hinh lang tru dung hinh hoc toan 8

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG I Phương pháp giải Mơ tả hình dạnh lăng trụ đứng Hình 19.1 cho ta hình ảnh hình lăng trụ đứng * Các mặt bên hình chữ nhật * Các cạnh bên song song * Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song * Các cạnh bên mặt bên vng góc với hai mặt phẳng đáy Diện tích xung quanh – Thể tích hình lăng trụ đứng * Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao Sxq  p.h ( p nửa chu vi đáy; h chiều cao) S  S xq  2S đ ¸y * Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao V  S.h ( S diện tích đáy; h chiều cao) II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC Gọi D, E , F theo thứ tự trung điểm AA, BB, AC  Chứng minh mp  AEC   // mp  DBF  Giải (h.19.2) * Tìm cách giải Muốn chứng minh mp  AEC  // mp  DBF  ta chứng minh hai đường thẳng giao mp  AEC tương ứng song song với hai đường thẳng giao mp  DBF  * Trình bày lời giải Ta có: AD // EB AD  EB nên tứ giác AEBD hình bình hành Suy AE // DB (1) Xét ACA có DF đường trung bình nên DF // AC (2) Từ (1) (2) suy mp  AEC //mp  DBF  Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC , đáy ABC tam giác vuông A a) Chứng minh mp  ABBA  mp  ACC A  b) Gọi M điểm cạnh BC Chứng minh mp  AAM   mp  ABC   c) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để độ dài AM nhỏ Giải (h.19.3) * Tìm hướng giải Muốn chứng minh mp  ABBA  mp  ACC A  ta chứng minh đường thẳng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng * Trình bày lời giải a) ta có: AB  AA AB  AC nên AB  mp  ACC A  Mặt khác AB  mp  ABBA nên mp  ABBA  mp  ACC A  b) Hình lăng trụ ABC.ABC hình lăng trụ đứng nên AA  mp  ABC  Mặt khác, AA  mp  AAM  nên mp  AAM   mp  ABC   c) Xét AAM vuông A , ta có: AM  AA2  AM AA khơng đổi Vậy AM nhỏ  AM nhỏ Xét mp  ABC   ta có AM nhỏ  AM  BC Vậy để độ dài AM nhỏ M phải hình chiếu A BC Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC đáy tam giác vng cân A Biết hình trụ có chiều cao 4m thể tích 18m Tính diện tích tồn phần Giải (h.19.4) V h Ta có: V  S h  S  Vậy diện tích đáy hình lăng trụ là: S 18  4.5  m  Vì ABC vng cân A nên S  AB Do AB  4.5  AB   AB   m  Suy BC   m  Diện tích xung quanh hình lăng trụ là:   Sxq  ph     24  12  m2  Diện tích toàn phần là: Stp  24  12   33  12  50  m2  Ví dụ Một hình lăng trụ (tức lăng trụ có đáy đa giác đều) có tất 18 cạnh, cạnh dài 3cm Tính thể tích hình lăng trụ Giải * Tìm cách giải Để tìm thể tích lăng trụ đứng biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy Đáy đa giác đều, biết độ dài cạnh nên cần biết số cạnh đáy xong * Trình bày lời giải Gọi số cạnh đáy n Khi số cạnh bên n Suy tổng số cạnh hình lăng trụ đứng n  n  n  3n Theo đề ta có: 3n  18  n  Vậy hình lăng trụ đứng cho hình lăng trụ lục giác Có thể coi diện tích đáy tổng diện tích tam giác đều, cạnh 3cm (h.19.5) 4 3 Do diện tích đáy là: S   72  cm2  Thể tích hình lăng trụ là: V  S.h  72 3.4  864  cm3  III Bài tập vận dụng * Chứng minh song song, vng góc Tính chiều cao 19.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC Gọi E G trọng tâm tam giác ABB ACC Trong mặt bên ABBA vẽ EM // BB  M  AB  Trong mặt bên ACCA vẽ GN // CC  N  AC  Chứng minh mp  MNGE  // mp  BCC B 19.2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có cạnh đáy AB  AC  10cm BC  12cm Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh BC  mp  AAM  b) Cho biết AM  17cm , tính diện tích tồn phần hình lăng trụ 19.3 Một hình lăng trụ có tổng số mặt, số đỉnh số cạnh 26 Biết thể tích hình lăng trụ 540cm , diện tích xung