PHÁT TRIỂN các kỹ THUẬT PHẦN tử hữu hạn CHO PHÂN TÍCH kết cấu DẠNG tấm và vỏ

TỔNG QUAN 1

Chương này nhằm trình bày động lực cho việc nghiên cứu và phát triển kỹ thuật phân tích phần tử hữu hạn hiện đại trong tính toán kết cấu tấm/vỏ, đồng thời phác thảo những đóng góp và cải tiến từ sự phát triển này Bắt đầu bằng việc giới thiệu tổng quan về kết cấu tấm/vỏ, chương cũng trình bày một số phần tử và phương pháp phân tích phần tử hữu hạn phổ biến Đây là bước quan trọng để xác định động cơ và mục tiêu của nghiên cứu Cuối cùng, bố cục của luận án cùng với những đóng góp nổi bật sẽ được trình bày.

1 1 Khái quát chung về kết cấu tấm/vỏ

Trong phân loại kết cấu cơ học, bên cạnh kết cấu thanh một chiều (1D) và kết cấu khối ba chiều (3D), còn tồn tại kết cấu tấm/vỏ hai chiều (2D), bao gồm các cấu trúc phẳng và cong có thành mỏng Kết cấu này được giới hạn bởi hai bề mặt trên và dưới cùng các bề mặt bên, với độ dày nhỏ so với các kích thước khác Việc phân loại các cấu trúc tấm và vỏ có thể dựa trên độ mảnh, hình dạng của mặt trung hòa, các định nghĩa và giả định liên quan, cũng như đặc điểm phân bố ứng suất dọc theo chiều dày.

Tấm và vỏ là các kết cấu phổ biến trong lĩnh vực dân dụng và cơ khí, bao gồm mái vòm, tháp giải nhiệt, đường ống, bể chứa và bình chịu áp lực Chúng cũng được sử dụng trong ngành đóng tàu, đặc biệt là vỏ tàu ngầm Việc phân tích ứng xử của tấm và vỏ dưới tác động của tải trọng là rất quan trọng để đảm bảo tính an toàn và hiệu quả của các cấu trúc này.

Phương pháp phần tử hữu hạn sẽ khắc phục các hạn chế liên quan đến hình dáng phức tạp của kết cấu khi áp dụng phương pháp giải tích.

1 2 Đánh giá tóm lược về các phần tử và các phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm/vỏ trong những năm gần đây

Các phần tử tấm và vỏ thường được mô hình hóa qua các mặt phẳng trung hòa của chúng Tùy thuộc vào cách thức làm việc, chúng có thể được xem là tấm chịu uốn, màng hoặc vỏ Mỗi phần tử tấm, vỏ có thể được mô tả dưới dạng phần tử tam giác (3 nút) hoặc phần tử tứ giác (4 nút) tương ứng với mặt phẳng trung hòa Các phần tử này có thể thuộc vào một trong những loại khác nhau.

Phần tử màng chỉ chịu kéo hoặc nén nên không có chuyển vị thẳng vuông góc với mặt phẳng và xoay ngoài mặt phẳng (Hình 1 2a)

Phần tử tấm uốn thuần tuý không có chuyển vị thẳng theo hai phương trong mặt phẳng và xoay trong mặt phẳng (Hình 1 2b)

Phần tử vỏ tổng quát chịu kéo (nén) và uốn đồng thời có ba loại phổ biến: phần tử vỏ khối, phần tử vỏ cong và phần tử vỏ phẳng Trong luận án này, tác giả chọn phần tử vỏ phẳng để phân tích kết cấu, vì nó kết hợp ứng xử uốn và màng của phần tử tấm Phần tử vỏ phẳng được coi là hấp dẫn nhất do dễ dàng thiết lập bằng cách kết hợp các phần tử tấm uốn và màng hiện có Nó đã được sử dụng rộng rãi nhờ tính đơn giản trong thiết lập công thức, hiệu quả tính toán và tính linh hoạt trong phân tích các kết cấu vỏ và tấm gấp Hơn nữa, hiệu ứng cắt ngang với động học Reissner-Mindlin và sự kết hợp bậc tự do xoay trong mặt phẳng đã cải thiện đáng kể hiệu suất của các phần tử phẳng khi tính toán kết cấu vỏ từ dày đến mỏng Mặc dù phần tử tam giác phẳng thích hợp cho kết cấu vỏ phức tạp, phần tử tứ giác thường được ưa chuộng hơn do tốc độ hội tụ tốt hơn.

