phuong phap dien tich hinh hoc toan 8 dxojp

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH I Phương pháp giải Ta biết số cơng thức tính diện tích đa giác cơng thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,… Khi biết độ dài số yếu tố, ta tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình chẳng hạn biết hai tam giác có diện tích có hai đáy suy chiều cao tương ứng Như cơng thức tính diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng Để so sánh hai độ dài phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: - Xác định quan hệ diện tích hình - Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Một số biện pháp thực hiện: - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính diện tích tam giác - Sử dụng tính chất: Nếu hai tam giác có chiều cao tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, hai tam giác có đáy tỉ số hai chiều cao tương ứng tỉ số hai diện tích - Sử dụng tính chất: Nếu tam giác hình bình hành có đáy chiều cao (ứng với đáy đó) diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: S AMN AM AN  S ABC AB AC Giải Áp dụng tính chất hai tam giác có đường cao, ta có: S AMN AN S AMC AM  ;  S AMC AC S ABC AB Từ suy ra: S AMN S AMN S AMC AM AN   S ABC S AMC S ABC AB AC (điều phải chứng minh) Trang Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ABC có A  A Chứng minh rằng: S ABC AB AC   S ABC AB AC Giải Trên đường thẳng AB, AC lấy hai điểm M N cho AM  AB, AN  AC  Từ suy ra: ABC  AMN  c.g.c  Chứng minh tương tự ví dụ 1, ta có: Từ suy ra: S AMN AM AN  S ABC AB AC S ABC AB AC   S ABC AB AC Nhận xét: Ví dụ 1; kết đẹp tỉ số diện tích Chúng vận dụng nhiều tốn sau Bạn nên nhớ tính chất Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  2.EC Gọi O giao điểm CD BE Chứng minh rằng: a) S BOC  S AOC b) BO  3.EO Giải * Tìm cách giải Vì D trung điểm AB nên suy S ACD  S BCD ; S AOD  S BOD nên dễ dàng dẫn đến S BOC  S AOC Nhận thấy BO, CO hai cạnh tam giác BOC, COE có chung đường cao kẻ từ C Trang Do để so sánh BO CO, ta so sánh diện tích tam giác BOC COE Từ câu a, ta so sánh diện tích tam giác AOC COE, hiển nhiên ta cần so sánh AC EC Từ ta có lời giải sau: * Trình bày lời giải a) Ta có: AD  BD nên S AOD  SOBD ; SCAD  SCBD suy ra: SCAD  S AOD  SCBD  SOBD hay S AOC  S BOC b) Áp dụng tỉ số diện tích hai tam giác chung chiều cao, ta có: mà SOEC EC   SOAC AC SOEC OE OE     OB  3.OE S BOC OB OB Nhận xét: Để chứng minh OB  3.OE chứng minh SOBC  3.SOEC Phương pháp diện tích để tìm tỉ số đoạn thẳng, ta tìm tỉ số diện tích hai tam giác nhận hai đoạn thẳng làm cạnh Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Một điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD vng góc với AB, ME vng góc với AC Chứng minh tổng MD  ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC Giải * Tìm cách giải : Nhận thấy điểm M di động cạnh BC quan hệ MD vng góc với AB, ME vng góc với AC khơng đổi, nên dễ dàng nhận biết tổng diện tích hai tam giác ABM ACM không đổi Do nghĩ tới phương pháp diện tích * Trình bày lời giải Kẻ BH  AC  H cố định  BH khơng đổi Ta có: S ABM  S AMC  S ABC  1 AB.DM  AC.ME  AC BH 2  1 AB  MD  ME   AC.BH (vì AB  AC ) 2 Do DM  ME  BH khơng phụ thuộc vào vị trí M cạnh BC Nhận xét: - Ngoài cách giải trên, cịn có cách giải khác sau: Kẻ MI vng góc với BH Chúng ta chứng minh MD  BI , ME  IH , từ suy DM  ME  BH không phụ thuộc vào vị trí M cạnh BC Trang - Tam giác ABC trường hợp đặc biệt tam giác cân, với kỹ thuật giải toán sau: Cho tam giác ABC Một điểm M thuộc miền cạnh tam giác ABC Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M