nguyen-ham-cua-ham-so-luong-giac-va-cach-giai-toan-lop-12

Nguyên hàm hàm số lượng giác cách giải A LÝ THUYẾT Một số công thức lượng giác cần nhớ - Hệ thức lượng giác bản: sin x + cos x = 1; 1 = + cot x; = + tan x 2 sin x cos x - Công thức cộng: sin ( a  b ) = sin a.cos b  sin b cosb cos ( a  b ) = cos a.cos b sin a.cos b tan ( a  b ) = tan a  tan b tan a.tan b - Công thức nhân đôi: sin 2a = 2sin a cosa  2 2 cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − = − 2sin a - Công thức hạ bậc: sin a = − cos 2a + cos 2a ;cos a = 2 - Công thức nhân ba:  sin 3a = 3sin a − 4sin a   cos3a = 4cos a − 3cosa - Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )  sin.a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  sin a.cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )  2 Một số nguyên hàm lượng giác I1 =  sin xdx = − cos x + C I =  sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C a I3 =  cos xdx = sin x + C I =  cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C a − cos 2x x sin 2x dx = − +C 2 + cos 2x x sin 2x I6 =  cos xdx =  dx = + +C 2 I5 =  sin xdx =  dx = tan x + C cos x dx I8 =  = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a I7 =  I9 =  dx = − cot x + C sin ( ax ) I10 =  dx = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) a sin xdx = − ln cos x + C cos x cos xdx I12 =  cot xdx =  = ln sin x + C sin x I11 =  tan xdx =    I13 =  tan xdx =   −  dx = tan x − x + C  cos x    I14 =  cot xdx =   − 1 dx = cot x − x + C  sin x  B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng  sin m x.cos n xdx m, n số tự nhiên Trường hợp 1: Trong hai số m, n có số lẻ Lũy thừa cosx số lẻ, n = 2k + Lũy thừa sin x số lẻ, m = 2k + đổi biến u = sin x đổi biến u = cosx m n m  sin x.cos xdx =  sin x ( cos x ) cos xdx m n n  sin x.cos xdx =  cos x (sin x ) sin xdx =  sin m x (1 − sin x ) ( sin x ) 'dx = −  cos n x.(1 − cos x ) ( cos x ) 'dx =  u m (1 − u ) du = −  (1 − u ) u n du k k k k k k Trường hợp 2: Cả hai số m, n số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm nửa số mũ sin x;cos x , để làm toán trở nên đơn giản Dạng  sin ax.cos bxdx ;  sin ax.sin bxdx ;  cosax.cos bxdx ;  cosax.sin bxdx Ta sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng lượng giác  cosax.cos bxdx =  cos ( a + b ) x + cos ( a − b ) x  dx  sin ax.sin bxdx = − cos ( a + b ) x − cos ( a − b ) x  dx   sin ax.cos bxdx =  sin ( a + b ) x + sin ( a − b ) x  dx  cosax.sin bxdx = sin ( a + b ) x − sin ( a − b ) x  dx  tan m x dx m, n số nguyên Dạng  cos n x Lũy thừa cosx số nguyên dương Lũy thừa tan x số nguyên dương chẵn, n = 2k ta đổi biến u = tan x lẻ, m = 2k + ta đổi biến u = cos x tan m x tan m x  cosn x dx =  cos2k−2 cos2 x dx Khi u ' = sin x , cos x = tan m x ( cos2 x ) k −1 ( tan x ) 'dx =  tan x.