Trong quá trình phát triển phần tử vỏ phẳng bốn nút, khó khăn lớn nhất là hiện tượng khóa liên quan đến phép nội suy của chuyển vị Hai kiểu khóa phổ biến là khóa cắt, xảy ra khi tỷ lệ giữa chiều dày và chiều dài của vỏ nhỏ, và khóa màng, thường xuất hiện khi sử dụng lưới thô hoặc méo, đặc biệt trong các bài toán có ứng xử uốn nổi trội.

Hình 1 2: a) Phần tử màng, b) Phần tử tấm uốn thuần túy

Hiện nay, các phương pháp số đang ngày càng trở nên quan trọng trong phân tích kết cấu phức tạp, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được sử dụng phổ biến và hiệu quả nhất Nhiều loại phần tử đã được đề xuất nhằm cải thiện kết quả phân tích, tăng cường sự ổn định và tạo độ tin cậy trong quá trình sử dụng.

Vào những năm 70 đến 80 của thế kỷ 19, các tác giả Irons và Zienkiewicz đã phát triển phần tử đẳng tham số C0, cho phép nội suy trường chuyển vị và góc xoay độc lập, được ứng dụng trong phân tích kết cấu tấm/vỏ dày theo lý thuyết Reissner-Mindlin Tuy nhiên, phần tử này gặp phải hiện tượng khóa cắt khi phân tích tấm/vỏ mỏng, dẫn đến việc giảm chuyển vị khi bề dày giảm do năng lượng biến dạng cắt không được loại bỏ Mặc dù các nghiên cứu sau đó đã đề xuất kỹ thuật tích phân giảm để giải quyết vấn đề này, kết quả vẫn chưa đạt được kỳ vọng và đôi khi còn gây ra hiện tượng đồng hồ cát trong phân tích dao động tự do.

Với sự nỗ lực không ngừng của cộng đồng khoa học toàn cầu, nhiều phương pháp cải tiến mới đã được phát triển cho cả phần tử tam giác và tứ giác, bao gồm phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ MITC, phương pháp DSG (Discrete Shear Gap) và phương pháp MIN sử dụng phần tử tấm Mindlin.

Các phương pháp MITC, DSG, và MIN đã ra đời nhằm giải quyết vấn đề khoá cắt trong phân tích kết cấu tấm/vỏ Thay vì tính toán trực tiếp các thành phần biến dạng cắt qua đạo hàm của trường chuyển vị, các phương pháp này xác định chúng thông qua các điểm rời rạc trong phạm vi từng phần tử MITC, đặc biệt là phần tử tứ giác MITC4, đã đạt được thành công lớn và tiếp tục được phát triển với phần tử 8 nút MITC8 bởi tác giả Bathe và cộng sự, mang lại kết quả phân tích với độ tin cậy cao.

Phần tử 9 nút (MITC9) và phần tử 16 nút (MITC16) trong nghiên cứu đã chỉ ra hiệu quả tính toán cao với chi phí thấp, đặc biệt là các phần tử tứ giác 4 nút bậc thấp MISQ20 và MISQ24 do tác giả Nguyen-Van cải tiến từ MITC4 thông qua kỹ thuật trơn biến dạng màng Các phần tử tam giác trơn 3 nút như ES-DSG, NS-DSG, và CS-DSG do các nhóm tác giả Nguyen-Xuan và Nguyen-Thoi phát triển cũng chứng minh khả năng ứng dụng hiệu quả trong phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định của tấm Reissner–Mindlin Thêm vào đó, phần tử tứ giác 4 nút và tam giác 3 nút của tấm Mindlin do Tessler và cộng sự phát triển cũng đã được sử dụng hiệu quả để cải tiến thành phần cắt ngang.