quanh 360cm Tính chiều cao hình lăng trụ 19.4 Hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a , góc nhọn 30 Cho biết diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng hai lần diện tích xung quanh Tính chiều cao hình lăng trụ * Tinh diện tích, tính thể tích 19.5 Hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB  5cm, AC  12cm chiều cao AA  10cm Biết diện tích xung quanh hình lăng trụ 300cm , tính thể tích 19.6 Một hình lăng trụ đứng có đáy hình thoi với đường chéo 16cm 30cm Diện tích tồn phần hình lăng trụ 2680cm2 , tính thể tích 19.7 Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.ABCDE có cạnh đáy a Biết hiệu diện tích xung quanh hai hình lăng trụ đứng ABCE.ABCE CDE.CDE 4a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ cho 19.8 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D Biết AB  AD  a, BCD  45 AC  3a Tính: a) Thể tích hình lăng trụ đứng; b) Diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng 19.9 Có bạt hình chữ nhật kích thước a  b  a  b  Dùng bạt để dựng lều trại có dạng hình lăng trụ đứng, hai đáy (tức hai cửa) hai tam giác vuông cân Cả bạt thành hai mái lều che sát mặt đất a) Chứng minh dù căng bạt theo chiều dài hay chiều rộng diện tích mặt đất bên lều b) Trong hai trường hợp trên, trường hợp thể tích khơng khí bên lều lớn hơn? 19.10 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình thoi Biết thể tích 1280cm chiều cao 20cm Tính giá trị nhỏ diện tích xung quanh 19.11 Một đèn lồng có dạng hình lăng trụ đứng, chiều cao 40cm đáy lục giác cạnh 18cm a) Tính diện tích giấy bóng kính để làm mặt xung quanh đèn b) Tính thể tích đèn c) Nếu giữ nguyên chiều cao đèn phải giảm độ dài cạnh đáy lần để thể tích đèn giảm hai lần Hướng dẫn giải 19.1 (h.19.6) Gọi F giao điểm AB BA Gọi H giao điểm AC CA Vì E tâm ABB nên BE  BF  BA 3 Vì G trọng tâm ACC nên CG  CH  CA 3 Ta có: EM // BB  EM // AA; GN // CC  GN // AA Xét BAA có EM // AA nên BM BE   BA BA (1) Xét CAA có GN // AA nên CN CG   CA CA (2) Từ (1) (2) suy BM CN       Do MN // BC BA CA   Mặt khác, ME // BB nên mp  MNGE  // mp  BCC B 19.2 (h.19.7) a) Các mặt ABBA ACCA hình chữ nhật có kích thước nên đường chéo chúng phải nhau: AB  AC Xét ABC cân A , có AM đường trung tuyến nên AM  BC (1) Xét ABC cân A , có AM đường trung tuyến nên AM  BC (2) Từ (1) (2) suy ra: BC  mp  AAM  b) Xét ABM vng M , ta có: AM  102  62   cm  Xét AAM vuông A , ta có: AA  172  82  15  cm  Diện tích xung quanh hình lăng trụ là: S xq  p.h  10  10  12  15  480  cm2  Diện tích đáy hình lăng trụ : S  BC  AM  12.8  48  cm  2 Diện tích tồn phần hình lăng trụ là: Stp  480  48.2  576  cm2  19.3 Gọi số cạnh đáy n Khi tổng số cạnh hình lăng trụ 3n ; tổng số đỉnh 2n tổng số mặt n  Theo đề bài, ta có:  n  2  2n  3n  26  n  Vậy hình lăng trụ có đáy hình vng Ta có: V  S.h  540  cm3  ; S xq  p.h  360  cm2  S h S a2 V 540    Do   a   cm   Suy hay p.h 2p 4a S xq 360 Chiều cao hình lăng trụ là: h  V Sđ ¸ y  540  15  cm  36 19.4 Vì diện tích tồn phần hai lần diện tích xung quanh nên diện tích hai đáy diện tích xung quanh (1) Xét đáy hình thoi ABCD cạnh a , góc nhọn 30 (h.19.8) a Vẽ AH  CD , ta có: AH  AD  a a2 S  a  (2) Diện tích ABCD là: đ ¸ y 2 Ta có Sxq  ph  4a.h Từ (1), (2) (3), ta được: (3) a2 a  4ah  h  19.5 (h.19.9) Từ công thức Sxq  p.h suy p  S xq h Vậy chu vi hình lăng trụ đứng là: 2p  300  30  cm  10 Suy BC  30    12   13  cm  Ta có BC  AB  AC (vì 132  52  122 ) Do ABC vng A Diện tích đáy hình lăng trụ là: S 1 AB AC  5.12  30  cm  2 Thể tích lăng trụ là: V  S.h  30.10  300  