Sáng kiến kinh nghiệm thpt xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh thpt

CỘNG HỊA XàHỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập ­ Tự do ­ Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng thâm đinh  ̉ ̣ sáng kiến tỉnh Ninh Binh ̀ 1. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm: Trình  TT Họ và tên  1 Doan Huy Tung ̃ ̀ Đinh Cao Thượng Lê Thị Lan Anh Nguyễn Xuân Trường Nơi Chức  độ  công tác danh chuyên THPT  Kim Sơn A THPT  Kim Sơn A THPT  Kim Sơn A THPT  n Mơ A Tỷ lệ %  đóng góp  vào việc  tạo ra  Ghi  môn sáng kiến Thư ký  HĐGD Đại học 40% Đồng  tác giả Phó hiệu  trưởng Thạc sỹ 20% Đồng  tác giả Phó hiệu  trưởng Thạc sỹ 20% Đồng  tác giả Phó hiệu  trưởng Thạc sỹ 20% Đồng  tác giả Là đồng tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: Xây dựng mơt sơ dang toan ̣ ́ ̣ ́  đêm d ́ ựa trên bai toan “chia keo Euler” nhăm phat triên năng l ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ực giai toan Tô h ̉ ́ ̉ ợp ­   Xac suât cua hoc sinh THPT ́ ́ ̉ ̣ 2. Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến:  ­ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo ­ Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020.  3. Các từ viết tắt: ­ THPT: Trung học phổ thông ­ SGK: Sách giáo khoa 4. Nội dung sáng kiến 4.1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm ­ Hạn chế của giải pháp cũ Trong chương trình tốn THPT các bài tốn đêm va xac st ln là các bài tốn khi ́ ̀ ́ ́ ến đa sớ  học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng.  Xét bài tốn nổi tiếng trong tốn học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler”  “Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”.  Kết quả  và cách tư  duy lời giải của bài tốn này được  ứng dụng giải quyết   một số bài tốn sau:  + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Cơng nghệ thơng tin Chất lượng cao (2021­2022) (ĐHCN­ ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải qn qn trong một kì thi lập trình danh giá. Ban tổ  chức trao thưởng   theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có q đặc biệt.  Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả q trong k hộp đã chọn. Ban tổ chức cho Alice  biết rằng, khơng có hai hộp q đặc biệt nào được xếp cạnh nhau. Nhằm tăng xác suất chọn được   cả k hộp q đặc biệt. Alice quyết định sẽ chọn k hộp q mà khơng có hai hộp nào cạnh nhau u cầu: Cho hai số ngun dương n và k. Gọi C là số cách chọn k hộp mà khơng có hai hộp nào  đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép tốn chia lấy dư) + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có  thể có hộp khơng có viên bi nào) a. Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một  hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau) + Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3  học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế  đó, sao cho mỗi ghế  có   đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: A.   B.  C.  D.  + Một số bài tốn khác ­ (Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng)  Ơng An trơng 3 cây lim, 4 cây long nao va 5 cây ̀ ̃ ̀   xa c ̀ ư trên môt hang môt cach ngâu nhiên. Tinh xac suât đê không co 2 cây xa c ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ́ ́ ́ ̉ ́ ̀ ừ nao đ ̀ ược trơng canh ̀ ̣   nhau? ­ (Bài tốn bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên  B được b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người. Có bao nhiêu cách sắp xếp việc   bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu? ­ (Bài tốn mua vé): Có m + n người đang đứng quanh quầy vé, trong đó có n người chỉ có  tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000. Đầu tiên ở  quầy khơng có tiền, vé giá 5.000. Hỏi có bao   nhiêu cách xếp m  + n người thành một hàng để khơng một người nào phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài tốn trên, chúng tơi nhận thấy một số vấn đề liên  quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng  nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết  các bài tốn trong