đến cạnh tam giác ABC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M - Nếu cho điểm M chuyển động tia đối tia CB, ta có: S ABM  S AMC  S ABC Với kỹ thuật giải toán sau: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Một điểm M tùy ý tia đối tia CB Kẻ MD vng góc với cạnh AB, ME vng góc với AC Chứng minh hiệu MD  ME khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M - Bản chất cách giải dùng diện tích, kết hợp với AB  AC để chứng minh kết độ dài đường cao ứng với cạnh bên Với tư tưởng giải toán sau: Cho tam giác ABC Một điểm M thuộc miền góc A, nằm ngồi tam giác ABC Kẻ MD vng góc với cạnh AB, ME vng góc với AC, MK vng góc với BC Chứng minh rằng: MD  ME  MK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Ví dụ 5: Một hình chữ nhật giấy gấp theo đường chéo AC hình vẽ Diện tích hình nhận diện tích ban đầu Biết diện tích tam giác AMC 18cm a) Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu b) Chứng tỏ độ dài AM gấp lần độ dài BM Giải * Tìm cách giải : Nhận thấy gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo phần tờ giấy xếp chồng lên phần AMC Mặt khác, diện tích hình nhận diện tích ban đầu Từ suy câu a, cần biến đổi khéo léo giải Trong câu b, nhận thấy AM, BM độ dài hai cạnh hai tam giác AMC, BMC có chung đường cao kẻ từ C Do muốn so sánh AM BM nên so sánh diện tích AMC diện tích BMC * Trình bày lời giải a) Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo phần tờ giấy xếp chồng lên phần AMC Do diện tích nhận so với diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm diện tích MAC Tức giảm 18cm Diện tích hình nhận 5 diện tích hình chữ nhật ban đầu nên diện tích AMC bằng:   (diện tích hình 8 chữ nhật) Trang Do diện tích hình chữ nhật là: 18 :  48  cm  ; b) Diện tích tam giác ABC là: 48 :  24  cm2  Diện tích tam giác MBC là: 24  18   cm2  Hai tam giác MBC AMC có chung đường cao BC nên: AM S AMC 18    suy AM  3.MB MB SMBC Ví dụ 6: Cho hình thang ABCD  AB CD  Gọi O giao điểm AC BD Qua O kẻ đường thẳng d song song với CD Đường thẳng d cắt AD BC M N Chứng minh rằng: OM  ON Giải * Tìm cách giải : Khi nói diện tích hình thang, đặc trưng tam giác AOD; BOC có diện tích Khai thác yếu tố này, ta có: S AOM  S DOM  S BON  SCON Từ nhận xét trên, muốn so sánh OM ON so sánh tổng thể đường cao tương ứng với cạnh OM ON * Trình bày lời giải Kẻ AP vng góc CD cắt MN I; BQ vng góc CD cắt MN J; DK vng góc MN K; CH vng góc MN H; Ta có: 1 S ACD  CD AP; S BCD  CD.BQ 2 Mà AP  BQ , nên S ACD  S BCD  S AOD  S BOC Mặt khác, 1 1 S AOD  S AOM  S DOM  OM AI  OM DK  OM  AI  DK   OM AP 2 2 1 1 S BOC  S BON  SCON  ON BJ  ON CH  OM  BJ  CH   ON BQ 2 2 2 Suy ra: OM AP  ON BQ  OM  ON Trang Ví dụ 7: Cho xOy  90 có tia Oz phân giác Lấy điểm P cố định thuộc Oz  P  O  Qua P kẻ đường thẳng d cắt Ox, Oy M, N Chứng minh d thay đổi 1  OM ON khơng đổi Giải Kẻ PI  Ox, PH  Oy , ta có PI  PH khơng đổi Ta có: SOPM  SOPN  SOMN , nên: 1 OM PI  ON PH  OM ON 2 Chia hai vế cho Ta có: OM ON PI PH  1 ON OM Do PI  PH , nên ta có: 1   khơng ON OM PI đổi Ví dụ 8: Trong tam giác ABC nhọn gọi , hb , hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền tam giác đến BC, CA, AB Chứng minh rằng:  , hb , hc   x  y  z  max  , hb , hc  Giải Giả sử  hb  hc c  b  a Mà 2.S  ax  by  cz  ax  ay  az  x y z   (1) 2.S  ax  by  cz  cx  cy  cz  x y z   hc (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh III Bài tập vận dụng 12.1 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh AD cho S ABCD  144cm2 S ABE  S ABCD Tính độ dài đoạn AE Trang (Olympic Tốn Tuổi Thơ tồn