Ly thuyet tich vo huong 2 vecto

CHỦ ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180 Định nghĩa Với góc α (0 ≤ α ≤ 180 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM = α giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y0 ) Khi ta có định nghĩa: • sin góc α y0 , kí hiệu sin α = y0 ; y • cosin góc α x , kí hiệu cos α = x ; • tang góc α y0 y ( x ≠ 0), kí hiệu tan α = ; x0 x0 • cotang góc α M y0 x0 x ( y0 ≠ 0), kí hiệu cot α = y0 y0 −1 Tính chất α x0 x O Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = α xON = 180 − α Ta có y M = y N = y0 , x M = −x N = x Do sin α = sin (180 − α ) y cos α = − cos (180 − α ) tan α = − tan (180 − α ) y0 N cot α = − cot (180 − α ) M x α −x x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị lượng giác 00 30 450 60 sin α 2 cos α 2 tan α 3 2 cot α 3 1 90 180 0 −1 0 Trong bảng kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn sin120 = sin (180 − 60 ) = sin 60 = 2 cos1350 = cos (180 − 450 ) = − cos 450 = − Góc hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác vecto Từ điểm O ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta ( ) ( ) kí hiệu góc hai vectơ a b a, b Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b b ⊥ a A b a a B b O b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b = b, a ( ) ( ) CÂU HỎI V B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu Giá trị cos 450 + sin 450 bao nhiêu? A B C D Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT  cos 450 =  ta   → cos 450 + sin 450 = Chọn B   sin 450 =  Bài 02 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b, xác định công thức sau: ( ) a.b = a b cos a, b Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước a.b = Chú ý • Với a b khác vectơ ta có a.b = ⇔ a ⊥ b • Khi a = b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ta có 2 a = a a cos 0 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: Với ba vectơ a, b, c số k ta có: • a.b = b.a (tính chất giao hốn); • a (b + c ) = a.b + a.c (tính chất phân phối); • (ka ).b = k (a.b ) = a.(kb ) ; 2 • a ≥ 0, a = ⇔ a = Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: 2 2 2 • (a + b ) = a + 2a.b + b ; • (a − b ) = a − 2a.b + b ; 2 • (a + b )(a − b ) = a − b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng ( ) Trên mặt phẳng tọa độ O ; i ; j , cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Khi tích vô hướng a.b là: a.b = a1b1 + a2 b2 Nhận xét Hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác vectơ vng góc với a1b1 + a2 b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ Độ dài vectơ a = (a1 ; a2 ) tính theo cơng thức: a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy a = (a1 ; a2 ) b = (b1 ; b2 ) khác ta có ( ) a.b cos a; b = a1b1 + a2 b2 = a + a22 b12 + b22 a.b c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) tính theo cơng thức: 2 AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? A a.b = a b B a.b = C a.b = −1 D a.b = − a b Lời giải Ta có a.b = a b cos a, b ( ) ( ) ( ) → cos a, b = Do a b hai vectơ hướng nên a, b = 0  Vậy a.b = a b Chọn A Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc α hai vectơ a b a.b = − a b A α = 180 B α = 0 C α = 90 D α = 450 Lời giải Ta có a.b = a b cos a, b ( ) Mà theo giả thiết a.b = − a b , suy cos a, b = −1  → a, b = 180 Chọn A ( ) ( ) Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a = 3, b = a b = −3 Xác định góc α hai vectơ a b A α = 30 B α = 450 C α = 60 Lời giải Ta có a.b = a b cos a, b  → cos a, b = ( ) Chọn D ( ) a b a b D α = 120 = −3 = −  → a, b = 120 3.2 ( ) Bài 03 CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b A AB = c Ta có a = b + c − 2bc cos A; b c b = c + a − 2ca.cos B ; c = a + b − 2ab.cos C a B C Hệ cos A = b2 + c − a2 ; 2bc cos B = c + a2 − b ; 2ca cos C = a2 + b2 − c 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c A R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C b c I a B C Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có 2 A b +c a − ; 2 a +c b2 mb2 = − ; 2 a + b c mc2 = − ma2 = ma c b mb B mc a C Cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , hb , hc độ dài đường cao S= 1 aha = bhb = chc 2 tương ứng với cạnh BC , CA, AB ; ● giác; ● giác; ● ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam r bán kính đường trịn nội tiếp tam a +b +c nửa chu vi tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: p= 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R = pr = p ( p − a )( p − b )( p − c )  ... a2 ) tính theo cơng thức: a = a 12 + a 22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy a = (a1 ; a2 ) b = (b1 ; b2 ) khác ta có ( ) a.b cos a; b = a1b1 + a2 b2 = a + a 22 b 12. .. = b + c − 2bc cos A; b c b = c + a − 2ca.cos B ; c = a + b − 2ab.cos C a B C Hệ cos A = b2 + c − a2 ; 2bc cos B = c + a2 − b ; 2ca cos C = a2 + b2 − c 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC... hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Khi tích vơ hướng a.b là: a.b = a1b1 + a2 b2 Nhận xét Hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác vectơ vng góc với a1b1 + a2 b2 = Ứng dụng a) Độ dài