Việc sử dụng phần tử tứ giác phẳng bốn nút trong phân tích kết cấu dạng vỏ có thể dẫn đến hiện tượng khóa màng, đặc biệt liên quan đến quá trình chia lưới thô và méo Nhóm tác giả Lee và cộng sự đã đề xuất kỹ thuật chia miền tứ giác thành các miền con tam giác, từ đó tính toán biến dạng màng trên các miền này và đưa về các điểm buộc trên biên phần tử tứ giác Kỹ thuật này giúp cải thiện tính hợp lý trong việc tính toán các thành phần biến dạng màng và giải quyết hiệu quả vấn đề khóa màng.

Một giải pháp đáng chú ý cho các hiện tượng liên quan đến tấm/vỏ là việc sử dụng các phần tử tấm PSE (Plate Spectral Element) với hàm nội suy bậc cao, như đã được Zrahia và cộng sự giới thiệu Hàm dạng được áp dụng là hàm nội suy Lagrangian bậc cao thông qua các điểm Gauss - Legendre - Lobatto Đối với những bài toán có điều kiện biên đặc biệt, việc áp dụng luật cầu phương đủ là cần thiết để đạt được kết quả ổn định Nghiên cứu của Sprague và cộng sự đã khảo sát hiệu quả và khả năng hội tụ của phần tử PSE khi sử dụng lưới chia méo Thêm vào đó, các đặc tính nổi trội của đa thức Chebyshev, như tính trực giao trong đoạn [-1,1], đã dẫn đến việc xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn dựa trên đa thức này, được nhiều tác giả như Liu và He đề cập đến.

Trong nghiên cứu của tác giả Đặng Trung và các cộng sự, luận án đã trình bày một cái nhìn tổng quát về các kỹ thuật phần tử hữu hạn hiện đại Đặc biệt, phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM - Smoothed Finite Element Method) được nhấn mạnh như một công cụ quan trọng trong lĩnh vực này.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 11

2 1 1 Vật liệu đẳng hướng cơ bản

Vật liệu được xem là đẳng hướng khi các đặc tính của nó không phụ thuộc vào hướng Dưới đây là danh sách các đặc tính của vật liệu đẳng hướng Tuy nhiên, tùy thuộc vào loại phần tử, phương pháp phân tích và loại tải trọng, không phải tất cả các đặc tính của vật liệu đều có thể được yêu cầu.

Mật độ khối lượng của vật liệu là khối lượng trên một đơn vị thể tích, và nó có thể áp dụng cho tất cả các phần tử tuyến tính Tính chất này rất quan trọng trong các phân tích tuyến tính liên quan đến trọng lực hoặc tải trọng có gia tốc Ngoài ra, nó cũng cần thiết cho việc phân tích dao động nhằm xác định tần số dao động và cho tất cả các phân tích động theo phương thức chồng chất.

Mô đun đàn hồi, hay còn gọi là mô đun Young, là độ dốc của đường ứng suất và biến dạng trong giới hạn quan hệ tuyến tính của vật liệu Mô đun này áp dụng cho tất cả các phần tử tuyến tính và là yếu tố cần thiết cho mọi phép phân tích tuyến tính.

2 1 1 3 Hệ số giãn nở nhiệt

Hệ số giãn nở nhiệt là thước đo sự co lại hoặc giãn nở của vật liệu khi có sự chênh lệch nhiệt độ Khái niệm này áp dụng cho mọi loại phần tử tuyến tính và là yếu tố thiết yếu trong bất kỳ mô hình tuyến tính nào có chứa tải nhiệt.

Hệ số Poisson được xác định bằng cách tính trị tuyệt đối của tỷ số giữa biến dạng hông và biến dạng dọc trục trong các cấu kiện chịu tải dọc trục Giá trị điển hình của hệ số Poisson dao động từ 0,0 đến 0,5 và có thể áp dụng cho tất cả các loại phần tử tuyến tính, ngoại trừ giàn Hệ số này là yếu tố bắt buộc trong tất cả các loại phân tích tuyến tính.

