x Tích phân 10 A ln 2x 1 dx bằng: x2 108 15 B ln 77 ln 54 Câu Tích phân I Câu B 5ln ln 1 ln 2 C ln ln D ln ln C 2+ ln D ln dx x x2 Tính I 2 A I = I ln Câu 10 Cho M 155 12 6x dx 3x B ln D ln x 3x Kết tích phân: I 0 A C ln 58 ln 42 x dx A ln 3ln Câu D 2 C B C I ln D I = 2ln3 C D C I D Đáp án khác B ln C ln D ln B ln 2 C ln 2 D ln B I = - 3ln2 x2 dx Giá trị M là: x2 A B 11 Câu 11 Tính tích phân sau: I A I B I Câu 12 Tích phân 2x2 x dx 1 2x 1 1 x dx bằng: 1 A ln 2x 1 dx Câu 13 Tính x 1 A ln Câu 14 Tính: I dx x 5x B I ln A I ln Câu 15 Tính I A I 2x C I ln D I ln x dx x 2 x x ln12 B I ln C I 1 ln ln D I ln ln 6 2) Mức độ thông hiểu: Câu dx x a lnb Giá trị a, b ? Giả sử A a 0; b 81 B a 1; b C a 0; b a Câu Với a , giá trị tích phân sau x a2 2a A ln B ln Câu Biết tích phân dx 3x a2 a 1 B Biết tích phân C ln a2 a 1 D ln 2x dx a ln b Thì giá trị a là: 2 x A Câu D a 1; b 9 x C D dx a giá trị a A Câu 12 Nếu B x 1 x 2 dx ln m A 12 B Câu 6 Giả sử C D 12 C D C 81 D m 3 dx x ln c Giá trị c là: A B 3 Câu Tích phân 2x 1 dx a b ln Tổng a b bằng: x 1 a2 2a A B Câu Với a Tích phân a x dx có giá trị C B x 1 Câu 10 Tính: K x 4x Câu 11 Biết I a C B a 3, b D a 1 a 1 D C a 2, b D a 3, b 2 x ln x dx ln Giá trị a là: x B ln2 Câu 12 Giả sử a 1 a a 1 dx a ln b ln giá trị a, b A a 2, b 3 D dx a ln b ln c Khi a 2b 4c x3 A A 2 a2 1 B a a 1 Cho 2x ax A a Câu C -3 dx x ln K Giá trị K C D C 81 D C a ln D a là: A B a Câu 13 Tìm a thỏa mãn: dx 4 x 0 A a ln B a 3) Mức độ vận dụng thấp: Câu Biết A x b d x a ln b b ln a a , b với 0 x 5x bằng: a B 16 49 C 49 16 D 16 Lời giải Chọn B Áp dụng phương pháp đồng hệ số ta có: x x x x x 1 x x x 3 x d x 0 x 5x 0 x x dx 3ln x 1 ln x ln ln a b 16 49 b a Câu 4x Biết dx 1 a b nghiệm phương trình sau đây? 4x a b A x x B x x 12 C x x D x Lời giải Chọn B 2 dx dx 1 11 1 1 x x 1 x 1 2x 1 1 a a, b hai nghiệm phương trình x x 12 b Câu Biết I x a a dx ln với phân số tối giản a, b a b 4 x b b A 13 C 4 B D 2 Lời giải Chọn D Áp dụng phương pháp đồng hệ số ta có: I x x 1 1 4 x 2 x2 x2 x 2 x 2 x 1 x2 1 d x ln dx ln 4 x 0 x2 x2 x2 a a b 2 b Câu Biết I x2 dx a lnb Chọn khẳng định đúng: x 1 A a b Câu Biết I B 2a b C a b D ab dx a ln b Chọn đáp án x x 1 A a b B 2a b C Lời giải a b 1 D ab Chọn C Áp dụng phương pháp đồng hệ số ta có: 1 x x 1 x x x 1 11 1 1 2 2 x x x x x 1 x x x 1 x dx x 1 1 I ln dx ln x x 1 x x x 1 x 1 x a a b b Câu Biết I x 1 x dx ln b Chọn đáp án đúng: 2 a A ab Câu Biết I B a b B a b C a b D a b x4 13 Biết I 0 x dx 24 a ln b , với b số nguyên dương Chọn đáp án đúng: B 2a b A a b Câu D a b x5 dx ln a b Chọn đáp án đúng: x 1 A a b 13 Câu C 2a b Biết 3x 1 dx x 6x 3ln A ab 5 C a b D 3a b a a với phân số tối giản a, b nguyên dương Hãy tính ab b b B ab 12 C ab D ab 1, 25 3x x dx a ln b với a , b phân số dương tối giản Khi giá trị Câu 10 Cho x2 1 a 2b là: A 30 B 40 C 50 D 60 4) Mức độ vận dụng cao: x dx I Khẳng định sau đúng? 2020 x 1 Câu Cho A I 2006 2018 C I 2006 B I nguyên Lời giải Chọn A D I 0; 2006 2018 x 2 x2 I dx dx 2020 x x 1 x 1 0 2018 x2 1 dx dt dx Đặt: t x dt 2 x 1 x 1 Đổi cận: x t 2 , x t 1 t 2019 22019 213 I t 2018 dt 22006 22006 2 2019 3.2019 3.2019 ... 1 Tích phân x dx bằng: x 2 A 275 12 B e 1 Câu Tích phân e 1 Câu Tích phân C 196 15 D 208 17 C 1 e2 e D dx bằng: x 1 A e e 30 5 16 B 1 x dx bằng: 1 A ln Câu 4 Tích. .. ln Câu 10 Cho M 155 12 6x dx 3x B ln D ln x 3x Kết tích phân: I 0 A C ln 58 ln 42 x dx A ln 3ln Câu D 2 C B C I ln D I = 2ln3 C D C I D Đáp án khác B ln C ... B ln A 3ln x 1 x C ln D ln dx bằng: B ln 2 C ln D ln Câu x Tích phân 1 2x dx bằng: 1 A 12 Câu x Tích phân 10 A ln 2x 1 dx bằng: x2 108 15 B ln 77 ln 54 Câu Tích phân I