hinh hop chu nhat hinh hoc toan 8 rukom

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT I Phương pháp giải Hình hộp chữ nhật - Hình 18.1 cho ta hình ảnh hình hộp chữ nhật - Hình hộp chữ nhật có mặt, đỉnh 12 cạnh - Hình lập phương có mặt hình vng Diện tích xung quanh thể tích hình hộp chữ nhật  Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật chu vi đáy nhân với chiều cao Sxq  2(a  b).c  Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy Stp  2(ab  bc  ca)  Thể tích hình hộp chữ nhật tích ba kích thước V  abc  Đặc biệt, hình lập phương thì: S xq  4a Stp  6a V  a3 Tính chất đường chéo hình hộp chữ nhật  Bốn đường chéo hình hộp chữ nhật cắt trung điểm đường  Bình phương đường chéo tổng bình phương ba kích thước d  a  b2  c2 Quan hệ vị trí hai đường thẳng phân biệt không gian (h.18.2)  Cắt nhau: Nếu hai đường thẳng có điểm chung Ví dụ: AB BC  Song song: Nếu hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung Ví dụ: AB CD  Chéo nhau: Nếu hai đường thẳng không nằm mặt phẳng Ví dụ: AB CC Nhận xét Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song Quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng (h.18.2)  Đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung Ví dụ: AB // mp( ABC D)  Nếu AB  mp( P); AB  mp( P) AB//AB AB // mp ( P ) Nhận xét Nếu A, B  mp ( P ) đường thẳng AB nằm trọn mp(P) Quan hệ song song hai mặt phẳng (h.18.3)  Hai mặt phẳng song song chúng khơng có điểm chung  Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng cắt a b; mp(Q) chứa hai đường thẳng cắt a b a//a b//b mp ( P)// mp(Q)  Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng cắt a b mà a // mp (Q) b // mp (Q ) mp ( P )// mp (Q) Nhận xét Hai mặt phẳng có điểm chung chúng cắt theo đường thẳng qua điểm chung ấy, gọi giao tuyến hai mặt phẳng Quan hệ vuông góc (h.18.4)  Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng ta nói đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Nếu đường thẳng a  mp ( P) điểm O đường thẳng a vng góc với đường thẳng qua O nằm mp(P)  Nếu a  mp( P ) a  mp (Q) mp( P)  mp(Q) II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD CD Chứng minh MN // mp ( BCC B) Giải (h.18.5) *Tìm cách giải Muốn chứng minh MN // mp ( BCC B) ta phải chứng minh MN song song với đường thẳng mặt phẳng ( BCC B) *Trình bày lời giải Xét tứ giác MCCN  có MC // NC MC  NC Vậy tứ giác MCCN hình bình hành, suy MN // CC Đường thẳng MN khơng nằm mặt phẳng ( BCC B) cịn đường thẳng CC nằm mặt phẳng ( BCC B) mà MN // CC nên MN // mp ( BCC B) Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Trên cạnh AA, DD, BB, CC  lấy 3 điểm E, F, G, H cho AE  DF  DD; BG  CH  CC  Chứng minh mp( ADHG )// mp ( EFC B) Giải (h.18.6) *Tìm cách giải Để chứng minh mp( ADHG )// mp( EFC B) ta tìm cách chứng minh hai đường thẳng cắt mp(ADHG) tương ứng song song với hai đường thẳng cắt mp( EFC B) *Trình bày lời giải Tứ giác BCHG có BG  CH ; BG //CH nên hình bình hành, suy HG//BC Mặt