Mô đun đàn hồi cắt tương tự, hay còn gọi là môđun độ cứng, là độ dốc của đường ứng suất cắt và biến dạng cắt của vật liệu Mô đun này có thể áp dụng cho tất cả các loại phần tử tuyến tính, ngoại trừ giàn và dầm.

Vật liệu composite là sự kết hợp của hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau, bao gồm vật liệu nền và cốt gia cường, tạo ra một loại vật liệu mới với tính năng vượt trội so với từng thành phần riêng lẻ Vật liệu nền, thường được làm từ polyme, kim loại, hợp kim, gốm, hay vữa xi măng, có vai trò giữ ổn định cấu trúc Trong khi đó, vật liệu cốt gia cường được cấu tạo từ các sợi như sợi thuỷ tinh, sợi polyme, sợi gốm, sợi kim loại, sợi cacbon, hoặc các loại hạt kim loại và phi kim.

Hình 2 1: Mô tả vật liệu composite, [66] http://www kieugiacomposite com/ vatlieucompositevacacungdung html Phân loại vật liệu composite

Vật liệu composite được cấu tạo từ các sợi hay hạt gia cường và vật liệu nền như Hình 2 2

Hình 2 2: Vật liệu composite theo cấu tạo, [66]

 Theo bản chất, thành phần

Vật liệu composite có thể được hình thành từ vật liệu nền hữu cơ, vô cơ và khoáng vật Hình 2 3 thể hiện composite nền hữu cơ

Hình 2 3: Tre và sản phẩm composite từ tre, [66] http://rsos royalsocietypublishing org/content/4/1/160412

Trong kỹ thuật, vật liệu composite còn được phân loại theo [67] như sau

Composite có thể được chia thành hai loại chính: Composite cốt hạt hay bột và Composite đồng phương Trong Composite đồng phương, cốt (sợi) được phân bố theo một phương nhất định, trong khi đó, Composite "mat" có sợi được chặt vụn và phân bố ngẫu nhiên trong một mặt phẳng.

 Composite lớp vuông, khi một (hoặc nhiều) lớp theo phương 0 o được kèm một hoặc (nhiều) lớp theo phương 90 o

 Composite cốt vải, khi cốt là những tấm vải gồm những sợi dọc đan với những sợi ngang

Trên phương diện cơ học, các loại vật liệu composite được xếp vào 3 nhóm chính

 Composite đẳng hướng: Sợi vụn phân bố ngẫu nhiên theo cả ba phương x, y và z

 Composite đẳng hướng ngang: composite gồm nhiều lớp mat hoặc composite nhiều lớp sợi đồng phương

 Composite trực hướng: composite gồm nhiều lớp đồng phương xếp vuông góc hoặc composite nhiều lớp cốt vải,

Khi phương của cốt trùng hoặc vuông góc với trục qui chiếu hoặc phương tải trọng (θ = 0o hoặc 90o), ta có composite đúng trục Ngược lại, khi phương cốt không trùng hoặc không vuông góc với trục qui chiếu hoặc phương tải trọng (θ ≠ 0o hoặc ≠ 90o), ta có composite lệch trục Do đó, có hai khái niệm chính là composite đẳng hướng ngang đúng trục và lệch trục, cùng với composite trực hướng đúng trục và lệch trục.