nội dung này  Các bài tốn nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất  phát từ những vấn đề trong thực tế. Điều này phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT mới 2018   nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống  Để giải quyết các bài tốn cần sử  dụng tốn nền tảng (kiến thức chương II ĐS> 11  Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và cịn được trang bị trong nội dung chương trình cả  3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử  dụng phương pháp tư  duy được đề  cập   đến trong bài tốn “Chia kẹo Euler”  Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ  chủ  yếu dừng lại mức nhận   biết và thơng hiểu;  trong khi nội dung này được đề  cập đến trong các đề  thi đại học ; thi THPT   Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia ; thi kiểm tra  đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả  mức vận dụng và vận dụng cao. Mặt khác các   bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũng khơng được phân chia theo dạng và định hướng các   phương pháp tư duy cho học sinh.   Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như khơng đề cập đến một cách  hệ  thống các bài tốn theo phương pháp tư  duy  được trình bày trong lời giải bài tốn “Chia kẹo  Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác  Vấn đề dạy học của giáo viên:  Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tơ h ̉ ợp xac st giáo viên g ́ ́ ặp phải rất   nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài tốn,   chia cac dang toan sao cho h ́ ̣ ́ ợp ly nhât. Thơng th ́ ́ ường đa sô giao viên chi day sao cho hoc sinh năm ́ ́ ̉ ̣ ̣ ́   được cang nhiêu bai cang tôt, đê t ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ừ đo khi đi thi găp bai quen thuôc la co thê lam đ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ược. Hoặc nếu có   định hình chia dạng để dạy cho học sinh thì cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia   vào bài tốn (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều   cách tư  duy để  giải quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng)  Điều này hạn chế  tính   logic trong việc xâu chuỗi các bài tốn trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh   phải ghi nhớ  rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng tốn. Từ  đó khơng phát huy được   tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong q trình giải tốn  Vấn đề học của học sinh:  Đa số học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ  động, lười tư  duy tìm tịi và sáng tạo; khả  năng tự học chưa cao. Do đó, khi tiếp cận bài tốn thuộc nội dung này tuy rằng có thể  hiểu được   lời giải nhưng khả  năng vận dụng để  giải quyết các bài tốn khác cịn hạn chế  do chưa hiểu rõ   phương pháp tư duy 4.2. Giải pháp mới: ­ Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học ( Phụ lục 2), cung cấp các dạng  bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết quả của bài tốn “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6) + Vận dụng tư duy của lời giải bài tốn “Chia kẹo Euler” đó là tư duy “vách ngăn”.  cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh ­ Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cơ đọng và ngắn gọn nhất.  ­ Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ  thống, có phân chia các mức độ, q trình  hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ  đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài tốn lạ ­ Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh  có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân * Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể được tóm tắt như sau: ­ Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đai sơ tơ h ̣ ́ ̉ ợp va xac ̀ ́  suât ́ ­ Phần thứ hai: Giơi thiêu nôi dung bai toan “chia keo Euler”, cach giai va cac kêt qua ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ­ Phần thứ ba: Xây dựng môt sô dang toan th ̣ ́ ̣ ́ ương găp vân dung kêt qua va cach t ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ư duy cua bai toan ̉ ̀ ́  “chia keo Euler”, cu thê gôm 7 dang: ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ + Dang 1 ̣ : Đêm sô nghiêm nguyên cua ph ́ ́ ̣ ̉ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh ̀ + Dang 2 ̣ : Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ + Dang 3 ̣ : Đêm sô ́ ́ + Dang 4 ̣ : Đêm sô tâp con ́ ́ ̣ + Dang 5 ̣ : Đêm hinh hoc ́ ̀ ̣ + Dang 6 ̣ : Lươi toa đô ́ ̣ ̣ + Dang 7 ̣ : Cac bai toan vân dung “ ́ ̀ ́ ̣ ̣ tư duy vach ngăn ́ ” ­ Phần thứ tư: Hê thông bai tâp vân dung d ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ưới hinh trăc nghiêm ̀ ́ ̣ ­ Phâǹ  thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh   nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liên quan trong q trình học   tập Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong q trình học tập. Kiến   thức cần thiết chỉ nằm trong khn khổ  của sách giáo khoa hiện hành, khơng phải nhớ  q nhiều   dạng bài tập một cách máy móc, khơng phải tốn kém trong q trình mua tài liệu tham khảo.  Khi   tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài  tốn dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn. Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài  tốn khơng phải áp đặt theo một khn mẫu định sẵn Các giải pháp mới nêu ra đều sử  dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học   ngay trên lớp. Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho   bài tốn trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận. Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài tốn cụ  thể ln tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh. Các bài tập vận dụng giải pháp   mới hầu như là những bài tốn đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi   đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hồn tồn mới mẻ  nhưng đồng  thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh 5. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 5.1. Hiệu quả về kinh tế: + Tai li ̀ ệu in ấn giá thành thấp + Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêm gây lãng   phí và tốn kém 5.2. Hiệu quả xã hội + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành. Sáng kiến tập trung vào  việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải. Hệ thống ví dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp  ứng được u cầu về đổi mới. Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc  biệt bài tập tự  luyện chỉ  xây dựng dưới hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử  hiện  tại. Các bài tốn trong đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây;   đề thi HSG tỉnh và quốc gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư  duy  của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng +  Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh,   phù hợp với các u cầu của  chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập. Phát huy được sự hứng  thú và niềm đam mê trong học tập. Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểm tra định kì hoặc các cuộc   thi học sinh giỏi;  + Tính kết nối và chia sẻ: Thơng qua trao đổi và chia sẻ  sáng kiến này với các giáo viên   trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới,  xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến   giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều cơng sức trong việc soạn bài, chuẩn bị  bài lên lớp. Đặc  biệt, giúp giáo viên có được một số dạng tốn hay để  có thể  áp dụng trong q trình biên soạn đề  thi. Trong nhóm tác giả  của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề  thi của Sở; ngân   hàng đề thi của Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên cứu cần đề  cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong mơn  Tốn tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim   Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Nội dung Kết quả  Học sinh giỏi THPT cấp  tỉnh Năm 2019­2020 Năm 2020­2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 02/03 giải 02/03 giải  (02 giải Khuyến khích) (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải Kết quả  Học sinh giỏi lớp 12 cấp    ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến  tỉnh khích) Số lượng học sinh được nhận giải  thưởng   Đinh   Bộ   Lĩnh     có   kết   cao trong kỳ  thi THPT Quốc   gia Điểm trung bình mơn Tốn trong  kì thi tốt nghiệp THPT 03/03 đạt giải (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) 23 học sinh 35 học sinh (Có tổng điểm ba mơn của các khối thi  truyền thống trên 27,25 điểm) (Có tổng điểm ba mơn của các khối  thi truyền thống trên 27,0 điểm) ĐTB mơn Tốn là 8,32 ĐTB mơn Tốn là 8,15 (ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,22 (ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,06 ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,68) ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến trong mơn Tốn tại trường THPT  n Mơ  A, huyện n Mơ , tỉnh  Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Nội dung Kết quả  Học sinh giỏi  THPT  cấp tỉnh Kết quả  Học sinh giỏi lớp 12  cấp tỉnh Số  lượng học sinh được nhận  giải  thưởng  Đinh Bộ  Lĩnh do  có   kết     cao     kỳ   thi   THPT Quốc gia Năm 2019­2020 Năm 2020­2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì)  (02 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 04/06 đạt giải 06/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) (03 giải Nhì, 02 giải Ba và 01 giải  Khuyến Khích) 08 học sinh  12 học sinh  (Có tổng điểm ba mơn của các khối thi  truyền thống trên 27,25 điểm) (Có tổng điểm ba mơn của các khối thi  truyền thống trên 27,00 điểm) Điểm trung bình mơn Tốn  trong kì thi tốt nghiệp THPT ĐTB mơn Tốn là 7,83 ĐTB mơn Tốn là 7,64 (ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,22 (ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,06 ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,68) ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,61) Các kết quả nổi bật khác: ­ Trong nhóm tác giả, có thầy Dỗn Huy Tùng giáo viên Tốn THPT Kim Sơn A trong   hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Tốn lớp 12 đều có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn   HSG lớp 12 cấp tỉnh ­ Các thầy cơ trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng dạy trực  tiếp bộ mơn Tốn cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt   vịng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20 ­ Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hồng Anh lớp 12B1 trường THPT   Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình ở 2 khối thi là B và D07.  6. Điều kiện và khả năng áp dụng: 6.1. Điều kiện áp dụng: ­  Học sinh  lớp 11,12 THPT  theo chương trình hiện hành; sau này cả  lớp 10,11,12  THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới) ­ Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT 6.2. Khả năng áp dụng: + Đáp  ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cực nhằm   phát triển năng lực phẩm chất. (Do giải pháp được trình bày dưới dạng một chủ đề dạy học) + Đáp  ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấn đề  thực tiễn   của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018; xu thế ra đề  thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL… + Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể  phải tiến hành theo hình   thức trực tuyến. Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trị có hạn chế hơn, u cầu với người   học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tịi. Vì vậy, càng thấy được tính khả thi của giải pháp được   đề cập đến Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHĨM TÁC GIẢ Doan Huy Tung ̃ ̀ PHỤ LỤC 1 Phần 1. MƠ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong q   trình giảng dạy ơn tập cho cac l ́ ơp va ơn thi hoc sinh gioi t ́ ̀ ̣ ̉ ại  02 nhà trường THPT Kim sơn A và  THPT n Mơ A. Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội   dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến được nhom tac gia xây d ́ ́ ̉ ựng thanh cac dang toan th ̀ ́ ̣ ́ ương găp trong đo ̀ ̣ ́  vân dung kêt qua va t ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ư duy lơi giai cua bai toan “chia keo Euler”,  ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ ở môi dang đ ̃ ̣ ược thiêt kê theo câu ́ ́ ́  truc: Vi du – L ́ ́ ̣ ời giai – Nhân xet, h ̉ ̣ ́ ướng suy ln va t ̣ ̀ ư duy Sáng kiến ngồi là nguồn tài liệu cho các thầy cơ trong q trình giảng dạy cịn là tư liệu để  các em học sinh tự học một cách tốt nhất. Các em học sinh có thể  đọc lời giải và các hướng dẫn   suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày   trong sáng kiến Phần 2. MÔT SÔ DANG TOAN TH ̣ ́ ̣ ́ ƯƠNG GĂP VÂN DUNG KÊT QUA VA T ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ Ư  DUY  LƠI GIAI CUA BAI TOAN “CHIA KEO EULER” ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ 2.1. KIÊN TH ́ ƯC C ́ Ơ BAN ̉ 2.1.1. Hai quy tăc đêm c ́ ́ ơ ban ̉ Sô phân t ́ ̀ ử cua tâp h ̉ ̣ ợp hưu han  ̃ ̣ A được ki hiêu la  hoăc  ́ ̣ ̀ ̣ 2.1.1.1. Quy tăc công ́ ̣ Môt công viêc đ ̣ ̣ ược hoan thanh b ̀ ̀ ởi môt trong hai hanh đông. Nêu hanh đông nay co m ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́   cach th ́ ực hiên, hanh đông kia co n cach th ̣ ̀ ̣ ́ ́ ực hiên không trung v ̣ ̀ ơi bât ki cach nao cua hanh đông ́ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ̣   thứ nhât thi công viêc đo co m + n cach th ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ực hiên ̣ Chu y ́ ́:  + Quy tăc công đ ́ ̣ ược phat biêu  ́ ̉ ở trên co thê tông quat cho công viêc đ ́ ̉ ̉ ́ ̣ ược hoan thanh ̀ ̀   bới nhiêu hanh đông ̀ ̀ ̣  + Quy tăc công đ ́ ̣ ược phat biêu  ́ ̉ ở trên thực chât la quy tăc đêm sô phân t ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ử cua hai tâp ̉ ̣   hợp hưu han không giao nhau:  ̃ ̣ Nêu A va B la cac tâp h ́ ̀ ̀ ́ ̣ ợp hữu han không giao nhau, thi:  ̣ ̀  + Quy tăc công con đ ́ ̣ ̀ ược mở rông đôi v ̣ ́ ới cac tâp h ́ ̣ ợp hưu han, co giao khac rông. Co ̃ ̣ ́ ́ ̃ ́  thê ch ̉ ưng minh đ ́ ược răng, v ̀ ới hai tâp h ̣ ợp hưu han  ̃ ̣ A va ̀B bât ki, ta co: ́ ̀ ́  (quy tăc bao ham va loai tr ́ ̀ ̀ ̣ ư)̀ Hoăc v ̣ ới 3 tâp h ̣ ợp hưu han ̃ ̣  A,B,C ta co:́ 2.1.1.2. Quy tăc nhân ́ Môt công viêc đ ̣ ̣ ược hoan thanh b ̀ ̀ ởi hai hanh đông liên tiêp. Nêu co m cach th ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ực hiên  ̣ hanh đông th ̀ ̣ ứ nhât va  ́ ̀ứng với môi cach đo co n cach th ̃ ́ ́ ́ ́ ực hiên hanh đông th ̣ ̀ ̣ ứ hai thi co m.n cach  ̀ ́ ́ hoan thanh công viêc ̀ ̀ ̣ Chu y ́ ́: Quy tăc nhân co thê m ́ ́ ̉ ở rông cho công viêc đ ̣ ̣ ược hoan thanh b ̀ ̀ ởi nhiêu hanh đông liên  ̀ ̀ ̣ tiêp ́ 2.1.2. Hoan vi – Chinh h ́ ̣ ̉ ợp – Tô h ̉ ợp 2.1.2.1. Hoan vi ́ ̣ Cho tâp  ̣ A gôm  ̀ n phân t ̀ ử . Môi kêt qua cua s ̃ ́ ̉ ̉ ự săp xêp th ́ ́ ứ tự  n phân t ̀ ử cua tâp h ̉ ̣ ợp A được  goi la môt  ̣ ̀ ̣ hoan vi cua n phân t ́ ̣ ̉ ̀ ử đo. ́ Sô cac hoan vi cua  ́ ́ ́ ̣ ̉ n phân t ̀ ử:  2.1.2.2. Chinh h ̉ ợp Cho tâp  ̣ A gôm  ̀ n phân t ̀ ử . Kêt qua cua viêc lây  ́ ̉ ̉ ̣ ́ k phân t ̀ ử khac nhau t ́ ừ n phân t ̀ ử cua tâp h ̉ ̣ ợp  A va săp xêp chung theo môt th ̀ ́ ́ ́ ̣ ứ tự nao đo đ ̀ ́ ược goi la môt  ̣ ̀ ̣ chinh h ̉ ợp châp k cua n phân t ̣ ̉ ̀ ử đa cho ̃ Sô cac chinh h ́ ́ ̉ ơp:  Chu y ́ ́:  2.1.2.3. Tô h ̉ ợp Cho tâp  ̣ A gôm  ̀ n phân t ̀ ử . Môi tâp con gôm  ̃ ̣ ̀ k phân t ̀ ử cua  ̉ A được goi la môt  ̣ ̀ ̣ tô h ̉ ợp châp k ̣   cua n phân t ̉ ̀ ử đa cho ̃ Sô cac tô h ́ ́ ̉ ợp:  Chu y ́ ́:   2.1.3. Xac suât cua biên cô ́ ́ ̉ ́ ́ 2.1.3. Đinh nghia ̣ ̃ Gia s ̉ ử  A la biên cô liên quan đên môt phep th ̀ ́ ́ ́ ̣ ́ ử  chi co môt sô h ̉ ́ ̣ ́ ữu han kêt qua đông ̣ ́ ̉ ̀   kha năng xuât hiên. Ta goi ti sô  la xac suât cua biên cô A, ki hiêu la  ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̣ ̀ Chu y ́ ́:  la sô phân t ̀ ́ ̀ ử cua  ̉ A hay cung la sô cac kêt qua thuân l ̃ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̣ ợi cho biên cô  ́ ́A, con  la  ̀ ̀ sô cac kêt qua co thê xay ra cua phep th ́ ́ ́ ̉ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ử 2.1.3. Tinh chât ́ ́ Chu y ́ ́: Tinh chât c) la công th ́ ́ ̀ ức công xac suât va ta co hê qua: ̣ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉     la biên cô đôi cua biên cô  ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ ́A.  2.2. BAI TOAN “CHIA KEO EULER” ̀ ́ ̣ 2.2.1. Nôi dung bai toan:  ̣ ̀ ́ Co bao nhiêu cach chia  ́ ́ n cai keo giông nhau cho  ́ ̣ ́ k em be?