khác BC //BC nên HG//BC Tứ giác DHCF có DF //HC DF  HC nên hình hình hành, suy DH  FC Xét mp(ADHG) có HG DH cắt H Xét mp( EFC B) có BC FC cắt C Từ suy mp( ADHG )// mp( EFC B) Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Chứng minh tứ giác ADCB hình chữ nhật b) Tính diện tích hình chữ nhật ADCB biết: AB  12, AC   29, DD  16 Giải (h.18.7) a) Tứ giác ADDA hình chữ nhật, suy AD // AD AD  AD Tứ giác ABCD hình chữ nhật, suy BC// AD BC  AD Do AD // BC AD  BC Vậy tứ giác ADCB hình bình hành Ta có: AD  DD AD  DC nên AD  mp( DCC D) Suy AD  DC Do hình bình hành ADCB hình chữ nhật b) Xét DDC vng D có DC  DD2  DC2  162  122  20 Xét ADC vng D có AD  AC 2  DC 2  292  202  21 Vậy diện tích hình chữ nhật ADCB S  DC.AD  20.21  420 (đvdt) Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Chứng minh mp( DCC D)  mp (CBBC ) b) Trong số sáu mặt hình hộp chữ nhật, có cặp mặt phẳng vng góc với nhau? Giải (h.18.8) * Tìm cách giải Muốn chứng minh mp ( DCC D) vng góc với mp (CBBC ) ta cần chứng minh đường thẳng mp ( DCC D) vuông góc với hai đường thẳng giao mp (CBBC ) * Trình bày lời giải a) Vì DDCC hình chữ nhật nên DC  CC Vì ABCD hình chữ nhật nên DC  BC Vậy DC vng góc với hai đường giao mp (CBBC ) DC   mp(CBBC ) Mặt khác, DC   mp( DCC D) nên mp( DCC D)  mp (CBBC ) b) Chứng minh tương tự câu a), ta cặp mặt có chung cạnh vng góc với Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh nên có 12 cặp mặt vng góc với Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Diện tích mặt ABCD, BCC B DCCD 108cm2 , 72cm2 96cm a) Tính thể tích hình hộp b) Tính độ dài đường chéo hình hộp Giải (h.18.9) * Tìm cách giải Diện tích mặt cho tích hai kích thước Thể tích hình hộp tích ba kích thước Vì ta cần sử dụng tích cặp hai kích thước để đưa tích ba kích thước * Trình bày lời giải a) Gọi độ dài cạnh AB, BC , CC  a, b, c Ta có: ab  108 (1); bc  72 (2); ca  96 (3) Suy ra: ab.bc.ca  108.72.96 hay (abc)2  746496 Do abc  746496  864(cm3 ) Vậy thể tích hình hộp V  864(cm3 ) (4) b) Từ (4) (1) ta có: c  abc 864   8(cm) ab 108 Từ (4) (2) ta có: a  abc 864   12(cm) bc 72 Từ (4) (3) ta có: b  abc 864   9(cm) ac 96 Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài là: d  a  b  c  122  92  82  17(cm) III Bài tập vận dụng  Quan hệ song song Quan hệ vng góc 18.1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Chứng minh mp( ACD) // mp( AC B) b) Chứng minh mp (CDB) mp( BCD) cắt Tìm giao tuyến chúng 18.2 Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD hình vng Chứng minh mp ( DBBD) vng góc với mp ( ACC A) 18.3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Tìm giao tuyến m hai mặt phẳng ( ACC A) ( DBBD) b) Chứng minh giao tuyến m  mp ( ABC D) c) Chứng minh mp( BDDB)  mp( ABC D)  Các mặt – Các đỉnh hình hộp chữ nhật 18.4 Người ta ghép 480 hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành hình hộp chữ nhật kích thước 12  5cm sơn tất sáu mặt hình hộp chữ nhật Hỏi: a) Có hình lập phương nhỏ cạnh 1cm khơng