Có thể mô tả trạng thái ứng suất phẳng cho vật liệu composite như sau

 Lớp composite trực hướng và đẳng hướng ngang đúng trục

Quan hệ ứng suất biến dạng

Q22 E 2 / (1 12  21 ); Q 66  G 12 (2 2) Ở đây E 1 , E 2 , 12 và G 12 là bốn mô đun kỹ thuật độc lập của lớp vật liệu composite

 Lớp composite trực hướng và đẳng hướng ngang lệch trục

Lớp composite lệch trục thường gặp như Hình 2 4 z (3) z (3)

Hình 2 4: Lớp composite lệch trục

Quay tenxơ ứng suất từ hệ trục chính (1, 2) đến hệ trục quy chiếu (x, y)

Quay tenxơ biến dạng từ hệ trục quy chiếu (x, y) đến hệ trục chính (1, 2)

Quan hệ ứng suất biến dạng trong hệ trục (x, y)

2 1 3 Vật liệu phân lớp chức năng FGM ( Functionally Graded Material)

Vấn đề tập trung ứng suất được giảm thiểu đáng kể nhờ vào sự thay đổi từ từ các đặc tính vật liệu tại các phân lớp, điều này là nguyên tắc cơ bản cho việc phát triển vật liệu phân lớp chức năng (FGM) FGM là loại composite đặc biệt với các đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục, nhằm tối ưu hóa khả năng chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ của kết cấu Sự chế tạo vật liệu với cấu trúc có quy luật gradient giúp tối ưu hóa hiệu suất làm việc của từng loại vật liệu.

Hình 2 5: Vật liệu phân lớp chức năng FGM, [69, 71]

Vật liệu FGM (Functionally Graded Materials) là sự kết hợp của nhiều loại vật liệu, trong đó phổ biến nhất là gốm và kim loại Những vật liệu này sở hữu các đặc trưng cơ học đa dạng, mang lại nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật và công nghệ.

Bảng 2 1: So sánh đặc tính của gốm và kim loại

Vật liệu Gốm Gốm-Kim loại Kim loại

Sản phẩm này sở hữu tính năng chịu nhiệt cao và khả năng chống oxy hóa vượt trội, đồng thời dẫn nhiệt thấp, giúp loại bỏ các vấn đề liên quan đến bề mặt tiếp xúc giữa các lớp vật liệu Ngoài ra, nó còn có tính năng chịu lực cao, hệ số dẫn nhiệt cao và độ dẻo dai ấn tượng, mang lại hiệu suất tối ưu cho nhiều ứng dụng.

Vật liệu FGM được sử dụng rộng rãi trong các môi trường khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, thiết bị đẩy phản lực và vỏ lò tinh luyện Trong các lớp cách nhiệt truyền thống, vật liệu gốm thường được tráng lên kết cấu kim loại, nhưng sự chuyển tiếp đột ngột giữa hai vật liệu có thể gây ra tập trung ứng suất lớn, dẫn đến biến dạng dẻo hoặc nứt Để giảm thiểu những tác động tiêu cực này, việc sắp xếp vật liệu theo cách liên tục với hàm lượng gốm cao ở các vị trí chịu nhiệt và ăn mòn, cùng với việc tập trung kim loại ở những khu vực cần tính dẻo dai, là rất quan trọng Hình 2.6 minh họa ứng dụng của vật liệu FGM trong ngành vũ trụ.

Hình 2 6: Hệ thống đẩy phản lực sử dụng vật liệu phân lớp chức năng FGM, [66]

Có ba loại vật liệu phân lớp chức năng chủ yếu

Vật liệu P-FGM là loại vật liệu FGM với cấu trúc đặc trưng, trong đó các thành phần gốm và kim loại được phân bố đồng đều qua chiều dày của cấu trúc Cụ thể, một bề mặt của vật liệu có hàm lượng gốm cao, trong khi bề mặt còn lại chủ yếu là kim loại Điều này được thể hiện rõ trong Hình 2 Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra sự phân bố này trong các tài liệu [68, 69, 72].

Trong một đơn vị thể tích kết cấu chứa tỉ phần thể tích gốm V c và tỉ phần thể tích kim loại

Trong mô hình V m, công thức được thiết lập là V c + V m = 1, trong đó tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu thay đổi theo chiều dày kết cấu h Sự biến đổi này được mô tả bằng một hàm lũy thừa theo biến chiều dày z, tuân theo quy luật hàm mũ.

