tu giac hinh hoc toan 8

TỨ GIÁC I Phương pháp giải Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng (h.1.1 a, b) Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) tứ giác lõm (h.1.1 b) Nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác 360 A B C 360 D II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, A B 40 Các tia phân giác góc C góc D cắt O Cho biết COD 110 Chứng minh AB BC Giải (h.1.2) * Tìm cách giải Muốn chứng minh AB BC ta chứng minh B 90 Đã biết hiệu A B nên cần tính tổng A B * Trình bày lời giải Xét 180 COD có COD (vì C1 C2 ; D1 C2 360 180 C 180 D D2 ) Xét tứ giác ABCD có: C D COD D2 A 360 B 180 180 A B , A B Trang Vậy COD A B Theo đề COD 110 nên A B 220 Mặt khác, A B 40 nên B 220 40 : 90 Do AB BC Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC hai cạnh AD, DC không Đường chéo DB đường phân giác góc D Chứng minh góc đối tứ giác bù Giải (h.1.3 a,b) * Tìm cách giải Để chứng minh hai góc A C bù ta tạo góc thứ ba làm trung gian, góc góc A chẳng hạn Khi cịn phải chứng minh góc bù với góc C * Trình bày lời giải - Xét trường hợp AD < DC (h.1.3a) Trên cạnh DC lấy điểm E cho DE = DA ADB AB EDB (c.g.c) EB A E1 Mặt khác, AB BC nên BE BC Vậy Ta có: E1 E2 180 180 Do đó: B D 360 A C 180 BEC cân C E2 180 - Xét trường hợp AD > DC (h.1.3b) Trên tia DA lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh tương tự trên, ta được: A C 180 ; B D 180 Ví dụ Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo a Gọi M điểm Tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD Giải (h.1.4) * Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD ta phải chứng minh MA MB MC MD k ( k số) Ghép tổng thành hai nhóm MA MC MB MD Ta thấy dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng Trang * Trình bày lời giải Xét ba điểm M, A, C có MA MC M AC ) AC (dấu “=” xảy Xét ba điểm M, B, D có MB MD BD (dấu ‘=’ xảy M BD ) Do đó: MA MB MC MD AC BD a Vậy MA MB MC MD a M trùng với giao điểm O đường chéo AC BD III Bài tập vận dụng Tính số đo góc 1.1 Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh cịn lại 1.2 Cho tứ giác ABCD có A B 220 Các tia phân giác đỉnh C D cắt K Tính số đo góc CKD 1.3 Tứ giác ABCD có A C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song song với trùng 1.4 Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C 130 ; D 110 Tính số đo góc A, góc B ( Olympic Tốn Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) So sánh độ dài 1.5 Có hay không tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? 1.6 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB 3; BC dài AD 6,6; CD Tính độ 1.7 Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác 1.8 Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Bài toán giải phương trình tơ màu Trang 1.10.Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đôi quen Trang Hướng dẫn giải 1.1 Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề (h.1.5) Gọi C1 , D1 số đo hai góc trong; D2 , D2 số đo hai góc ngồi hai đỉnh kề C D Ta có:       C2  D2  180  C1  180  D1  360  C1  D1 (1) Xét tứ giác ABCD có: A  B  360   C1  D1  (2) Từ (1) (2) suy ra: C2  D2  A  B Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (h.1.6) Chứng minh tương tự, ta A2  C2  B  D 1.2 (h.1.7) Ta có: CDx  DCy  A  B  220 (bài 1.1)  CDx  CDy  110 Do D2  C2  110 Xét CKD có: CKD  180   D2  C2   180  110  70 1.3 (h.1.8) Xét tứ giác ABCD có: B  D  360   A  C   360  2C Vì B1  B2 , D1  D2 nên B1  D1  180  C  B1  D1  C  180 (1) Xét BCM có B1  M  C  180 (2) Từ (1) (2) suy D1  M Do DN // BM 1.4 (h.1.9) Vẽ đường phân giác góc C D chúng cắt E Xét ECD có CED  180  110  130  60 ADE  CDE (c.g.c)  AED  CED  60 BCE  DCE (c.g.c)  BEC  DEC  60 Suy AEB  180 ba điểm A, E, B thẳng hàng Trang Vậy BAD  EAD  ECD  65 Do ABC  360   65  110  130   55 1.5 (h.1.10) Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC  AB  BC Xét ADC có: CD  AD  AC Do CD  AD  AB  BC Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 1.6 (h.1.11) Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vng O, ta có: AB  CD  OA2  OB  OC  OD Chứng minh tương tự, ta được: BC  AD  OB  OC  OD  OA2 Do đó: AB  CD  BC  AD Suy ra: 32  62  6, 62  AD  AD   36  43,56  1, 44  AD  1, 1.7 (h1.12) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA  OB  a; OC  OD  c Do  OA  OC    OB  OD   a  c hay AC  BD  a  c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC  BD  d  b (2) Cộng vế (1) (2), ta được:  AC  BD   a  b  c  d  AC  BD  abcd Xét ABC ADC ta có: AC  a  b; AC  c  d  2AC  a  b  c  d (3) Tương tự có: 2BD  a  b  c  d (4) Trang Cộng vế (3) (4) được:  AC  BD    a  b  c  d   AC  BD  a  b  c  d Từ kết ta điều phải chứng minh 1.8  Trước hết ta chứng minh toán phụ: Cho ABC , A  90 Chứng minh BC  AB  AC Giải (h.1.13) Vẽ BH  AC Vì A  90 nên H nằm tia đối tia AC Xét HBC HBA vng H, ta có: BC  HB  HC   AB  HA2    HA  AC   AB  HA2  HA2  AC  HA AC  AB  AC  HA AC Vì HA.AC  nên BC  AB  AC ( dấu “=” xảy H  A tức ABC vuông)  Vận dụng kết để giải toán cho Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.1.14) Ta có: A  B  C  D  360 Suy bốn góc phải có góc lớn 90 , giả sử A  90 Xét ABD ta có BD  AB  AD  102  102  200 suy BD  200 , BD  14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.1.15) Nối CA, Ta có: ACD  ACB  BCD  360 Suy ba góc phải có góc lớn 120 Giả sử ACB  120 , ACB góc tù Xét ACB có AB  AC  BC  102  102  200 Suy AB  200  AC  14 Trang Vậy ln tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 (h.1.16) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có hai cạnh tứ giác Ta giả sử a b c d Ta có: a b c BD c d Do a b c d 2d Ta đặt a b c d Ta có: S a S ma m S b S nb n N (2) S c S pc p N (3) S d S qd q N (4) qd Từ (4) (*) 2d (*) S S N (1) 2d q Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m n p q Do q 3; p 4; n 5; m Từ (1), (2), (3), (4) suy Ta có: Từ đó: 19 20 m m n a ; S n p q b ; S p c ; S q a c b S d d S 1 , vơ lí Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác 1.10.Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tơ màu đỏ Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Trang Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (h.1.18) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tô đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh 9.3 N Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây toán phương pháp tơ màu) chẳng hạn BCD (h.1.20) Trong BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tô đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trang