(1 + tan x ) m =  u m (1 + u ) k −1 k −1 tan m x tan 2k x tan x  cosn x dx =  cosn−1 x cos x dx k d ( tan x ) du   − 1  cos x  sin x =  dx cos n −1 x cos x =  ( u − 1) u n −1.du k Đổi biến số với hàm lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x + a , x − a , a − x , ta có cách biến đổi lượng giác sau: Đổi biến Biểu thức có chứa x2 + a2    x = a tan t, t   − ;   2 Hoặc x = a cot, t  ( 0;  ) x2 − a2 x= a    , t   − ;  \ 0 sin t  2 Hoặc x = a2 − x2 a  , t  0;  \   cos t 2    x = a sin t, t   − ;   2 Hoặc x = a cos t, t   0;  a+x a−x  a−x a+x x = a cos 2t ( x − a )( b − x )   x = a + ( b − a ) sin t, t  0;   2 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1: Tìm I =  sin x.cos xdx Lời giải Vì lũy thừa sin x số lẻ nên ta đổi biến u = cos x  du = ( cos x ) 'dx Ta có: I =  sin x.cos2 xdx =  sin x.cos2 x.sinxdx = −  (sin x)2 cos x.(cosx)'dx = −  (1 − cos x ) cos x.( cos ) 'dx Thay u = cos x,du = ( cos x ) 'dx ta được: I = −  (1 − u ) u 2du =  ( 2u − u − u ) du 2u u u = − − +C Thay ngược trở lại, ta có: 2u u u 2cos5 x cos3 x cos7 x I= − − +C= − − +C 7 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm tan x a A =  dx cos x tan x b B =  dx cos7 x Lời giải a Do lũy thừa cosx số nguyên dương chẵn nên đặt u = tanx Từ công thức tổng quát chứng minh ta có: tan x A= du = u + u ( ) du  cos x u7 u9 =  (u + u )du = + + C Thay u = tan x trở lại, ta có: u7 u9 tan x tan x A= + +C= + +C 9 b Do lũy thừa tan x số lẻ nên ta đặt u = , vậy, từ công thức tổng cos x quát chứng minh ta có tan x B= dx =  ( u − 1) u 6du =  ( u − 2u + 1).u 6du cos x u11 2u u =  ( u − 2u + u ) du = − + +C 11 10 Thay u = trở lại, ta có: cos x u11 2u u − + +C= − + + C 11 11cos11 x 9cos9 x 7cos x Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' ( x ) = x + sin x sin 2x Biết f(0) = Giá  trị f   là: 2 2   A f   = + 2   B f   = + 2 2   C f   = + 2   D f   = + 2 Lời giải: Ta có: f ' ( x ) = x + sin xsin 2x = x + 2sin x.cos x x2 Khi đó: f ( x ) =  f ' ( x ) dx = +  2sin x cos xdx = x2 x 2sin x + 2 sin xd ( sin x ) = + +C 2   Lại có: f ( ) = C =  f   = + 2 Chọn B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm cơng thức sai: ax + C (  a  1) ln a A  ex dx = ex + C B  a x dx = C  cos xdx = sin x + C D  sin xdx = cos x + C  Câu Tìm nguyên hàm của: y = sin x.sin 7x với F   = là: 2 A sin 6x sin8x + 12 16 B − C sin 6x sin8x − 12 16  sin 6x sin8x  + D −  16   12 Câu  sin dx bằng: x.cos x B -4 cot 2x + C A 2tan 2x + C Câu A  ( sin 2x − cos2x ) ( sin 2x − cos2x ) 3  cos C cot 2x + C D cot 2x + C dx bằng: +C C x − sin 2x + C Câu sin 6x sin8x + 12 16   B  − cos2x + sin 2x  + C   D x + cos4x + C 2x dx bằng: A 2x cos +C B 2x cos +C C x 4x + sin +C D x 4x − cos +C 3 Câu Hàm số F(x) = ln sin x − 3cos x nguyên hàm hàm số hàm số sau đây: A f (x) = cos x + 3sin x sin x − 3cos x B f (x) = cos x + 3sin x C f (x) = − cos x − 3sin x sin x − 3cos x D f (x) = sin x − 3cos x cos x + 3sin x Câu Tìm nguyên hàm:  (1 + sin x)2 dx A x + 2cos x − sin 2x + C B x − 2cos x + sin 2x + C C x − 2cos 2x − sin 2x + C D x − 2cos x − sin 2x + C Câu Cho f (x) = 4m + sin x Tìm m để nguyên hàm F(x) f(x) thỏa mãn F(0)    = F   = 4 A m = − B m = − C m = − D m = Câu Một nguyên hàm hàm số y = sin 3x A − cos3x B −3cos3x C 3cos3x D cos3x Câu 10 Nguyên hàm hàm số f (x) = tan x là: A Đáp án khác B tan x + 1 tan x C D tan x + ln cos x + C +C Câu 11 Cặp hàm số nào sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? cos x A sin 2x cos x B tan x C e x e − x D sin 2x sin x Câu 12 Một nguyên hàm hàm số f (x) = A 4x sin x là: cos x B tan x D 4x + tan x C + tan x Câu 13 Họ nguyên hàm f(x) = sin x A cos x − cos3 x +C C − cos x + +c cos x B − cos x + D cos3 x +C sin x +C Câu 14 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2sin x + cos x là: A 2cos x − sinx + C B 2cos x + sinx + C C −2cos x − sinx + C D −2cos x + sinx + C Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin 2x A F ( x ) = − cos 2x + C B F ( x ) = cos 2x + C C F ( x ) = cos 2x + C D F ( x ) = − cos 2x + C Câu 16 Tính  cos5x.cos3xdx A 1 sin8x + sin 2x + C B 1 sin8x + sin 2x 2 C 1 sin8x + sin 2x 16 D −1 sin8x − sin 2x 16 Câu 17  cos8x.sin xdx bằng: A sin8x.cosx + C B − sin8x.cosx + C C 1 cos7x − cos9x + C 14 18 D 1 cos9x − cos7x + C 18 14 Câu 18  sin 2xdx bằng: A 1 x + sin 4x + C B sin 2x + C C 1 x − sin 4x + C D 1 x − sin 4x + C Câu 19 Nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = x + sin x thỏa mãn F(0) = 19 là: x2 B F(x) = −cosx + +2 x2 A F(x) = −cosx + C F(x) = cosx + x2 + 20 D F(x) = −cosx + Câu 20 Nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = 2x + A F(x) = −cotx + x − 2 x2 + 20 thỏa mãn sin x B F(x) = cotx − x +  F   = −1 là: 4 2 16 D F(x) = −cotx + x − C F(x) = −cotx + x 2 16 Câu 21 Cho hàm số f ( x ) = cos3x.cos x Nguyên hàm hàm số f ( x ) x = hàm số hàm số sau ? A 3sin3x + sin x B sin 4x sin 2x + sin 4x sin 2x + D cos 4x cos 2x + C Câu 22 3cos x  + sin x dx bằng: A 3ln ( + sin x ) + C C 3sin x ( + sin x ) B −3ln + sin x + C +C Câu 23 Nguyên hàm D − sin x + cos x là: sin x − cos x 3sin x +C ln ( + sin x ) A ln sin x + cos x + C B +C ln sin x − cos x C ln sin x − cos x + C D +C sin x + cos x Câu 24 cot x dx bằng: x  sin cot x B +C cot x A − +C Câu 25 A tan x D +C sin x  cos5x dx bằng: −1 +C 4cos x Câu 26 tan x C − +C  sin B +C 4cos x C +C 4sin x D −1 +C 4sin x x.cosxdx bằng: sin x B − +C sin x A +C cos x C − +C cos x D +C Câu 27 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e− x cos x A F ( x ) = e− x ( sin x − cos x ) + C B F ( x ) = e− x ( sin x + cos x ) + C C F ( x ) = − e− x ( sin x + cos x ) + C D F ( x ) = − e− x ( sin x − cos x ) + C Câu 28 Nguyên hàm hàm số: I =  ( x − ) sin3xdx là: A F(x) = − B F(x) = ( x − ) cos3x + sin 3x + C ( x − ) cos3x + sin 3x + C C F(x) = − ( x + ) cos3x + sin 3x + C D F(x) = − ( x − ) cos3x + sin 3x + C 3 Câu 29 Biểu thức nào sau với  x sin xdx ? A −2x cos x −  x cos xdx B − x cos x +  2x cos xdx C − x cos x −  2x cos xdx D −2x cos x +  x cos xdx Câu 30 Đổi biến x = 2sint tích phân I =  dx − x2 B  tdt A  dt trở thành C  t dt D  dt Đáp án 10 11 12 13 14 15 D C B D C A D D A D D B B D A 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C C C D D B A C A B A A A B A