PHẦN TỬ SQ4H 32

Chương này trình bày lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT của Reddy, được cải biên thành C0-HSDT, và xây dựng phần tử tứ giác SQ4H dựa trên C0-HSDT kết hợp với kỹ thuật làm trơn biến dạng trong miền con phần tử Nội dung bao gồm kết quả tính toán số minh họa, so sánh và đánh giá, cùng với những kết luận cuối cùng về phần tử này.

3 2 Kỹ thuật cải biên HSDT thành C 0 -HSDT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT của Reddy [2] được trình bày như sau u  x, y, z  u 0  z y  z 2  x  x, y  z 3  x  x, y  v  x, y, z   v 0  z  x  z 2  y  x, y   z 3  y  x, y  h h 2 2 (3 1) w  x, y, z   w 0

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các chuyển vị u, v và w theo phương x, y và z Các hàm ξ x, ξ y, ζ x và ζ y được xác định dựa trên điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng 0 tại mặt trên và mặt dưới của tấm.

Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt suy ra Điều kiện (3 2) dẫn đến

Thay các biểu thức ở (3 5) vào (3 1) u  x, y, z   u 0  z  y 

Bằng cách đặtw 0 /x x vàw 0 /y y , công thức (3 6) được viết lại

Các công thức phần tử hữu hạn áp dụng cho Hệ số Độ chính xác Cao (HSDT) thường yêu cầu hàm xấp xỉ liên tục bậc cao, gây ra sự phức tạp trong việc xây dựng hàm xấp xỉ Để khắc phục những hạn chế này, tác giả Reddy đã đề xuất một hình thức tính toán mới cho HSDT, chỉ yêu cầu hàm xấp xỉ dạng tham số C0, được gọi là C0-HSDT.

C 0 -HSDT là hai biến độc lập được sử dụng để biểu diễn đạo hàm của chuyển vị Theo (3 7), trường chuyển vị hiện bao gồm bảy ẩn số độc lập: u 0, v 0, w 0,  x,  y,  x và  y, như được minh họa trong Hình 3 1.

Hình 3 1: Chiều dương quy ước của các chuyển vị thẳng và xoay trong tấm

3 3 Xây dựng phần tử SQ4H

Phần tử tứ giác SQ4H có cấu trúc gồm 4 nút, mỗi nút sở hữu 7 bậc tự do Thiết kế của phần tử này được phát triển dựa trên kỹ thuật làm trơn biến dạng trong miền con, theo các tài liệu [4, 5, 32, 35], với nền tảng C0-.

HSDT kết hợp lý thuyết biến dạng nhỏ-chuyển vị lớn của Von-Kármán để phân tích phi tuyến kết cấu tấm composite nhiều lớp dáng phẳng và gấp

Véc-tơ biến dạng trong mặt phẳng được trình bày

Có thể viết tóm tắt lại như sau

Ngoài ra, véc-tơ biến dạng cắt ngang cũng được trình bày ε s  ε s1  z 2 ε s 2 trong đó

Tóm lại biến dạng tổng được đưa ra như dưới đây

Trong bài viết này, các ký hiệu m, b, s được sử dụng để chỉ trạng thái của màng (membrane), uốn (bending) và cắt (shearing) Ngoài ra, ký hiệu L và NL thể hiện thành phần tuyến tính (linear) và phi tuyến hình học (non-linear) trong các công thức, theo danh mục ký hiệu được trình bày ở đầu luận án Các ký hiệu z, n, h/2, th, z k, x, h/2, z 2, z 1, và z 0 cũng được đề cập để làm rõ hơn các khái niệm trong nghiên cứu.

Hình 3 2: Vật liệu composite cốt sợi nhiều lớp

Vật liệu composite cốt sợi nhiều lớp, như được minh họa trong Hình 3.2, được áp dụng trong chương này, và các thành phần nội lực của tấm được thể hiện qua công thức sau.

