BẤT PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT một ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A Lý thuyết Định nghĩa: Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax + b > 0; ax + b ≤ 0; ax + b ≥ ) a, b hai số cho a≠0 ax + b < Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương Quy tắc chuyển vế: A( x) + B( x) < C ( x) ⇔ A( x) < C ( x) − B( x) Quy tắc nhân (hoặc chia) với số khác 0: +) Nhân với số dương: +) Nhân với số âm: A( x) + B ( x) < C ( x) ⇔ mA( x) + mB ( x ) < mC ( x)(m > 0) A( x) + B( x) < C ( x) ⇔ mA( x) + mB( x) > mC ( x)( m < 0) ax + b < 0(a > 0) Cách giải bất phương trình bậc ẩn: ax + b < ⇔ ax < −b ⇔ x < Ta có: −b a (chia cho số dương) - Tương tự cho trường hợp lại (chú ý tuân thủ quy tắc 4) B Bài tập Dạng 1: Nhận dạng bất phương trình bậc ột ẩn Cách giải: Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc ẩn Bài 1: Xét xem bất phương trình sau có bất phương trình bậc ẩn hay khơng? a) c) 0x + ≥ b) x≤0 d) Lời giải x −1 = 2x2 +1 > (hoặc Các bất phương trình bất phương trình bậc ẩn là: b c - 0x + ≥ - không bất phương trình bậc ẩn hệ số ẩn x 2x2 +1 > không bất phương trình bậc ẩn x2 ẩn bậc hai Bài 2: Trong bất phương trình sau đâu bất phương trình bậc ẩn? Vì sao? −2 x + > a) c) b) +4≤0 x d) x − =0 −3 x − ≥0 Lời giải a) Khơng phải bất phương trình bậc ẩn b) Khơng phải bất phương trình bậc ẩn x nằm dấu giá trị tuyệt đối x − =0 phương trình c) Khơng ẩn x nằm mẫu số d) Là phương trình bậc ẩn Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x a) c) ( m + 2) x − ≥ (m b) − ) x + 2m − ≤ d) ( m − 2) x + < (m − 4) x2 + x −1 ≤ Lời giải a) ( m + 2) x − ≥ bất phương trình bậc ẩn ⇔ m + ≠ ⇔ m ≠ −2 b) c) d) ( m − 2) x + < (m (m bất phương trình bậc ẩn − ) x + 2m − ≤ − 4) x2 + x − ≤ ⇔ m−2≠ ⇔ m ≠ bất phương trình bậc ẩn bất phương trình bậc ẩn ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±2 ⇔ m − = ⇔ m = ±2 Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x a) c) ( m − 1) x < (m b) − 1) x < d) ( m − 1) x + x − < (m − 1) x + x − ≥ Lời giải a) b) c) d) ( m − 1) x < bất phương trình bậc ẩn ( m − 1) x + x − < (m (m − 1) x < ⇔ m −1 ≠ ⇔ m ≠ bất phương trình bậc ẩn bất phương trình bậc ẩn − 1) x + x − ≥ ⇔ m −1 = ⇔ m = ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 bất phương trình bậc ẩn ⇔ m − = ⇔ m = ±1 Bài 5: Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m a) (m + 3) x + ≤ b) − ( m + m + ) x > −2m + Lời giải a) Ta có: m +3 > 0, ∀m ∈ R ⇒ ( m + 3) x + ≤ bất phương trình bậc ẩn  15  m + m + =  m + ÷ + < 0, ∀m ⇒ − m2 + m + x > −2m + ( ) 2  b) Ta có: phương trình