PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn ở mẫu

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU A Lý thuyết Lưu ý: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, ta cần đặc biệt ý đến điều kiện xác định tất mẫu thức phải khác Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu - Tìm điều kiện xác định phương trình - Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu - Giải phương trình vừa nhận - Kiểm tra kết luận Chú ý: Khi nhân hai vế phươngtrình với đa thức bình phương hai vế phương trình, ta thu phương trình tương đương B Bài tập Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức A( x) Cách giải: Biểu thức B ( x) với A( x) , B ( x) đa thức xác định ⇔ B ( x) ≠ Bài 1: Tìm ĐKXĐ biểu thức sau A= a) x+2 + x −1 x +1 b) Lời giải a) b) A B xác định xác định x −1 ≠ ⇔ ⇔ x ≠ ±1 x +1 ≠ x ≠  x −1 ≠  ⇔ ⇔ 2 x − ≠  x ≠ Bài 2: Tìm ĐKXĐ biểu thức sau   x −1 B= + ÷:  x +1  2x − A= a) 5x + x − 3x − b)  5x  B= + ÷:  3x +  − x Lời giải a) b) A B ⇔ 3x − ≠ ⇔ x ≠ xác định xác định x ≠ x ≠ ⇔ ⇔ 3 − x ≠ x ≠ Bài 3: Chứng minh biểu thức sau xác định với giá trị A= a) − 7x − x + x +1 B= b) x x + 10 − x + 2x + x + Lời giải a) Ta có 1  x + x + =  x + ÷ + > 0∀x ⇒ 2  đpcm  11  x + x + =  x + ÷ + > 0∀x; x + > 0∀x ⇒ 2  b) Ta có đpcm Bài 4: Chứng minh biểu thức sau xác định với giá trị A= a) − 3t t −1 + t + 4t + y B= b) Lời giải t + 4t + = ( t + ) + > 0∀t ⇒ a) Ta có đpcm b) Ta có 3  3  t − 3t + =  t − t + + ÷ =  t − ÷ + > 0∀t ⇒ 4  2  đpcm t +1 2t − − t − 3t + 3 Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Áp dụng bước giải phần tóm tắt lý thuyết Bài 1: Giải phương trình sau a) − =0 x − 3x − b) 4x + = 2x − 4x − 2x + Lời giải a) Điều kiện xác định: x ≠ ;x ≠ ( 3x − 5) − ( x − 3) −2 x + 1 − =0⇔ =0⇔ =0⇔ x= x − 3x − ( x − 3) ( x − ) ( x − 3) ( 3x − ) Vậy phương trình có tập nghiệm x≠± b) Điều kiện xác định: (thỏa mãn) 1  S =  2 4x −3 + = ⇔ ( x + 3) + x = x − ⇔ 10 x = −15 ⇔ x = 2x − 4x − 2x + Vậy phương trình có tập nghiệm  −3  S =  2 Bài 2: Giải phương trình sau (thỏa mãn) a) x + = 2x + 4x −1 x −1 b) x2 + x = + 25 − x x +5 x −5 Lời giải x≠± a) Điều kiện xác định 2 x + = ⇔ ( x − 1) + x = ( x + 1) ⇔ x = −1 x + x −1 x −1 Vậy phương trình có tập nghiệm b) Điều kiện xác định (thỏa mãn) S = { −1} x ≠ ±5 x2 + x = + ⇔ − x2 − = ( x − 5) + x ( x + 5) ⇔ x = 25 − x x +5 x −5 Vậy phương trình có tập nghiệm (thỏa mãn) S = { 1} Bài 3: Giải phương trình sau a) ( x2 + x + 4x + − = x + x + x + 3x + x −8 b) )+ = 2 − x x + 2x + Lời giải a) Điều kiện xác định x ≠ −1; x ≠ −2 4x + −1 − = ⇔ ( x + ) − ( x + 1) = x + ⇔ x = x + x + x + 3x + Vậy phương trình có tập nghiệm b) Điều kiện xác định  −1  S =  3 x≠2 (thỏa mãn) ( x2 + x + x −8 )+ = ⇔ x2 + x + − x2 + x + = ( x − 2) ⇔ x = 2 − x x + 2x + ( Vậy phương trình có tập nghiệm ) ( ) (thỏa mãn) S = { 2} Bài 4: Giải phương trình sau x + x +1 + = −x + 6x − x − x − 2 a) 1− x − = x +1 x − x +1 x +1 b) Lời giải ( ) − x2 + x − = − x2 − 6x + = − ( x − 4) ( x − 2) a) Ta có: Điều kiện xác định x ≠ 4; x ≠ x + x +1 −6 x + x +1 + = ⇔ + = ⇔ −6 + ( x + 3) ( x − ) = ( x + 1) ( x − ) −x + 6x − x − x − ( x − 4) ( x − 2) x − x − 2 ⇔ −6 + x − x + x − = x − x + x − ⇔ x − 12 = −3 x − ⇔ x = 16 ⇔ x = (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm b) Điều kiện xác định x ≠ −1 x = 1− x − = ⇔ − ( − x ) ( x + 1) = ( x − x + 1) ⇔  x = x3 + x − x + x +  Vậy phương trình có tập nghiệm  5 S = 0;   4 Bài 5: Giải phương trình sau a) x+5 5− x x−5 + = 2 x − x x + 10 x x − 50 − = x + 3x + x − x − x − b) Lời giải a) Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ ±5 x+5 5− x x −5 x+5 5− x x −5 −5 + = ⇔ + = ⇔x= x − x x + 10 x x − 50 x ( x − 5) x ( x + ) ( x − 5) ( x + ) b) Điều kiện xác định: x ≠ −1; x ≠ ±2 1 − = ⇔ − = ⇔ x = −13 x + 3x + x − x − x − ( x + 1) ( x + ) ( x − ) ( x + 1) ( x − ) ( x + ) Bài 6: Giải phương trình sau x+ a c 2x −1 = 3x + x−2 x−2 b 5x + x −1 x2 + 4x + − = 2+ 2x + x +1 1 + = x + x − 2x x − 4x Lời giải a) Điều kiện xác định: x+ x≠2 2x ( x − 2) x −1 x −1 = 3x + ⇔ − = ⇔ x =1 x−2 x−2 x−2 x−2 ( x − 2) b) Điều kiện xác định: x ≠ −1 5x + 2x −1 x2 + 4x + 5x + x − x2 + 4x + −3 − = 2+ ⇔ − = 2+ ⇔x= 2x + x +1 ( x + 1) x +1 58 c Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ ±2 1 1 + = ⇔ + = ⇔ x=3 x + x − 2x x − 4x x + x ( x − 2) x ( x − 2) ( x + 2) Bài 7: Giải phương trình sau a c x −3 x +1 x+8 − = − x x − x x − x 16 − x b 14 x2 + 4x x + + − +3= 20 − x − x x + x − x d 5− x x −1 + = + x − x x x( x − 2) x − 16 13 − x 6x2 + 3x + + − − =0 x + x − 8x + x + 5x + x − 4 − − + =0 x + x − x − 12 x − x + x + x + 3 e Hướng dẫn a c ⇔ x = −1; x = −8 20 − x − x = 2(2 − x)( x + 5) ⇒ x = ⇔ d e 13 − x 6( x + 1) 3( x + 2) + − − =0 x + ( x + 1)( x − 9) ( x + 2)( x + 3) x − x + x − x − 12 = x (2 x + 3) − 4(2 x + 3) = (2 x + 3)( x + 2)( x − 2); x + x + = ( x + 2)(2 x + 3) x ≠ ±2; x ≠ ĐKXĐ: −3 ; S = {1;5} Bài 8: x x a2 − = x 3a + x x − 3a 9a − x Cho phương trình ẩn : a Giải phương trình b Tìm giá trị a a =1 x =1 Lời giải a Thay a =1 x= vào phương trình ta b Thay x =1 a = ⇒ a = Bài 9: Cho phương trình ẩn x : a Giải phương trình b Tìm giá trị a x −1 x x + 2a − = x + a x − a a − x2 a=2 để phương trình có nghiệm x =1 Lời giải a Thay b Thay a=2 x =1 x= vào phương trình ta ⇒a=0 Bài 10: x Cho phương trình ẩn : a Giải phương trình 2m − − = x + m x − 2m ( x + m ) ( m − x ) m =1 b Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x = −2 Lời giải a) Thay b) Thay m =1 vào phương trình ta được: x = −2 −2 −9 − = ⇔x= x + x − ( x + 1) ( − x ) vào phương trình ta được: x = 2m − 2m − − = ⇔ + = ⇔ x = −2 + m − − m ( − + m ) ( m + ) m − 2 ( m + 1) ( m − ) ( m + 1)  BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 11: Giải phương trình sau a 1 3x − 12 + = x+2 x−2 x −4 b − x + 12 x + 12 12 = + x + 3x − x + 3x − 3 + = 2 x + 5x − x − 2x − 5x − c Hướng dẫn giải a Điều kiện xác định x ≠ ±2 1 3x − 12 1 3x − 12 + = ⇔ + = ⇔x= x+2 x−2 x −4 x + x − ( x − 2) ( x + 2) x ≠ 1; x ≠ −4 b) Điều kiện xác định − x + 12 x + 12 12 − x + 12 x + 12 12 = + ⇔ = + ⇔ x=0 x + 3x − x + 3x − ( x − 1) ( x + ) x + ( x − 1) c x = ; x = −4 Bài 2: Giải phương trình sau x − x + x − x + 20 x − x + x − x + 12 + = + x −1 x−4 x−2 x−3 Lời giải ( x − 1) + ( x − 4)2 + ( x − 2)2 + ( x − 3) + + = + ⇔ x −1+ + x−4+ = x− 2+ x −1 x−4 x−2 x −3 x −1 x−4 x−2 x = +x − + ⇔ ⇒ S = {0; } x = x−3 2  ⇔ Bài 3: x Cho phương trình ẩn : a Giải phương trình với m x + = +1 x + m x + 2m ( x + m)( x + 2m) m =1 b Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x=5 Lời giải m= a −3 m= b 10 −3 11 ... x Cho phương trình ẩn : a Giải phương trình b Tìm giá trị a a =1 x =1 Lời giải a Thay a =1 x= vào phương trình ta b Thay x =1 a = ⇒ a = Bài 9: Cho phương trình ẩn x : a Giải phương trình b... = x + a x − a a − x2 a=2 để phương trình có nghiệm x =1 Lời giải a Thay b Thay a=2 x =1 x= vào phương trình ta ⇒a=0 Bài 10: x Cho phương trình ẩn : a Giải phương trình 2m − − = x + m x − 2m (...  2  đpcm t +1 2t − − t − 3t + 3 Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Áp dụng bước giải phần tóm tắt lý thuyết Bài 1: Giải phương trình sau a) − =0 x − 3x − b) 4x + = 2x − 4x − 2x