tu giac hinh hoc lop 8 q5i2e

TỨ GIÁC HÌNH HỌC LỚP I LÝ THUYẾT Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng (h.1.1 a, b) Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) tứ giác lõm (h.1.1 b) Nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác 360 A B C D 360 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tính số đo góc Bài Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh lại Bài Cho tứ giác ABCD có A B 220 Các tia phân giác ngồi đỉnh C D cắt K Tính số đo góc CKD Bài Tứ giác ABCD có A C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song song với trùng Bài Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C 130 ; D 110 Tính số đo góc A, góc B ( Olympic Tốn Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) So sánh độ dài Trang Bài Có hay không tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? Bài Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB 3; BC 6,6; CD Tính độ dài AD Bài Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Bài Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Bài Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Bài tốn giải phương trình tơ màu Bài 10 Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đơi quen Trang Hướng dẫn giải 1.1 Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề (h.1.5) Gọi C1 , D1 số đo hai góc trong; D2 , D2 số đo hai góc ngồi hai đỉnh kề C D Ta có:       C2  D2  180  C1  180  D1  360  C1  D1 (1)   Xét tứ giác ABCD có: A  B  360  C1  D1 (2) Từ (1) (2) suy ra: C2  D2  A  B Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (h.1.6) Chứng minh tương tự, ta A2  C2  B  D 1.2 (h.1.7) Ta có: CDx  DCy  A  B  220 (bài 1.1)  CDx  CDy  110 Do D2  C2  110   Xét CKD có: CKD  180  D2  C2  180  110  70 1.3 (h.1.8)   Xét tứ giác ABCD có: B  D  360  A  C  360  2C Vì B1  B2 , D1  D2 nên B1  D1  180  C  B1  D1  C  180 (1) Xét BCM có B1  M1  C  180 (2) Từ (1) (2) suy D1  M1 Do DN // BM 1.4 (h.1.9) Vẽ đường phân giác góc C D chúng cắt E Trang Xét ECD có CED  180  110  130  60 ADE  CDE (c.g.c)  AED  CED  60 BCE  DCE (c.g.c)  BEC  DEC  60 Suy AEB  180 ba điểm A, E, B thẳng hàng Vậy BAD  EAD ECD  65 Do ABC  360   65  110  130   55 1.5 (h.1.10) Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC  AB  BC Xét ADC có: CD  AD  AC Do CD  AD  AB  BC Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 1.6 (h.1.11) Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vng O, ta có: AB  CD2  OA2  OB  OC  OD2 Chứng minh tương tự, ta được: BC  AD  OB  OC  OD  OA2 Do đó: AB2  CD2  BC  AD2 Suy ra: 32  62  6, 62  AD2  AD2   36  43,56  1, 44  AD  1, Trang 1.7 (h1.12) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA  OB  a; OC  OD  c Do  OA  OC    OB  OD   a  c hay AC  BD  a  c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC  BD  d  b (2) Cộng vế (1) (2), ta được:  AC  BD   a  b  c  d  AC  BD  abcd Xét ABC ADC ta có: AC  a  b; AC  c  d  2AC  a  b  c  d (3) Tương tự có: 2BD  a  b  c  d (4) Cộng vế (3) (4) được:  AC  BD    a  b  c  d   AC  BD  a  b  c  d Từ kết ta điều phải chứng minh 1.8  Trước hết ta chứng minh toán phụ: Cho ABC , A  90 Chứng minh BC  AB2  AC Giải (h.1.13) Vẽ BH  AC Vì A  90 nên H nằm tia đối tia AC Xét HBC HBA vuông H, ta có: Trang BC  HB  HC   AB  HA2    HA  AC   AB2  HA2  HA2  AC  2HA AC  AB2  AC  2HA AC Vì HA AC  nên BC  AB2  AC ( dấu “=” xảy H  A tức ABC vuông)  Vận dụng kết để giải toán cho Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.1.14) Ta có: A  B  C  D  360 Suy bốn góc phải có góc lớn 90 , giả sử A  90 Xét ABD ta có BD2  AB2  AD2  102  102  200 suy BD  200 , BD  14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.1.15) Nối CA, Ta có: ACD  ACB  BCD  360 Suy ba góc phải có góc lớn 120 Giả sử ACB  120 , ACB góc tù Xét ACB có AB2  AC  BC  102  102  200 Suy AB  200  AC  14 Vậy tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Trang 1.9 (h.1.16) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có hai cạnh tứ giác Ta giả sử a b c d Ta có: a b c BD c d Do a b c d 2d Ta đặt a b c d S S 2d (*) Ta có: S a S ma m N (1) Sb S nb n N (2) Sc S pc p N (3) Sd S qd q N (4) Từ (4) (*) qd 2d q Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m n p q Do q 3; p 4; n 5; m Từ (1), (2), (3), (4) suy Ta có: Từ đó: 19 20 m m n a ; S n p q b ; S p c ; S q a b c d S d S 1, vơ lí Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác 1.10.Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tơ màu đỏ Trang Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (h.1.18) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tơ đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh 9.3 N Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây tốn phương pháp tơ màu) chẳng hạn BCD (h.1.20) Trang Trong BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tơ đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đôi quen Trang Trang 10 ... CKD có: CKD  180   D2  C2  180   110  70 1.3 (h.1 .8)   Xét tứ giác ABCD có: B  D  360  A  C  360  2C Vì B1  B2 , D1  D2 nên B1  D1  180   C  B1  D1  C  180  (1) Xét... đo hai góc trong; D2 , D2 số đo hai góc ngồi hai đỉnh kề C D Ta có:       C2  D2  180   C1  180   D1  360  C1  D1 (1)   Xét tứ giác ABCD có: A  B  360  C1  D1 (2) Từ (1)... 180  (1) Xét BCM có B1  M1  C  180  (2) Từ (1) (2) suy D1  M1 Do DN // BM 1.4 (h.1.9) Vẽ đường phân giác góc C D chúng cắt E Trang Xét ECD có CED  180   110  130  60 ADE  CDE