Trên cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị trong phần tử được xấp xỉ thông qua chuyển vị nút của phần tử đó i1

Các véc-tơ biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt được thể hiện

NL NL m mi i = 1 i = 1 i = 1 trong đó

Có thể diễn giải thành phần phi tuyến bởi

Dựa vào kỹ thuật làm trơn trên miền con của phần tử, miền phần tử tứ giác được chia thành n miền con, từ đó trường biến dạng tổng quát được xác định theo phương pháp này.

Ký hiệu ~ biểu thị ghi chú "được làm trơn", do đó ε mL, ε mNL, ε b1, và ε b2 lần lượt đại diện cho các biến dạng trơn Diện tích miền con đang xét được ký hiệu là A C, và thành phần biến dạng của màng tuyến tính được thể hiện lại một cách rõ ràng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các thành phần n x và n y của véc-tơ pháp tuyến ngoài của biên  C Bằng cách áp dụng tích phân Gauss dọc theo 4 cạnh biên của miền con  C, chúng ta có thể trình bày lại biểu thức B miL  x c  một cách rõ ràng hơn.

Để tính toán với nG là số điểm tích phân Gauss và x bn là điểm Gauss, ta cần chọn nG = 1 cho hàm dạng song tuyến tính Điều này cũng áp dụng cho thành phần biến dạng màng phi tuyến.

 N  x  n y j i l w n x j i l w trong đó x G lần lượt là điểm Gauss, l C chiều dài cạnh miền con và w i là chuyển vị theo phương z tại nút i của phần tử

Thiết lập công thức phần tử hữu hạn trơn tương tự cho các thành phần biến dạng uốn với

(3 29) Đối với phần tử SQ4H, số lượng miền con sử dụng liên quan thành phần màng và uốn là

Số lượng miền con sử dụng cho thành phần cắt là 1 (n c = 1) nhằm mục đích vượt qua hiện tượng khóa cắt, trong khi số lượng miền chính là 2 (n c = 2) Các thành phần biến dạng cắt sẽ được tính toán lại theo phương pháp mới.

Trong phân tích phi tuyến hình học, giá trị của hàm dạng tại nút i của phần tử được ký hiệu là N_i Để tính toán thành phần cắt, phương pháp tích phân Gauss được áp dụng để tính toán N_i của B_s1i và B_s2i, do tích phân trên miền con Ω_C không thể chuyển thành tích phân đường trên biên Γ_C Phương pháp TL (Total Lagrangian) được sử dụng cho quá trình này.

P là lực tác động tại thời điểm t+Δt của phần tử, trong khi K T là ma trận độ cứng tiếp tuyến đã được làm trơn của phần tử tại thời điểm t Gia số chuyển vị của phần tử được ký hiệu là Δq.

Hình 3 3: n c =1 & 2 và giá trị các hàm dạng tương ứng

Ma trận độ cứng tiếp tuyến K T được tính toán theo công thức

K T  K L  K NL  K g (3 33) trong đó K L là ma trận độ cứng tuyến tính, K NL là ma trận độ cứng phi tuyến và K g là ma trận độ cứng hình học n c

Lưu ý chỉ riêng tính toán liên quan đến thành phần cắt thì sử dụng n c =1 còn lại lấy n c =2

Lực nội tại thời điểm t được suy ra từ trạng thái ứng suất trong kết cấu và được viết t

 +B t (3 35) trong đó kết quả ứng suất sau vòng lặp thứ i là

K NL   B NLi NLi ci DB A

Kết nối các công thức (3 32÷3 36) và (2 41÷2 43), chúng ta chuyển đổi sang tọa độ tổng thể cho toàn bộ miền kết cấu Sau đó, áp dụng thuật toán lặp Newton-Raphson để giải quyết phương trình phi tuyến cụ thể với các bước chi tiết.

- Nhập dữ liệu hình học, vật liệu

- Thông tin ban đầu: P 0  0 , F (0)0  0 , u 0(0)  0 , 0 001 (dung sai hội tụ)

- LẶP qua gia số tải, rep = 1 max

Gia tảiPP Sai số er = 1, i = 0 rep

➢ Xác định sai số er u ( i ) / u rep

 Cập nhật tọa độ nút