bậc ẩn Bài 6: Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m a) (m + 1) x − > b) (m + 4m + ) x < Lời giải a) Ta có: m + > ⇒ ( m + 1) x − > m + 4m + = ( m + ) ≥ 0, ∀m ⇒ b) Ta có: phương trình bậc ẩn (m + 4m + ) x < bất phương trình bậc ẩn Dạng 2: Giải bất phương trình dạng Cách giải: Sử dụng đẳng thức, quy tắc chuyển vế, nhân, chia với số khác để giải bất phương trình cho Bài 1: Giải bất phương trình sau a c 2x − > b 3x − > x + d Lời giải a) b) c) 2x − > ⇔ 2x > ⇔ x > x < −9 ⇔ 3x < −18 ⇔ x < −6 3x − > x + ⇔ 3x − x > + ⇔ x > ⇔ x > 4 x < −9 x+4 + x < −7 d) x+4 + x < −7 ⇔ x + + x < −14 ⇔ x < −18 ⇔ x < −6 Bài 2: Giải bất phương trình sau biểu diễn trục số a 3(4 x + 1) − 2(5 x + 2) < 4( x + 1) b x +1 ≤ x + 4 Lời giải a) b) 3(4 x + 1) − 2(5 x + 2) < 4( x + 1) ⇔ 12 x + − 10 x − < x + ⇔ x > −4 x + ≤ x + ⇔ 3x + ≤ x + 12 ⇔ x < 4 Bài 3: Giải bất phương trình sau a c x + 15 < b x 11 −1 − ≤ 5 d Lời giải a) b c) d) 3x + 15 < ⇔ x < −15 ⇔ x < −5 x + > −11 + x ⇔ x − x > −11 − ⇔ x > −15 ⇔ x < −5 x 11 −1 x 11 x − ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≤2⇔ x≤4 5 5 3 1 x +1 ≤ x + ⇔ x − x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ 4 4 5 x + > −11 + x x +1 ≤ x + 4 Bài 4: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số a ( x + 3) ( x − 1) < ( x − ) b ( x − 1) ( x + ) < ( x − 1) +3 Lời giải a) ( x + 3) ( x − 1) < ( x − ) ⇔ x< b) ⇔ x − x + x − < x − 20 x + 25 ⇔ x − < −20 x + 25 ( x − 1) ( x + ) < ( x − 1) + ⇔ x + x − x − < x − x + + ⇔ x − < −2 x + ⇔ x < Bài 5: Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số a ( x + 1) + x < ( x + 3) − ( x − ) 2 x ( x − ) + ( − x ) > ( x + 1) b Lời giải a) ( x + 1) + x < ( x + ) − ( x − 3) ⇔ x + x + + x < ( x + + x − ) ( x + − x + ) 2 ⇔ x + x + < x ( x + ) ⇔ x + < 18 x ⇔ 16 x < ⇔ x > x ( x − ) + ( − x ) > ( x + 1) ⇔ x − 14 x + − x + x > 3x + x + ⇔ −20 x + > x + b) 16 ⇔ 26 x < ⇔ x < 26 Bài 6: Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp a ( x − 2) ( x + 1) −2 > x− b Lời giải 2x + > 2x − a) ( x − 2) ( x + 1) −2> ⇔ x − 14 − 12 > x + ⇔ x > 30 ⇔ x > 10 ⇒ D = ( 10; +∞ ) x− b) 2x + 1  > x − ⇔ x − x − > 12 x − ⇔ 12 x < ⇔ x < ⇒ D =  −∞; ÷ 12 12   Bài 7: Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp a x + 3x + − > 21 1+ b 3( x − 2) x−2 > 5− x + 3 Lời giải a) x + 3x + −1 −1   − > ⇔ 3x + − > 21x + ⇔ 18 x < −2 ⇔ x < ⇒ D =  −∞; ÷ 21 9   1+ b) 3( x − 2) x−2 > 5− x + ⇔ + x − > 15 − 3x + 3x − ⇔ x > ⇒ D = ( 8; +∞ ) 3 Bài 8: Giải bất phương trình sau a x2 − x ≥ x − 3x − x + ≤ c b d x2 − 5x + < x−3 >2 x+2 Lời giải a) x ≥ x ≤ x − x ≥ ⇔ x( x − 4) ≥ ⇔  ; ⇔ x ≥ 4; x ≤ x − ≥ x − ≤ b)  x − <  x <   x − > x >  x − x + < ⇔ ( x − 2)( x − 3) < ⇔ ⇔ ⇔2< x  x >     x − <   x < x − x3 − x + ≤ ⇔ ( x − 1)( x − 3)( 14 x +2x43 + 1) ≤ ⇔ ( x − 1)( x − 3) ≤ ⇔ ≤ x ≤ >0 c) d)  x + >   x > −7   x −3 −x − −( x + 7) x+7 x + <  x < −2  ⇔ −2>0⇔ >0⇔ >0⇔ >0⇔ ⇔  x + <   x < −7 x+2 x+2 x+2 x+2     x + >   x > −2 ⇒ −7 < x < − Bài 9: Giải bất phương trình sau: a x−4 x−2 x + 18 − < −6 −1 b 2 x − x x(1 − x) x (5 x − ) − ≥ − 3 Lời giải a) ⇔ 7 x−4 x−4 x−2 x + 18 x + 18 7  3 − < ⇔ + < − x + ⇔  x − ÷+ ( x + 18 ) < −15 x + 24 −6 −1 3  28 x 12 − 16 + x + 36 < −15 x + 24 ⇔ 28 x − 48 + x + 108 < −45 x + 72 ⇔ 79 x < 12 ⇔ x < 79 Bài 10: Cho biểu thức a Rút gọn   x2  1 A= + + ÷ ÷:  x+3  x − 3x   27 − x A b Tìm Lời giải x để A < −1 a) b) x2 −( x + 3) A=( + ):( + )= ( x ≠ 0, x ≠ ±3) x − x 27 − x x+3 x  −( x + 3)  −3 < −1  < x >  A < −1 ⇔  x ⇔ x ⇔ x ≠  x ≠ 0, x ≠ ±3  x ≠ ±3 Bài 11: Cho biểu thức a Rút gọn − x  1− 2x  A= + − : 2 ÷  1− x x + 1− x  x −1 A b Tìm x để A>0 Lời giải A= a b  1  x ≠ ±1, x ≠ ÷ 1− 2x  2   x< 1 − x >   A>0⇔  ⇔ ⇔ −1 ≠ x <  x ≠ ±1, x ≠  x ≠ ±1, x ≠   Dạng 3: Các toán số Cách giải: Ta thực theo hai bước sau Bước 1: Sử dụng quy tắc (hoặc thiết lập bất phương trình dựa giả thiết tốn) để giải bất phương trình cho Bước 2: Dựa vào nghiệm giải đánh giá đưa kết luận theo yêu cầu toán Bài 1: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đồng thời hai phương trình a 3(n + 2) + 4n − < 24 ( n − 3) − 43 ≤ ( n − 4)( n + 4) b c d 2(3n − 4) < 3(4n − 3) + 16(1) n −1 n − − > 1(1) n + 17 3n − − > −2(1) 4(1 + n) < 3n + x −1 x − − < 3(2) n− n − 2n − n + − + > 7(2) Lời giải a) 3(n + 2) + 4n − < 24 ⇔ n < 3;(n − 3) − 43 ≤ (n − 4)(n + 4) ⇔ n ≥ −3 ⇒ n ∈ {0;1;2} 2(3n − 4) < 3(4n − 3) + 16 ⇔ x > b) c) d) −5 ; 4(1 + n) < 3n + ⇔ x < ⇒ x ∈{0} n −1 n − x −1 x − − > ⇔ x < −4; − < ⇔ x > −19 ⇒ x ∈∅ 5 n + 17 3n − n − 2n − n + 80 − > −2 ⇔ x < 13; n − − + >7⇔ x> ⇒ x ∈ {6; ;1} 5 13 Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn 13 nhỏ 29 Lời giải Gọi số cần tìm là: ab = 10a + b(a, b ∈ N , a ≠ 0) Theo giả thiết ta có: ab = 10a + b = 10a + a − = 11a − Vì số lớn 13 nhỏ 29 nên ta có: 11a − > 13;11a − < 19 ⇔ 15 31 < a < ⇒ a = ⇒ b = ⇒ 20 11 11 Bài 3: Một số tự nhiên có ba chữ số biết chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng đơn vị 1, chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Tìm số đó, biết số lớn 210 nhung nhỏ 303 10 Lời giải Gọi số cần tìm là: abc = 100a + 10b + c(a, b, c ∈ N , a ≠ 0) Theo giả thiết ta có: abc = 100a + 10b + c = 100(c + 1) + 10c + c = 111c + 100 Vì số lớn 210 nhỏ 303 nên ta có : 210 < 