́ 2.2.2. Lời giai: ̉ Trươc hêt ta xet cac bai toan sau:  ́ ́ ́ ́ ̀ ́ Bai toan 1 ̀ ́ : “Co bao nhiêu cach chia n cai keo giông nhau cho k em be sao cho em nao cung ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ ̃   co keo,  ́ ̣ ” Đăt  ̣ n cai keo trên môt hang ngang, khi đo gi ́ ̣ ̣ ̀ ́ ữa n chiêc keo se co  ́ ̣ ̃ ́n – 1 khoang trông ̉ ́ Nêu ta đăt  ́ ̣ k – 1  chiêc que vao  ́ ̀ k – 1  khoang trông bât ki trong sô  ̉ ́ ́ ̀ ́n – 1 khoang trông trên ta ̉ ́   thây n chiêc keo se đ ́ ́ ̣ ̃ ược chia thanh  ̀ k phân đê cho  ̀ ̉ k em be theo th ́ ư t ́ ự Do đo sô cach chia keo băng sô cach chon  ́ ́ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ k – 1 khoang trông trong sô  ̉ ́ ́n – 1 khoang trông t ̉ ́ ưć   la ̀ Nhân xet ̣ ́: + Từ lơi giai trên ta nhân thây, khi xêp cac đôi t ̀ ̉ ̣ ́ ́ ́ ́ ượng trên môt hang thi gi ̣ ̀ ̀ ữa cac đôi ́ ́  tượng luôn hinh thanh khoang trông (hay con goi  ̀ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ vach ngăn ́ ), va dê thây răng đê hai đôi t ̀ ̃ ́ ̀ ̉ ́ ượng trên  10     + Môi cach chon đo ta săp xêp chi dc môt sô thoa man điêu kiên. ( ̃ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ Săp xêp ́ ́) Do đo sô cac sô thoa man la:  ́ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̀ Vi du 2 ́ ̣ :  Co bao nhiêu sô t ́ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô dang  thoa man: ́ ̣ ̉ ̃                1.  2.  LƠI GIAI ̀ ̉ 1. + Chon thanh phân: chon 5 sô t ̣ ̀ ̀ ̣ ́ ự  nhiên đôi môt khac nhau t ̣ ́ ừ 10 chữ sô t ́ ự  nhiên, cocach ́ ́   chon ̣ + Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch ́ ́ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ ́ ữ sô giam dân ́ ̉ ̀   Do đosô cac sô thoa man la: ́ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̀ 2. + Chon thanh phân: chon 5 sô t ̣ ̀ ̀ ̣ ́ ự  nhiên (co thê giông nhau) t ́ ̉ ́ ừ 10 chữ sô t ́ ự  nhiên băng sô ̀ ́  cach phân phôi 5 ch ́ ́ ư sô đo vê cho 10 ch ̃ ́ ́ ̀ ữ sô t ́ ự nhiên từ 0 đên 9, co cach chon ́ ́ ́ ̣ + Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch ́ ́ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ ́ ữ sô giam dân ́ ̉ ̀  (trong đo co cach xêp 00000 không la sô t ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô) ́ Do đo, sô cac sô thoa man la:  ́ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̀ Vi du 3 ́ ̣ :  Co bao nhiêu sô t ́ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô dang  thoa man: ́ ̣ ̉ ̃ LƠI GIAI ̀ ̉ Đăt  ̣ Ap dung cach giai  ́ ̣ ́ ̉ Vi du 1 ́ ̣  ta được kêt qua:  ́ ̉ Vi du 4 ́ ̣ : (Ve hanh phuc ́ ̣ ́ ) Môi ve xe co môt day 6 ch ̃ ́ ́ ̣ ̃ ữ sô đ ́ ược goi la  ̣ ̀ve hanh phuc ́ ̣ ́  nêu tông 3 ch ́ ̉ ữ số  đâu băng tông 3 ch ̀ ̀ ̉ ữ sô cuôi. Hoi co tât ca bao nhiêu ve hanh phuc? ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ LƠI GIAI ̀ ̉ + Nhân xet: nêu  ̣ ́ ́ + Goi day 6 ch ̣ ̃ ữ sô cua môt ve xe la:  ́ ̉ ̣ ́ ̀ + Ve xe hanh phuc thi: ́ ̣ ́ ̀ Do đo: sô ve xe hanh phuc băng sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ́ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh (*) thoa man ̀ ̉ ̃  điêu kiên  ̀ ̣ + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̣ ̉ ương trinh (*):  ̀ + Goi  ̣ Mi la tâp h ̀ ̣ ợp cac nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̣ ̉ ương trinh (*) ma  ̀ ̀ Ta cân tinh:  ̀ ́ + Tinh  ́ + Tinh  ́ + Giao từ 3 tâp  ̣ Mi trở lên đêu co phân t ̀ ́ ̀ ừ băng 0 ̀ Do đo sô ve hanh phuc la:  ́ ́ ́ ̣ ́ ̀ DANG 4:Đêm sô tâp con ̣ ́ ́ ̣ Vi du 1 ́ ̣ :  Cho tâp h ̣ ợp A gôm 100 sô nguyên d ̀ ́ ương đâu tiên. Tim sô tâp con cua tâp h ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ợp  A co 3 phân ́ ̀  tử sao cho không co 2 phân t ́ ̀ ử nao cua môi tâp con đo la hai sô t ̀ ̉ ̃ ̣ ́ ̀ ́ ự nhiên liên tiêp? ́ LƠI GIAI ̀ ̉ Cach 1: ́  + Goi  ̣ a, b, c la 3 phân t ̀ ̀ ử cua 1 tâp con thoa man, gia s ̉ ̣ ̉ ̃ ̉ ử a