sơn mặt nào? b) Có hình lập phương nhỏ cạnh 1cm có mặt sơn? 18.5 Một hình lập phương cạnh n đơn vị (n  ; n  2) ), mặt sơn màu xanh Người ta chia hình lập phương thành n3 hình lập phương cạnh (đơn vị) Cho biết số hình lập phương nhỏ cạnh (đơn vị) khơng sơn mặt 27 Tính: a) Giá trị n; b) Số hình lập phương nhỏ sơn ba mặt; c) Số hình lập phương nhỏ sơn hai mặt; d) Số hình lập phương nhỏ sơn mặt 18.6 Một hộp hình lập phương cạnh 6cm đặt mặt bàn Tính quãng đường ngắn mà kiến phải bò mặt hộp từ trung điểm M CD đến đỉnh A 18.7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Hỏi có đoạn thẳng mà hai đầu hai đỉnh hình hộp chữ nhật? b) Chứng tỏ đoạn thẳng nói trên, có tối đa giá trị khác độ dài 18.8 Người ta ghi vào sáu mặt hình lập phương số tự nhiên từ đến Sau lượt, ta cộng thêm số tự nhiên vào hai mặt hình lập phương Hỏi sau số lượt, xảy sáu số sáu mặt hình lập phương khơng?  Tính độ dài – Diện tích – Thể tích 18.9 Một hình hộp chữ nhật có kích thước 8, 9, 12 Tính độ dài lớn đoạn thẳng đặt hình hộp chữ nhật 18.10 Một hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước 61cm đường chéo 37cm Tính diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật 18.11 Đường chéo hình lập phương dài đường chéo mặt 1cm Tính diện tích tồn phần thể tích hình lập phương Hướng dẫn giải 18.1 (h.18.10) a) Xét hình bình hành ACCA có AC // AC  AC // mp(BAC ) Xét hình bình hành ABCD có AD // BC  AD// mp ( BAC ) Vì AC AD cắt A nên mp( ACD) // mp( BAC ) b) (h.18.11) Mặt phẳng (CDB ) mặt phẳng (CDAB) Mặt phẳng ( BCD) mặt phẳng ( BCDA) Hai mặt phẳng có hai điểm chung C A nên chúng cắt theo giao tuyến CA 18.2 (h.18.12) Tứ giác ADDA hình chữ nhật nên DD  DA Tứ giác DCCD hình chữ nhật nên DD  DC Suy DD  mp ( ABC D) Do DD  DB Tứ giác DBBD có DD// BB DD  BB nên hình bình hành Hình bình hành có DD  DB nên hình chữ nhật Gọi O giao điểm AC BD Gọi O giao điểm AC BD Ta có OO đường trung bình hình chữ nhật DBBD nên OO  DB Ta lại có AC  BD (tính chất đường chéo hình vng) suy BD  mp ( ACC A) Mặt phẳng ( DBBD) chứa BD nên mp( DBBD)  mp ( ACC A) 18.3 (h.18.12) a) Gọi O giao điểm AC BD Gọi O giao điểm AC BD Ta có: O  AC mà AC  mp( ACC A) nên O  mp ( ACC A) O  BD mà BD  mp( BDDB) nên O  mp ( BDDB) Vậy O điểm chung hai mặt phẳng ( ACC A) ( BDDB) Chứng minh tương tự, O điểm chung hai mặt phẳng ( ACC A) ( BDDB) Hai mặt phẳng ( ACC A) ( BDDB) có hai điểm chung O O nên chúng cắt theo giao tuyến m đường thẳng OO b) Trong mặt chéo ( DBBD) có OO đường trung bình nên OO  BD (tại O ) Chứng minh tương tự, ta OO  AC ( O ) Đường thẳng OO vuông góc với hai đường thẳng giao mp ( ABC D) nên OO  mp ( ABC D) c) Ta có: OO  mp( ABC D) mà OO  mp ( BDDB) nên mp( BDDB)  mp( ABC D) 18.4 a) Các hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt hình lập phương bên Chúng tạo thành hình hộp chữ nhật có độ dài cạnh là:   6(cm);12   10(cm);5   3(cm) Thể tích hình hộp chữ nhật là: 6.10.3  180(cm3 ) Vậy có tất 180 hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt b) Có tất 480 hình lập phương nhỏ, có 180 hình khơng sơn mặt Vậy số hình lập phương nhỏ có mặt sơn là: 480 180  300 (hình) 18.5 (h.18.13) a) Các hình lập phương đơn vị khơng sơn mặt bên hình lập phương cho, chúng tạo thành hình lập phương có cạnh dài 27  (đơn vị) Do cạnh hình lập phương cho dài là: n    (đơn vị dài) b) Ở đỉnh có hình lập phương sơn ba mặt Có tất đỉnh nên có hình lập phương đơn vị sơn ba mặt c) Ở cạnh có ba hình lập phương đơn vị sơn hai mặt Có tất 12 cạnh nên có 3.12  36 hình lập phương đơn vị sơn hai mặt d) Ở mặt có hình lập phương đơn vị sơn mặt Có tất mặt nên có 9.6  54 hình lập phương đơn vị sơn mặt 18.6 (h.18.14) Khai triển hình lập phương trải phẳng ba mặt ( ABCD), (CDDC ) ( ADDA) ta hình  Xét trường hợp kiến bò qua cạnh DD để tới đỉnh A: Đoạn đường ngắn mà kiến phải bò từ M đến A là: MA1  (6  3)2  62  117  10,8(cm)  Xét trường hợp kiến bò qua cạnh DC để tới đỉnh A: Đoạn đường ngắn mà kiến phải bò từ M đến A là: MA2  (6  6)2  32  153  12, 4(cm)  Xét trường hợp kiến bò qua cạnh CC để tới đỉnh A: Dễ thấy đoạn đường mà kiến phải bò từ M đến A dài nhiều so với hai trường hợp Kết luận: Vậy đoạn đường ngắn mà kiến phải bò 10,8cm 18.7 (h.18.15) a) Hình hộp chữ nhật có đỉnh Số đoạn thẳng mà hai đầu hai đỉnh hình hộp chữ nhật là: 8.7  28 (đoạn thẳng) b) 28 đoạn thẳng chia làm nhóm, nhóm đoạn thẳng dài (chẳng hạn AB  CD  CD  AB ) Từ suy 28 đoạn thẳng có tối đa giá trị khác độ dài 18.8 Lúc đầu tổng số mặt       21 Đó số lẻ Sau lượt, tổng tăng thêm số chẵn nên tổng số mặt số lẻ, không chia hết cho Do khơng thể xảy số 18.9 Áp dụng công thức tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật d  a  b  c  82  92  122  289 Suy d  289  17 Vậy độ dài lớn đoạn thẳng đặt hình hộp chữ nhật 17 18.10 Gọi ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Ta có: a  b  c  61  2 a  b  c  37 (1) (2) Từ (1) suy (a  b  c)2  612  a  b2  c  2(ab  bc  ca)  3721 Do 2(ab  bc  ca)  3721  1369  2352(cm2 ) Vậy diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật 2352(cm2 ) 18.11 Gọi a độ dài cạnh hình lập phương d độ dài đường chéo hình lập phương Ta có: d  3a2  d  a 3(cm) Độ dài đường chéo mặt hình lập phương a Ta có: a  a   a      a   2(cm) Diện tích tồn phần hình lập phương là: S  6a   3   59,39(cm2 ) Thể tích hình lập phương là: V  a3      31,14(cm3 ) ...  180 (cm3 ) Vậy có tất 180 hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt b) Có tất 480 hình lập phương nhỏ, có 180 hình khơng sơn mặt Vậy số hình lập phương nhỏ có mặt sơn là: 480  180  300 (hình) 18. 5... 1 08 (1); bc  72 (2); ca  96 (3) Suy ra: ab.bc.ca  1 08. 72.96 hay (abc)2  746496 Do abc  746496  86 4(cm3 ) Vậy thể tích hình hộp V  86 4(cm3 ) (4) b) Từ (4) (1) ta có: c  abc 86 4   8( cm)... đường ngắn mà kiến phải bò 10,8cm 18. 7 (h. 18. 15) a) Hình hộp chữ nhật có đỉnh Số đoạn thẳng mà hai đầu hai đỉnh hình hộp chữ nhật là: 8. 7  28 (đoạn thẳng) b) 28 đoạn thẳng chia làm nhóm, nhóm