111c + 100 < 303 ⇔ c = ⇒ b = 1; a = ⇒ 211 Dạng 4: Giải bất phương trình dạng đặc biệt Cách giải: 11 x+a x+c x+e x+ g + < + b d f h - Nếu - Nếu a+b = c+d = e+ f = g +h = k a −b = c −d = e− f = g −h = k Ta cộng phân thức thêm Ta cộng phân thức thêm -1 1 1 1 + − − ÷< b d f h ( x−k)  - Quy đồng đưa dạng: *) Chú ý: - Cần xét xem 1 1 + − − b d f h số âm hay số dương để đưa đánh giá dấu x−k - Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy toán ta cộng trừ số thích hợp Bài 1: Giải bất phương trình sau a x+2 x+5 x+3 x+6 + > + b 2x − 2x − 2x −1 x − + < + 2014 2016 2017 2015 Lời giải ⇔ a) b) x+2 x+5 x+3 x+6 +1+ +1 > +1+ + ⇔ x < −8 2x − 2x − 2x −1 2x − −1+ −1 < −1 + − ⇔ x − 2018 < ⇔ x < 1009 2014 2016 2017 2015 Bài 2: Giải bất phương trình sau a x + 81 x + 82 x + 84 x + 85 + > + 19 18 16 15 b Lời giải 12 x − 22 x − 21 x − 20 x − 19 + + + + ⇔ x > −100 19 18 16 15 x − 22 x − 21 x − 20 x − 19 + + + < ⇔ x < 30 10 11 B BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải bất phương trình sau biểu diễn trục số a c x (4 x − 3) + 2(3 − x)( x + 4) ≤ b x (2 x − 1) + ( x + 2) − x − x + > d x(1 − x ) + ( x + 1) + ( x − 2) < ( x + 2) − 2( x + 3)( x − 4) > x(3 − x) Hướng dẫn giải ⇔ x≥ a ⇔x> c 48 b −7 ⇔ x< d ⇔ x >5 Bài 2: Giải bất phương trình sau a c 7x − − x x + − > + 32 16 b x − x x + x − x + 10 x + 11 + ≤ d 1− 2x − 5x −2< x − 3x − 10 x − 65 x + + > 12 Hướng dẫn giải ⇔ x< a −166 x≤ b 13 11 x≥ c −17 11 d ⇔ x < −11 Bài 3: Tìm giá trị x thỏa mãn hai phương trình sau a b c 2(3 x − 4) < 3(4 x − 3) + 16 x − x 3x + + ≥ 3x − x ≥ + 0,8 1− và 4(1 + x) < x + x − x 3x − + ≥ 2x − − x > Hướng dẫn giải 2(3 x − 4) < 3(4 x − 3) + 16 ⇔ x − < 12 x − + 16 ⇔ x > −15 ⇔ x > a) Ta có: −5 ( 1) 4(1 + x) < x + ⇔ + x < x + ⇔ x < 1( ) ⇒ Từ (1)(2) −5 < x 0, ∀x ∈ R ⇒ b Ta có ⇒ A ≥ ⇔ x = −1 A.B = c Ta có A.B < ⇔ d 2 ; A.B ∈ Z ⇔ ∈ Z ⇔ x − ∈ U (2) ⇔ x ∈ {4;2;5;1} x −3 x −3 < ⇔ x − < 0(2 > 0) ⇔ x < 3( x ≠ −1) x−2 15 x2 + x + ≥0 x2 − 4x + ...Các bất phương trình bất phương trình bậc ẩn là: b c - 0x + ≥ - khơng bất phương trình bậc ẩn hệ số ẩn x 2x2 +1 > khơng bất phương trình bậc ẩn x2 ẩn bậc hai Bài 2: Trong bất phương trình sau... ≠ bất phương trình bậc ẩn bất phương trình bậc ẩn − 1) x + x − ≥ ⇔ m −1 = ⇔ m = ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 bất phương trình bậc ẩn ⇔ m − = ⇔ m = ±1 Bài 5: Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình. .. − ≥ bất phương trình bậc ẩn ⇔ m + ≠ ⇔ m ≠ −2 b) c) d) ( m − 2) x + < (m (m bất phương trình bậc ẩn − ) x + 2m − ≤ − 4) x2 + x − ≤ ⇔ m−2≠ ⇔ m ≠ bất phương trình bậc ẩn bất phương trình bậc ẩn ⇔