cm3  19.6 (h.19.10) Diện tích đáy hình lăng trụ là: S  16.30  240  cm  Diện tích xung quanh là: S xq  2860  240.2  2380  cm2  Độ dài cạnh đáy là: AB  OA2  OB  82  152  17  cm  Chu vi đáy là: 17.4  68  cm  Chiều cao hình lăng trụ là: h S xq 2p  2380  35  cm  68 Thể tích hình lăng trụ là: V  S.h  240.35  8400  cm3  Vậy thể tích cốc 54cm3 19.7 (h.19.11) Gọi h chiều cao hình lăng trụ Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng ABCE.ABCE là: S1   AB  BC  CE  EA h   3a  CE  h Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng CDE.CDE là: S2   CD  DE  EC  h   2a  CE  h Vì S1  S2  4a nên  3a  CE  2a  CE  h  4a Hay a.h  4a  h  4a : a  4a Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng cho là: S xq  p.h  5a.4a  20a (đvdt) 19.8 (h.19.12) a) Xét hình thang ABCD vng A D Vẽ BH  CD (h.19.13) Tứ giác ABHD hình vuông HBC vuông cân H Suy DH  AB  AD  BH  CH  a; CD  2a; BC  a Xét DAC vng D có: AC  AD2  DC  a   2a 2  5a2 Suy AC 2  5a Trong hình lăng trụ đứng, cạnh bên vng góc với đáy nên AA  mp  ABC D   AA  AC  Xét AAC vuông A , ta có: AA  AC 2  AC 2  9a  5a  2a Diện tích đáy hình lẳng trụ là: AB  CD  AD  a  2a  a 3a  S   Thể tích hình lăng trụ là: V  S h  2 3a 2a  3a b) Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là:   Sxq  a  a  2a  a 2a  8a  2a Diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng là: 3a Stp  8a  2a   11a  2a 2 19.9 (h.19.14) a) Xét trường hơp thứ nhất: Tấm bạt căng theo chiều dài (h.a) Ta có: BC  AB  b 2 Diện tích mặt đất bên lều là: S1  BC.CC   b ab (đvdt) 2a  2 Xét trường hợp thứ hai: Tấm bạt căng theo chiều rộng (h.b) Ta có: EF  DE  a 2 Diện tích mặt đất bên lều là: S2  EF FF   a ab (đvdt) .b  2 So sánh hai kết ta thấy S1  S b) Xét trường hợp thứ nhất: Thể tích khơng khí bên lều là: 1b V1    a  ab2 (đvdt) 22 Xét trường hợp thứ hai: Thể tích khơng khí bên lều là: 1a V2    b  a 2b (đvdt) 2 2 8 8 Ta có: V2  V1  a 2b  ab  ab  a  b   (vì a  b ) Suy ra: V2  V1 Vậy căng tám bạt theo chiều rộng thể tích khơng khí bên lều lớn 19.10 (h.19.15) Ta đặt AC  2m; BD  2n Diện tích đáy ABCD là: S  2m.2n  2mn Mặt khác: S  V 1280   64  cm  h 20 Vậy 2m.n  64  cm2  Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là: Sxq  AB.20  80 AB Vậy S xq nhỏ AB nhỏ Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có AC  BD O Xét AOB vng O , ta có: AB  OA2  OB  m  n Mặt khác m  n  2mn Do AB  64  AB   cm  Vậy giá trị nhỏ AB 8cm m  n tức ABCD hình vng Giá trị nhỏ diện tích xung quanh 4.8.20  640  cm2  19.11 (h.19.16) a) Chi vi đáy đèn là: 18   108  cm  Diện tích xung quanh đèn là: Sxq  p.h  108  40  4320  cm2  Vậy diện tích giấy bóng kính để làm mặt xung quanh đèn 4320  cm2  b) Diện tích đáy đèn là: a2 182 S   486  cm2  4 Thể tích đèn lồng là: V  S.h  486 3.40  19440  cm3   33671 cm3  c) Gọi a b độ dài cạnh đáy đèn lồng trước sau giảm thể tích Gọi S1 S diện tích đáy tương ứng Khi đó: V1  S1.h;V2  S2 h Ta có: V1 S h S a 3.6 b 3.6 2 2 2 :  V2 S2 h S2 4  a : b2   a : b  Vậy độ dài cạnh đáy phải giảm lần  ... xq  286 0  240.2  2 380  cm2  Độ dài cạnh đáy là: AB  OA2  OB  82  152  17  cm  Chu vi đáy là: 17.4  68  cm  Chiều cao hình lăng trụ là: h S xq 2p  2 380  35  cm  68 Thể... nhỏ AB 8cm m  n tức ABCD hình vng Giá trị nhỏ diện tích xung quanh 4 .8. 20  640  cm2  19.11 (h.19.16) a) Chi vi đáy đèn là: 18   1 08  cm  Diện tích xung quanh đèn là: Sxq  p.h  1 08 ... ta có: AA  172  82  15  cm  Diện tích xung quanh hình lăng trụ là: S xq  p.h  10  10  12  15  480  cm2  Diện tích đáy hình lăng trụ : S  BC  AM  12 .8  48  cm  2 Diện tích