quốc, năm 2014) 12.2 Cho hình thang ABCD  AB CD  Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, MN I, BC F Chứng minh IE  IF 12.3 Cho tam giác ABC Qua điểm O tùy ý nằm tam giác ta kẻ đường thẳng AO; BO; CO cắt BC, CA, AB M, N, P Chứng minh rằng: OM ON OP   1 AM BN CP 12.4 Cho ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB, AC AM D, E, F Chứng minh FD  FE 12.5 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm I AB lấy điểm K cho AI  CK Gọi O giao điểm AI CK Chứng minh OD tia phân giác góc AOC 12.6 Cho hình thang ABCD  AB CD  , AB  CD Lấy điểm M CD cho BM chia ABCD thành hai phần có diện tích Gọi N trung điểm AD Chứng minh MN BC 12.7 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc đoạn thẳng BC, CA, AB Các điểm X, Y, Z theo thứ tự thuộc đoạn thẳng NP, PM, MN Biết YZ; ZX; XY theo thứ tự song song với BC, CA, AB Chứng minh XP MB  XN MC 12.8 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD  3DA , CB lấy điểm E cho BE  4.EC Gọi F giao điểm AE CD Chứng minh FD  FC 12.9 Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB CD ta lấy hai điểm E F cho AE CF  Chứng minh đường chéo AC qua trung điểm I đoạn thẳng BE DF EF AC chia đơi diện tích tứ giác ABCD 12.10 Cho tam giác ABC vuông cân A hai đường phân giác BD CE Lấy điểm I đoạn thẳng DE Chứng minh : S IBC  S IAB  SIAC 12.11 Cho tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c ba đường cao ứng với ba cạnh có độ dài , hb , hc Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác đến cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1    hb hc r 12.12 Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF cắt I Chứng minh rằng: AI BI CI   1 AB AC BA.BC CA.CB Trang 12.13 Hai đường chéo tứ giác ABCD cắt O, chia tứ giác thành bốn tam giác có đỉnh O OAB, OBC, OCD, OAD Biết số đo diện tích tam giác số nguyên Chứng minh tích số đo diện tích tam giác số phương 12.14 Cho lục giác ABCDEF, đường chéo AD, BE, CF chia lục giác thành hai phần có diện tích Chứng minh AD, BE, CF đồng quy 12.15 Cho lục giác ABCDEF Gọi trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA L, M,N,P,Q,R Biết đoạn LP, MQ, NR chia lục giác thành hai phần có diện tích Chứng minh LP, MQ, NR đồng quy 12.16 Cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm cạnh AD, BC Đường thẳng EF cắt đường thẳng AB, CD M, N Chứng minh MA.NC  MB.ND Hướng dẫn giải 12.1 Ta có: S ABCD  AD2  144  cm2  nên AD  12cm Mặt khác: S ABE  S ABCD nên  AE  1 AB AE  AB AD 2 AD  12   cm  3 12.2 Ta có: AM  MB; DN  CN , mà AMND BCNM hình thang có chung đường cao, nên S AMND  S BCNM Ta có: S AMI  S BMF AM  BM đường cao hạ từ E; F Ta có: S DEN  S FCN ND  NC đường cao hạ từ E; F  S EMN  S FMN Kẻ EK  MN ; FH  MN nên EK  FH Suy EKI  FHI nên EI  FI Trang 12.3 Đặt diện tích OBC , OAC , OAB, ABC S1 ; S ; S3 S Áp dựng tỉ số diện tích hai tam giác có chung đường cao tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: OM SOBM SOCM SOBM  SOCM S1     AM S ABM S ACM S ABM  S ACM S ON SOAN SOCN SOAN  SOCN S2     AN S ABN S BCN S ABN  S BCN S OP SOAP SOBP SOAP  SOBP S3     CP S ACP SCBP S ACP  SCBP S Mà S1  S2  S3  S Từ suy ra: OM ON OP S1 S S3      1 AM BN CP S S S 12.4 Vẽ AI  EF , BH  EF , CK  EF Ta có: MB  MC nên S ABM  S ACM ; S FBM  S FCM Suy S ABF  S ACF  S ADF  S BDF  S AEF  SCEF  1 DF  BH  AI   EF  AI  CK  2 Mà BD  CK suy DF  EF 12.5 Vẽ DM  AI ; DN  CK  M  AI , N  CK  Ta có: S DCK  S ABCD S ADI  S ABCD 2 nên S DCK  S ADI  AI DM  CK DN Mặt khác AI  CK , suy DM  DN  D cách hai cạnh góc AOC Vậy OD tia phân giác góc AOC 12.6 Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE  AB Tứ giác ABDE hình bình hành, mà N trung điểm AD  N trung điểm BE Trang Ta có: ABN  DEN , nên S ABN  S DNE  S ABCD  S BCE Điểm M thuộc CD cho BM chia ABCD thành hai phần có diện tích nhau:  S BMC  1 S ABCD  S BCE 2  CM  CE  CM  ME BCE có MC  ME , NB  NE  MN đường trung bình BCE  MN BC 12.7 Nối MX ; BX ; BY ; CX ; CZ Ta có: XP SMXP SMXY  S PXY   XN SMXN SMXZ  S NXZ Từ đó, với ý rằng: BP YZ S PXY  S BXY CN ZX S NXZ  SCXZ Ta có: XP SMXY  S BXY  XN SMXZ  SCXZ (1) Mặt khác YZ BC nên ta có: MB S XMB SYMB S XMB  SYMB    MC S XMC SZMC S XMC  SZMC  SMXY  S BXY SMXZ  SCXZ (2) Từ (1) (2) suy ra: XP MB  XN MC 12.8 Kẻ DH  AE ; CK  AE Ta có: S AEC EC S ADE AD   ;   S ABE BE S ABE AB (vì BE  4.EC ; BD  3.DA )  S AEC S ADE   S AEC  S ADE  CK  DH S ABE S ABE Suy HFD  KFC (vì H  K  90; FHD  FCK ; CK  AH ) Trang 10  FD  FC 12.9 Kẻ DD, BB, EH , FK vng góc với AC Do EH BB  FK DD  mà EH AE  BB AB FK CF  DD CD AE CF EH FK   gt  suy    AB CD BB DD Ta có: HIE  KIF (vì IE  IF , HIE  KIF )  HE  FK BB  DD Suy ra: S ACD  S ABC Vậy AC chia đơi diện tích tứ giác ABCD 12.10 Ta thấy ABD  ACE  g.c.g  nên AD  AE Vậy tam giác ADE vuông cân A  ADE  AED  45 Do DE BC nên S IBC  S DBC (1) Dựng DH  BC  H  BC  Ta thấy DBH  DBA (cạnh huyền –góc nhọn) nên DH  DA S DBC BC.DH BC Suy ra:    S DBA AB AB.DA hay S DBC  S ABC  S DBC Từ (1) (2) suy ra: (2) S IBC S IBC  2  S ABC  S IBC S IAB  S IAC Trang 11 12.11 Vận dụng hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai đường cao ứng với cạnh là: r SOBC r SOAC r SOAB  ;  ;  S ABC hb S ABC hc S ABC  r r r SOBC  SOAC  SOAB    1 hb hc S ABC Vậy 1 1    hb hc r 12.12 Gọi M; N; P điểm đối xứng I qua AB, AC, BC Gọi IM giao AB H; IN giao AC K; IP giao BC J  Ta có: MAI  BAC  2.BAI nên:  S AMI AM AI hay  S ABC AB AC S S AI  AHM  AHIK AB AC S ABC S ABC Tương tự, ta có: (1) S S BI  BPI  BHIJ AB AC S ABC S ABC (2) S S CI  CNI  CKIJ AB AC S ABC S ABC (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh 12.13 Gọi S1 , S2 , S3 , S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB, OBC , OCD, OAD Suy S1 OA  S2 OC Tương tự (1) S3 OA  S4 OC Từ (1) (2) ta có: (2) S1 S4  S S3 Suy S1S3  S2 S4 nên S1S2 S3S4   S1S3  số phương Trang 12 12.14 Giả sử AD, BE, CF không đồng quy, gọi giao điểm cặp đường chéo AD BE M, BE CF N, CF AD P Do M không thuộc CF nên M nằm trong hai tứ giác FABC CDEF, giả sử M nằm tứ giác FABC Theo giả thiết AD, BE chia đa giác ABCDEF thành hai phần có diện tích nên S ABCD  S BCDE   S ABCDEF  S MAB  S MDE SMAB MA.MB 1 1 SMDE MD.ME  MA.MB  MD.ME  PD.NE (1) Chứng minh tương tự, ta có: SCDEF  S DEFA  S ABCDEF  S PCD  S PFA  PC.PD  PF.PA  NF.MA S EFAB  S FABC  (2) S ABCDEF  S NEF  S NBC  NE.NF  NB.NC  MB.PC (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: MA.MB.PC.PD.NE.NF  MA.MB.PC.PD.NE.NF vơ lí Vậy AD, BE, CF đồng quy 12.15 Gọi giao điểm LP MQ O, ta có: SOLA  SOLB Đặt S1  SOLA  SOLB , Tương tự S2  SOMB  SOMC , S3  SONC  SOND , S4  SOPD  SOPE , S5  SOQE  SOQF , S6  SORF  SORA , S ABCDEF  S , S LBCDP  S MCDEQ  S,  SOLBM  SOPEQ  S1  S2  S4  S5  SOABC  SODEF Cộng hai vế với S3  S6 được: Trang 13 S RABCNO  S NDEFRO  S , mà NR chia lục giác thành hai phần có diện tích nên O phải thuộc NR Vậy LP, MQ, NR đồng quy 12.16 Ta có: MA SEAM SFAM SEAM  S FAM S FAE     MB SEBM SFBM SEBM  S FBM S EBF (1) ND S EDN S FDN S EDN  S FDN S FDE     NC S ECN S FCN S ECN  S FCN S ECF (2) Vì E, F trung điểm AD BC nên ta có: S FAE  S FDE , S EBF  S ECF (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: MA ND   MA.NC  MB.ND MB NC Trang 14